高中三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)《二項(xiàng)式定理 第一課時(shí)（基本概念通項(xiàng)公式）》教學(xué)課件

第六章計(jì)數(shù)原理6.3二項(xiàng)式定理（基本概念及通項(xiàng)公式）新

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在初中我們學(xué)過多項(xiàng)式乘法，并且知道：如果a，b是任意實(shí)數(shù)，那么

(a＋b)1=a＋b，(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3．

如果計(jì)算(a＋b)4=(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)，等號(hào)右邊的積展開后，各項(xiàng)分別是什么呢?

(a＋b)4由四個(gè)因式(a＋b)相乘得到，每個(gè)因式中有兩項(xiàng)：a，b．

展開后的每項(xiàng)由每個(gè)因式(a＋b)中任取一項(xiàng)(a或b)相乘得到，因而各項(xiàng)都是四次式，其所含字母的形式分別為：a4，a3b，a2b2，ab3，b4．

a4是由(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的四個(gè)因式中都都只取a

(即每個(gè)都不取b)相乘得到，有1種選法，所以a4的系數(shù)是

；

a3b是四個(gè)因式中任取一個(gè)因式內(nèi)的b與另三個(gè)因式內(nèi)的a相乘得到，有

種選法，所以

a3b的系數(shù)是

；

a2b2是四個(gè)因式中任取兩個(gè)因式內(nèi)的b與另兩個(gè)因式內(nèi)的a相乘得到，有

種選法，所以

a2b2的系數(shù)是

；

ab3是四個(gè)因式中任取三個(gè)因式內(nèi)的b與另一個(gè)因式內(nèi)的a相乘得到，有

種選法，所以ab3的系數(shù)是

；

b4是四個(gè)因式中都只取b相乘得到，有

種選法，所以b4的系數(shù)是

．

因此

猜想：設(shè)a，b是任意實(shí)數(shù)，對(duì)于正整數(shù)n，都有

(a＋b)n由n個(gè)因式(a＋b)相乘得到，每個(gè)因式中有兩項(xiàng)：a，b．

展開后的每項(xiàng)由每個(gè)因式(a＋b)中任取一項(xiàng)(a或b)相乘得到，因而各項(xiàng)都是n次式，其所含字母的形式分別為：

an，an－1b，an－2b2，?????，an－rbr，?????，bn．其中r=0，1，2，????，n．

根據(jù)(a＋b)4展開式的推導(dǎo)原理，我們可得項(xiàng)

anan－1ban－2b2?

?

?an－rbr?

?

?bn系數(shù)?

?

??

?

?因此，

上述公式稱為二項(xiàng)式定理．（1）右邊的多項(xiàng)式叫作(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，一共有n＋1項(xiàng)；（2）其中各項(xiàng)的系數(shù)(0≤

r≤

n，r∈N，n∈N＋)叫作二項(xiàng)式系數(shù)；（3）式中的

叫作二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr＋1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：

在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)a

=1，b

=x，則得到公式：二項(xiàng)展開式特征：（1）項(xiàng)數(shù)：共有n＋1項(xiàng)，比指數(shù)n多1．（2）次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)均為n；

字母a的次數(shù)按降冪排列，由n遞減到0，字母b的次數(shù)按升冪

排列，由0遞增到n．（3）二項(xiàng)式系數(shù)：

只與n，r有關(guān)，與a，b無關(guān)．（4）展開式的通項(xiàng)（第r＋1項(xiàng)）：思考：

二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n的展開式的第r＋1項(xiàng)相同嗎？不相同，(a＋b)n展開式的第r+1項(xiàng)為(