2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：指對冪函數(shù)（六大考點(diǎn)）（解析版）（新高考）

考點(diǎn)鞏固卷04指對寨函數(shù)(六大考點(diǎn))

章考堂先更

考點(diǎn)01：指數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算及特殊運(yùn)算

亮為顯弦巧及考點(diǎn)利稼

考點(diǎn)01:指數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算及特殊運(yùn)算

1、有理數(shù)指數(shù)塞的分類

幾個

⑴正整數(shù)指數(shù)幕〃,-------A-------(入川

a=aaaaa…a\neN)

⑵零指數(shù)塞a0=1(〃w0)

⑶負(fù)整數(shù)指數(shù)幕a."=」(aN0,"eN*)

a

(4)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事沒有意義.

2、有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)

⑴a"''a"-a"l+"(a>0,m,n&Q)

⑵(a")=i(a>0,m,"eQ)

⑶(㈤m=ambm(a>O,b>O,rneQ)

___m

⑷'-\[a^=?"（?>0,m,n^Q）

3、根式的定義

一般地，如果x〃=a，那么x叫做。的"次根式，其中（n>l,〃eN*）,板叫做根式，〃叫做根指數(shù),

。叫做開方數(shù).

4、對于根式也L要注意以下幾點(diǎn)

Wn^NB.n>l；

⑵當(dāng)〃為奇數(shù)時，=當(dāng)〃為偶數(shù)時，""=同=1a，""：；

[-a,a<0

⑶負(fù)數(shù)沒有偶次方根；

⑷0的任何次方根都是0

5、多重根號問題，首先先寫成指數(shù)形式

6、指數(shù)的逆運(yùn)算過程

111

ir=(w=(ru-3=(ir=t

特殊運(yùn)算：形如％+%T=Q,求下列各種形式的值的思路.

<11、2

11——

根據(jù)爐+/計算即可；

（1）九r2I,八/2；=x+/+2

\/

（2）/+尸；根據(jù)卜+工一1）2=工2+工一2+2計算即可；

（3）f―X-2.由于尤_尤一1=±J（x_龍T）2=小+*—1）2_4,進(jìn)而根據(jù)%-2=卜+%-1）[一天-1）即

可求解.

1111

（4）X-%-；根據(jù)無一無T=小—尤T）2=±J（無+尤，）2—4計算即可

33-3-1

(5)X+X-根據(jù)(x2+婷)=尤3+X+x+X計算即可

(6)三一二根據(jù)任+一)［一尤-1)=尤3-無-3—%+龍-1計算即可

1.下列各式正確的是()

-if11一214

D.2x3—x3-2x3=1——

（2）x

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確計算，即可求解.

11

【詳解】對于A,由指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，可得.5=丁=獷，所以A錯誤；

2

對于B,由指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)，可得行=產(chǎn)，所以B錯誤；

對于C,由指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)，可得〃所以C錯誤；

CtCT—Ci—Ct

_J_<112A」［!_1_2

對于D,由指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，可得2犬行不產(chǎn)-2『［=2￡3；聲-2/黃2九下

(2J2

_1+1_1_24

=%33_以33=1一一，所以D正確.

X

故選：D.

2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示4.&(.>())的結(jié)果是()

57.3

4

A.vt2B.-2C.aD.Cl5

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的互化原則直接化簡即可.

117

【詳解】〃3.&=〃3.〃2=/2=〃2.

故選；B.

3.化簡y［rrF(m<0)的結(jié)果為()

A.mVmB.myJ-m

C.-my[mD.

【答案】D

【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.

【詳角星[m<Q,\[rr^==-myj-m.

故選：D

4.計算1+^1+^31T（「病。,結(jié)果是（）

A.1B.2A/2C.&D.2T

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)幕的運(yùn)算及根式的意義計算作答.

11

【詳解】2-5+工，_QQ_布）°=（72+1）-1=272.

V2V2-1正+正+

故選：B

171-1

A?五B.礪C.D.礪

【答案】B

【分析】把函數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可求出結(jié)果.

77二7

【詳解】I，則"匚8=訪?

故選：B

(_j_Y_iV_ivj_

6.化簡1+2行1+2一n1+2穴1+221+2-5的結(jié)果為()

\八八八八

I(1(-XV1

3232

A.-2l1-2)B.-2l1-2J

C.1+叫D.1

【答案】B

【分析】利用平方差公式化簡即可.

(_j_Y_iv_ivj__i>

【詳解】1+2一方1+2一話1+211+2彳1+2-2

\八八八八7

(jiA

1-2一哀11+2311+271+2^Jl+2^1+2一5?1—2一瓦

7\

(i\(1/

1+2一帚1+2l+2-z1+2一萬?1-232

7八7

_xy_iy_IA(i

1—2。1+2穴1+2々1+2一，+1—2,

\\(1

1-21+2一71+2一工

八A

1-221+22

(

二(1—2-卜1—2一萬

大2。

故選：B

3_3

mm

7.已知/+一4，則\~1的值是（）

m2-m2

A.15B.12C.16D.25

【答案】A

【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槎?/一4，

所以m+m~l=+m^)2—2=16—2=14，

3_31_J_1_1

▽小壬上妾八#m2~m2/2)(；+病了2+一)=加??#=15,

}_i

m2—m2m2—m2

故選：A.

8.化簡（1—。）的結(jié)果是（)

A.da—1B.-yla-1C.11一aD.—i/1-a

【答案】B

【分析】先分析。的取值范圍，再進(jìn)行根式化簡.

