高一數(shù)學集合知識點歸納及典型例題2

集合

一、知識點：

1、兀素：

(1)集合中的對象稱為元素，若。是集合A的元素，記作aeZ；若b不

是集合A的元素，記作bwN;

(2)集合中對象元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性；

(3)集合表示方法：列舉法、描述法、圖示法；

(4)常用數(shù)集：N;N*;N，Z;Q;R

2、集合的關(guān)系：

子集

相等

3、全集

交集

并集

補集

4、集合的性質(zhì)：

(1)AcA=A,Ace=e,AcB=BcA;

(2)A<J(/)=A,A<JB=B'UA;

(3)(Zc8)之(Zu8);

(4)4jBo4cB=4o4uB=B;

(5)Cs(4cB)=(CSA)u(CsB),Cs(4uB)=(Cs4)c(CsB);

二、典型例題

例例已知集合/={。+2,(a+1>,/+3a+3},若例求a。

例2.已知集合乂=生€町潑+2》+1=0］中只含有一個元素，求a的值。

例3.已知集合“=*/+》-6=0},8={劉辦+1=0},且89人，求a的值。

\

例4.已知方程必+6x+c=0有兩個不相等的實根xi，X2,設(shè)C={xi，x2}.

A={L3,5,7,9},B={1,4,7,10},若幺CC=①,CC8=C,試求

b,c的值。

例5,設(shè)集合/={X|—2<X<5},8={X|M+1<XW2M—1},

(1)若Af|B=①，求m的范圍；

(2)若AljB=A,求m的范圍。

例6.已知A={0,1},B={x|xNA},用列舉法表示集合B,并指出集合

A與B的關(guān)系。

三、練習題

1,設(shè)集合乂={劉》《舊}，。=4后,則()

A.aeMB.aeMC.a=MD.a>M

2.有下列命題：①{①}是空集②若aeN,beN,貝壯+羥2③集合

,I2cl八、B-{x\eN,XeZ}

{x|x—2x+l=o}有兩個元素④集合X為無限集，其中

正確命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

3.下列集合中，表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={3,2},N={(2,3)}

C.M={(x,y)|x+y=l},N={y|x+y=l}

D.M={1,2},N={2,1}

4.設(shè)集合/={2,3,/+l},N={/+a—4,2a+l},若〃PlN={2},則a的

取值集合是()

{-3,2{-3,一}

A.2B.{-3}C.2,D.{-3,2}

5.設(shè)集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},且ACB,則實數(shù)a的范

圍是（）

A,a>2B,a>2C.D.?>1

{U,J)|2=l}

6.設(shè)x,y?R,A={(x,y)|y=x},B=X則集合A,B的

關(guān)系是（)

A.A9BB.B^AC.A=BD.AHB

7,已知M={x|y=x2—1},N={y|y=x2-1},那么MAN=(）

A.①B.MC.ND.R

8.已知A={-2,-1,0,1},B={x|x=|y|,yGA},則集合

B=

9若N={x|_3》+2=0},§={%|_辦+q_]=0},且B口A,則a的值為

10,若{1,2,3}5?{1,2,3,4,5},則A=

11.已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N表示相同的集合，求

a,b的值

12.已知集合2={劉，+4x+p<0),B={xix2-x-2〉0}且A^B,求實數(shù)p

的范圍。

1T.已知Z={x|——ax+a?-19=0},8={x|/一5x+6=0}日AR滿足下

列三個條件：①A/B②AUB=B③①寫AAB,求實履a的.。

四、練習題答案

1.B2,A3.D4.C5.A6.B7,C

8.{0,1,2}

9.2,或3

10.{1,2,3}或{1,2,3,4}或{1,2,3,5}或{1,2,3,4,5}

a=2aa-b1Q=0Q?=0

<

2或［解得:

11.解：依題意，得:b=bb=2a,6=°,或、b=l,或

1

CL——

4

b=-

2

1

d——

「n4

a=0i

<b=-

結(jié)合集合元素的互異性，得2=1或〔2。

12.解：B={x|x<-1,或x>2}

①若A=①，即△=16-42<0,滿足AHB,此時P24

②若Aw①，要使ABB,須使大根-2+斤74-1或小根-2-R7?2(舍)

