基于加窗的二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換圖像去噪-國際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展

【關(guān)鍵詞】加窗；二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；頻譜能量；邊緣檢測【收稿日期】2023年11月8日【出刊日期】2023年12月25日【DOI】10.12208/j.aam.20231126【Abstract】Inthispaper,two-dimensionalwindowedfractionalFoproposedtoaddressthelossofdetailandedgeinformation,whichisfilteringprocess.Firstly,windowfunctionisusedtoprotectthetexturedetailsanspectrumofthewindowedimageispresentedbytwo-dimensionalfractionalFouriertransform,amaximumspectralenergybytheselectingtheoptimaltransformationorderthedenoisingeffectoftheimageisverifiedthroughPeakSignaltoNoiseRatio(PSNusedforedgedetectiontoevaluatetheedgepreservationability.ThedimensionalfractionalFouriertransformforimageprocessinghasbetterretentionabilinformationandtexturefeatures,andimprovesthevisualqualityandclarityoftheimag【Keywords】Addwindows;Two-dimensionalfractionalFouriertransform;Spectrale二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換作為傳統(tǒng)傅里葉變換拓展推廣的數(shù)學(xué)分析工具，已成功并廣泛應(yīng)用于圖像處理音頻率幅值較低的各類條紋圖。曹芳菊[2]采用Curvelet和Contourlet變換，通過估計(jì)子帶系數(shù)方差設(shè)計(jì)了一*種弧型窗口進(jìn)行局部Wiener濾波，但窗口只針對加性噪聲且去噪后的圖像中存在明顯滑圖像質(zhì)量，同時使用Sobel算子對圖像處理結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，通過邊緣檢測評估算法的性能和優(yōu)化參數(shù)的選首先獲取輸入圖像的維度（行數(shù)M和列數(shù)N選取漢明窗對其進(jìn)行圖像處理，同時考慮圖像的行和列，其中，N為窗口長度。然后通過外積操作將行向量和列向量形式的窗函數(shù)組合成二維窗函數(shù)數(shù)組，其形式像數(shù)組為f(s,t)。分?jǐn)?shù)傅里葉變換是傳統(tǒng)傅里葉變換在分?jǐn)?shù)階次上的推廣和延伸，具有傳統(tǒng)傅里葉變換不具備的空間與擇性濾波，在濾波去噪過程能夠更好的保留圖像細(xì)節(jié)（1）首先對經(jīng)過添加椒鹽噪聲和加窗處理的圖像f(s,t)，采用二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換Fp,p(u,v)將圖（2）采用F(s,t)計(jì)算頻譜能量分布，用二維搜索算法確定能量最大的階次p1,p2作為最佳變換階次；（3）確定旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)α=β=0.5，結(jié)合最佳的變換階次p1,p2，對其進(jìn)行二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；（4）對變換后的圖像在分?jǐn)?shù)域中進(jìn)行低通濾階傅里葉逆變換f2(s,t)得到最終濾波圖像。在變換階數(shù)p1和p2給定的情況下，f(s,t)的二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換[8]定義為：其中Kp1,p2(s,t,u,v)為二維分?jǐn)?shù)階傅里葉的變換核：×expj(s2+u2)2tanα?jsusinα(2)其中，α=p1π/2,β=p2π/2表示為二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度。二維分?jǐn)?shù)傅里葉逆變換[8]定義為：通過公式（1）將圖像f(s,t)轉(zhuǎn)換為頻譜圖，再進(jìn)行二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，考慮次選取，根據(jù)p的周期為4，而當(dāng)p∈[2,4]時可以視為[0,2]上的逆變換，故只需考慮變圖像在空域和頻域難以辨別的特征，通過F(s,t)來計(jì)算圖像頻譜的能量分布，然后根據(jù)頻譜能量表示f(s,t)在不同頻率上的強(qiáng)度分布，采用二維峰值搜索[9]在p∈[0二維峰值搜索算法將變換階次p看作自變圖像頻譜在分?jǐn)?shù)階傅里葉域上能量最聚集的階次p，作為最佳的分?jǐn)?shù)階變換階次。本文以0.1為步長行將得到的最佳變換階次和旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)α=β=0.5，將圖像轉(zhuǎn)至頻域得到頻譜圖，在經(jīng)過圖像處理和頻域的局部操作，最后調(diào)用二維分?jǐn)?shù)階傅里葉逆變換得到恢復(fù)后的圖為檢測處理后圖像中的邊緣像素，計(jì)算圖像的梯度幅值，導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)計(jì)算Sobel算子的梯度幅值[10]，得到圖像空間水平梯度模板hx和垂直梯度模板hy如下：況，將梯度模板與圖像列陣F進(jìn)行卷積計(jì)算，當(dāng)Sobel算子的維度為3×3時，假設(shè)圖像列陣中有9個像素最后利用得到的水平方向和垂直方向梯度值Gx,Gy通過g(x,y)計(jì)算中心像素點(diǎn)幅值。4.2各種濾波算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比4.3本文算法的檢測評估PSNR（dB）LenaMoon注a）原始圖像b）加噪圖像c）均值濾波d）高斯濾波e）中值濾波f）本文處理方法加窗處理，避免直接濾波對圖像造成的細(xì)節(jié)和邊緣的信息損失。同時針對圖像在空域和頻域難以辨別的特而改善圖像質(zhì)量。相比于傳統(tǒng)去噪算法，本文方法對于存在復(fù)雜紋理結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)的圖像具有更好的處理效[1]李興龍,李峰,趙冉等.無閾值窗口傅里葉變換濾波法[J].光子學(xué)報(bào),2014,43(09):172-175.[2]曹芳菊.基于多尺度分析的圖像去噪方法研究[J].軟件,2021,42(08):7-10.[3]李春萌.基于分?jǐn)?shù)階小波變換的圖像處理[D].華北電力大學(xué)(北京),2022.[4]劉曉明,白宗化.基于濾波方法的遙感圖像去噪算法[J].中國電子科學(xué)研究院學(xué)報(bào),2022,17(10):952-958.[5]趙鴻圖,周秋豪.基于分?jǐn)?shù)域加窗和對比度增強(qiáng)的路面裂縫檢測[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2023,23(01):347-355.[6]孫婷婷,崔少華,孔令坤等.基于curvelet變換的紅外圖像去噪方法研究[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2023,37(02):37-40.[7]李瓊.分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在信號檢測與圖像處理中的應(yīng)用研究[D].北京交通大學(xué),2014.[8]馬金銘,苗紅霞,蘇新華等.分?jǐn)?shù)傅里葉變換理論