,解得：3<?<4

所以PN3

13.解：由已知條件求得8={2,3},由AUB=B,知AHB。

而由①知AwB,所以A^B。

又因為①9ACB,故AWO),從而A={2}或{3}。

當人={2}時，將x=2代入x~—ax+—19=0,得4—Za+a?—19=0

?Q=—3或5

經(jīng)檢驗，當a=-3時，A={2,—5};當a=5時，A={2,3}。都與

A={2}矛盾。

當A={3}時，將x=3代入/一辦+。2-19=0,得

9—3d+/-19=0ci=—2或5

經(jīng)檢驗，當a=-2時，A={3,—5};當a=5時，A={2,3}。都與

A={2}矛盾。

綜上所述，不存在實數(shù)a使集合A,B滿足已知條件。

函數(shù)定義域求法的總結(jié)和配套習題

(1)分式中的分母不為零；

(2)偶次方根下的數(shù)(或式)大于或等于零；

(3)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零；

(4)露零函數(shù)底數(shù)不為零

抽象的

一、已知/(x)的定義域，求/[g(x)]的定義域

例1已知函數(shù)/(x)的定義域為[-15],求/(3x-5)的定義域.

分析：該函數(shù)是由M=3X-5和/(〃)構(gòu)成的復合函數(shù)，其中x是自變量,

M是中間變量，由于/(x)與/(①)是同一個函數(shù)，因此這里是已知-1W痂5,

即-1W冤-55,求尤的取值范圍.

解：?."(>)的定義域為.?.—1W冤一55,y.

故函數(shù)/(3x-5)的定義域為yDy.

二、已知/[g(x)]的定義域，求/(X)的定義域

例2已知函數(shù)2X+2)的定義域為[83],求函數(shù)/(x)的定義域.

分析：u-x2-2x+2,貝U/(x?—2x+2)=/(M),

由于/(M)與/(X)是同一函數(shù)，因此M的取值范圍即為/(X)的定義域.

解：由OWW3,得1W釜-2x+25.

令u=x2—2x+2,貝1/(x2—2x+2)=/?),1WW5.

故/(x)的定義域為[U5].

三、運算型的抽象函數(shù)

例3若/(x)的定義域為[-305],求90)=/(-乃+/(2萬+5)的定義域.

解：由/(X)的定義域為[75],則9(x)必有Lv.卬解得

—4W冥0.

所以函數(shù)°(x)的定義域為[-40].

3、逆向型

例5已知函數(shù)y=y/mx2-6mx+m+S的定義域為R求實數(shù)m的取值范圍。

分析：函數(shù)的定義域為A,表明機/-6zwx+機+820,使一切xeR都成立,

由/項的系數(shù)是陰，所以應分加=0或加H0進行討論。

解：當加=0時，函數(shù)的定義域為A；

當加HO時，祖/-6加x+機+820是二次不等式，其對一切實數(shù)尤都成立的

充要條件是

m>Q

<.=^>0<m<1

A=(-6m)i-4m(m+8)<0

綜上可知04根41。

評注：不少學生容易忽略加=0的情況，希望通過此例解決問題。

例6已知函數(shù)/(》)=履+7的定義域是。,求實數(shù)上的取值范圍。

kx2+4kx+3

解：要使函數(shù)有意義，則必須Ax?+4Ax+3wO恒成立，

因為/(x)的定義域為A,即日2+4丘+3=0無實數(shù)解

①當左/0時，4=16左2—4x3左<0恒成立，解得0〈左<—；

4

②當左=0時，方程左邊=370恒成立。

綜上上的取值范圍是0Vk<-o

4

1.若函數(shù)y=/(%)的定義域為1,2,則/(log2x)的定義域為

2.已知函數(shù)/(——2x+2)的定義域為[53],求函數(shù)/(x)的定義域.

3.已知函數(shù)y=/[igS+i)]的定義域為o?xW9,則丁=?/(>)的定義域為

4.函數(shù)y=/(x+l)定義域是[―2,3],則丁=/(2尤-1)的定義域是()

[0>]

A.2B.[-K4]c,[-5,5]D,[-3,7]

、g(x)=f(x+a)-<a<0)

5.已知函數(shù)/(x)的定義域是/A(0，1],求2的

定義域。

6.若函數(shù)於+1)的定義域為[―；,2],求真《)的定義域.

求國數(shù)的值

1、值域：函數(shù)丁=/(x),xe/,我們把函數(shù)值的集合｛/(X)/XG/｝稱為函數(shù)

的值域。

2、最值：求函數(shù)最值常用方法和函數(shù)值域的方法基本相同。事實上，如果在

函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值。因此，

求函數(shù)的最值和值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問不同而已。

1.直接觀察法

對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

如：i.求函數(shù)，一屋的值域。

2.求函數(shù)y=3-6的值域。

隨祖配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例1:求函數(shù)y=x2-2x+5,xe［-1,2］的值域。

例2：求函數(shù)歹=3--x+2xe(-3,5］的值域;

3.函數(shù)單調(diào)性法

例:.求函數(shù)y=2x~+10g36二T(2WxW10)的值域。

解：令yi=2'7,丫2=四3

則丫1，丫2在［2,10］上都是增函數(shù)

所以y=y1+y2在［2,10］上是增函數(shù)

Ymin=2+logiV2—1=一

當x=2時，38

當X=10時，ymax=2,+10g3囪=33

-,33

故所求函數(shù)的值域為:8

練習：求函數(shù)y=的值域。

4.判別式法形如y=%x；+4x+Cy%,生不同時為零)的函數(shù)用判別式法求值域;

a2x+b2x+c2

1+x+x2

y=--------

例子：求函數(shù)1+X2的值域。

解：原函數(shù)化為關(guān)于X的一元二次方程

(y-l)x2+(y-l)x=0

(i)當ywi時，XGR

A=(-l)2-4(y-l)(y-l)>0

13

解得：2一”2

1「13一

1E一,一

(2)當y=l時，x=0,而|_22_

3-

故函數(shù)的值域為

練習：求函數(shù)y=x+的值域；

5、分離常數(shù)法形如y=名蟲（a豐0）的函數(shù)也可用此法求值域;

ax+b

例：求函數(shù)丁=至上■的值域;

JC—2

6.換元法

形如y=辦+6土Jcx+d（a、b、c>d為常數(shù)□且aw0）的函數(shù)

,常用換元法求值域

通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有

根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函

數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。

形如y=ax+6土&x+d（a、b、c、d為常數(shù)□且aw0）的函數(shù)

,常用換元法求值域

例子.求函數(shù)y=x+FT的值域。

解：令x-l=t,（t?0）

貝Ijx=t2+1

2i/123

,.y=t-+t+l=（t+-）+-

又t?0,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知

當t=0時，丫min=1

當t.0時，yf+s

故函數(shù)的值域為工+8）

例3.求函數(shù)y=2x+4Vf二^的值域

7、數(shù)形結(jié)合法

例：求函數(shù)y=|x—l|+|x+4|的值域

1.函數(shù)v=土土的值域是；.函數(shù)v=土土（X20）的值域是

-2x+5-------------2x+5

O

2.函數(shù)y=-x（x+2）（xNO）的反函數(shù)的定義域是。

3.若函數(shù)了=log]（——2日+左）的值域為R,則k的取值范圍是（）

2

A0<k<lB0<k<lCkWO或k21Dk=O^k>l

4.若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域為[0,m]，值域為[--,-4],則m的取值范圍

4

是（）

333

A（0,4]B[-,4]C[-,3]D（-,+?）

5.求下列函數(shù)的值域：（1）v（2）v=x-4萬工

ex+l

17

6.若函數(shù)=x+（的定義域和值域都是[i,b]（b〉l）,求b的值。

7.已知函數(shù)f(x)=l-2ax-a2x(a〉l)。

(1)求f(x)的值域。(2)若xe-2,1］時，函數(shù)的最小值為-7,求a

及f(x)的最大值。

指數(shù)與對數(shù)函數(shù)題型總結(jié)

題型1指數(shù)幕、指數(shù)、對數(shù)的相關(guān)計算

,.53

l+log34+log2

【例1】計算:3—2+1031§3+

［例2］計算下列各式的值:

13242

⑴版—麗(2)lg25+31g8+lg5Xlg20+(lg

2產(chǎn)

變式：

1.計算下列各式的值:

(l)(lg5)2+21g2-(lg2)2；⑵

23

Ig3+?g9+?g4一1g小

lg81Tg27.

2.計算下列各式的值：

Ig2+lg5_lg8J_

(1)Ig5-lg4；(2)lg5(lg8+lg1000)+(lg24)2+lg6+lg

0.06.

題型2指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的概念

【例1】若函數(shù)y=(4—3a尸是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為.

【例2】指數(shù)函數(shù)y=(2—a尸在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則。的取值范圍是

［例3］函數(shù)y=aL5+igwo)的圖象必經(jīng)過點

變式：

1.指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？

(l)y=31og2X;(2)j=log6%；

(3?=logC；(4)y=log2x+1.

題型3指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象

【例1】如圖是指數(shù)函數(shù)①y="x,@y=bx,?y=cx,④歹二講的圖象，則

a,b,c,d與1的大小關(guān)系是（)

b<a<l<d<cC.\<a<b<c<d

D.a<b<l<d<c

【例2】函數(shù)y=|2%—2］的圖象是（）

【例4】直線歹=2a與函數(shù)丁=上一1|S>0且aWl）的圖象有兩個公共點，貝Ua

的取值范圍是.

［例5］方程0—1|=。有唯一實數(shù)解，則a的取值范圍是.

變式:

431

1.如圖所示，曲線是對數(shù)函數(shù)了=10g.X的圖象，已知。取43,5,10,則相應于

Cp。2，。3，。4的。值依次為（）

A.^,3,5,10B.AllO,5C,3,V3,5,10DH,5

2.函數(shù)y=loga(x+2)+l的圖象過定點()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)

3.如圖，若。，G分別為函數(shù)y=log6和y=log科的圖象，貝U()

A.0<a<&<lB.0</?<a<lC.a>b>\V>.b>a>l

4.函數(shù)寅x）=lnx的圖象與函數(shù)g（x）=N—4x+4的圖象的交點個數(shù)為（)

A.0B.1C.2D.3

x3

5.函數(shù)y=3x—l的圖象大致是（）

題型4指數(shù)與對數(shù)型函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性

1

【例11函數(shù)人》）=上可+而行的定義域為.

【例2】判斷五X尸；口?2的單調(diào)性，并求其值域.

【例3】設(shè)0WxW2,y=4"5—32+5,試求該函數(shù)的最值.

1

［例4］求y=(logix)2—210g1》+5在區(qū)間［2,4］上的最大值和最小值.

22

變式：

1

(1)函數(shù)段)=l—x+lg(l+x)的定義域是()

A.(—8,-1)B.(1,+8)c.(-1,1)U(1,+8)D.(—8,+8)

——1——(-Io)+8)

⑵若小)=log(2x+l),則加0的定義域為()A.l2)B.\2lc.

0)2)

\2/u(0,+8)D,\2)

3.求下列函數(shù)的定義域與單調(diào)性.

2

(1)j^=log2(x—4x—5)；(2)y=［log。,5(4x-3)

4.討論函數(shù)段)=108“(3》2—2》一1)的單調(diào)性.

5.函數(shù)人x)=|logix|的單調(diào)遞增區(qū)間是()

2

他/,-1■

AA2］B.(0,1］C.(0,+8)D.［1,+8)

題型5指數(shù)與對數(shù)基本性質(zhì)的應用

［例1］求下列各式中x的值：

(l)log2(log4X)=0；(2)log3(lgx)=l；(3)log2—1)

1

於+l=x.

【例2】比較下列各組中兩個值的大?。?/p>

(l)ln0.3,In2；(2)loga3.Lloga5.2(a>0,且aWl)；

(