【詳解】由題意得，。一1>0,即a>l,

所以（1-可占=TT）4,-

故選：B

9.下列各式中成立的是（）

A.=?。〣.汨7=g

C.^x3+y3=（x+yYD.7W=-^3

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC選項(xiàng)；根據(jù)根式與指數(shù)幕的互化可判斷BD選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，［生］=（””-）=加〃ZA選項(xiàng)錯誤;

-------------41___

對于B選項(xiàng),0（-3?=?療=3丘=3^=為片紜，B選項(xiàng)錯誤;

33

對于C選項(xiàng),（x+y尸=《（x+?w^jx+y，C選項(xiàng)錯誤;

對于D選項(xiàng),

故選：D.

10.設(shè)aeR,/（x）="：：：2（xeR）,/（幻為奇函數(shù)，則。的值為

【答案】1

【分析】先化簡已知函數(shù)，再由函數(shù)為奇函數(shù)可得/（力+/（-力=。，由此式可解。的值.

【詳解】要使為奇函數(shù)，：兀€1<，需〃耳+/（-力=。,

2同

=CL------------

2X+1

X

由。-工+。-”曰2（2+1）

=0，得2a——--------=0,a=1

2*+12*+12X+1

故答案為：L

考點(diǎn)02:對數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算

1、對數(shù)運(yùn)算法則

①外和內(nèi)乘：。(外差內(nèi)除：

logMN)=k)g,,M+logaN②k)g{wJ=logtIM-k>giJN

③提公次方法：庭在"二二人/碗女冷④特殊對數(shù)：雄.^。

am

lobb

⑤指中有對，沒心沒肺，真數(shù)為幾，直接取幾：a^=b,logaa=b

2、對數(shù)的定義

一般地，如果優(yōu)=N(a〉O,awl),那么數(shù)了叫做以。為底N的對數(shù)，記％=log〃N,其中a叫做對數(shù)的底

數(shù)，N叫做對數(shù)的真數(shù)(N>0)

3、換底公式

①常用換底logab=粵北②倒數(shù)原理log"6=丁L

log,“alog/,a

③約分技巧log06?log"c="X等=餐￡=log.C④具體數(shù)字歸一處理：1g2+1g5=1

lgtzlg&lga

11.下列等式正確的是()

22

A.(Ig5)+21g2-(lg2)=lB.log351og321og59=3

C.log^2A/2+eln2+7(TI-5)2=itD.^6^+-^00625.[(0.0645)25]?=1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)事與對數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)計算，即可求解.

【詳解】對于A中，由(lg5)2+21g2-(lg2)2=(l-lg2)2+21g2-(lg2)2=1,所以A正確；

對于B中，由Iog35-log32?log59=*|?譬所以B錯誤；

lg3lg3lg5

對于C中，由log+e"~+J(兀-5)2=log78+2+5—兀/兀，所以C錯誤;

對于D中，由瘋瓦西.[(0.0643尸$廣=3+Lx(0.4)T=工+』*工片1,所以口錯誤.

V422222

故選：A

12.若實(shí)數(shù)加，n,f滿足5帆=7"=,且,+1=2,貝心=()

mn

A.2A/3B.12C.V5D.V35

【答案】D

【分析】根據(jù)指對數(shù)的互化可得力=logs/，附=log7：,代入工+工=2,即可計算得到f的值.

mn

【詳解】因?yàn)?.=7"=/且,+工=2,易知f>0且fwl,

mn

所以優(yōu)=logst,n=log71,

所以工=log,5,-=log,7,

mn

11.—

所以一+—=1。&5+1。&7=1。&35=2,則仁屈.

mn

故選：D.

13.工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量》（單位：mg/L）與過濾時間r

小時的關(guān)系為y=%e-"（%,。均為正的常數(shù)）.已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當(dāng)污染物過濾

掉50%還需要經(jīng)過（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：lg2y0.301,lg3”0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【答案】D

【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)。，即可解出.

【詳解】?..廢氣中污染物含量y與過濾時間/小時的關(guān)系為y=y°e”,

令r=0,得廢氣中初始污染物含量為>=%,

又???前5小時過濾掉了10%污染物，

.?.（1-10%）%=%ej,則〃_

CI——

55

當(dāng)污染物過濾掉50%時，（1-50%）%=,

In251n251g251g2

則=二=丁=內(nèi)=建=中?33h

99

當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過33-5=28h.

故選：D.

14.若a=log35,5h=6,貝IJabTog32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.

【詳解】由5"=6=>=log56,

ga

fffl^ab-log32=log35-log56-log32=log35-^0-log32=log36-log32=log3-=log33=1

logs32

故選：A

15.-glog23=37?,log35=^,則lg5=()

A.p2+q2B.—(3p+2q)C.1二D.PQ

5l+3pq

【答案】C

【分析】利用換底公式可得3Pq=獸，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分析求解.

lg2

【詳解】根據(jù)換底公式有3P=1籌23=獸，4=譬，

lg2lg3

3困_嗟_lg5_lg5

可得3政一遢一一匚裒，整理得坨5=&-

故C正確，檢驗(yàn)可知其他選項(xiàng)均不符合.

故選：C.

16.已知定義在R上的奇函數(shù)/⑺滿足/。一力^⑺，當(dāng)OVxWl時，/(x)=2t-l,則〃logzl2)=(

A.--B.--C.-D.g

3432

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/(X)的周期，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對數(shù)運(yùn)算計算即得.

【詳解】在R上的奇函數(shù)的X)滿足/(2-x)=/(x),則f□)=_/(無一2),

于是f(x)=-/(X-2)=-[-/(x-4)]=f(x-4),即函數(shù)/⑴的周期為4,

x

ffi]8<12<16,貝lJ3<log212<4,-l<log212-4<0,又當(dāng)0〈光<1時，f(x)=2-1,

34log.-1

3

所以/'(log?12)=/(log212-4)=/(log2-)=-/(log2j)=-(2--l)=--.

故選:A

17.已知logQua,2,=7,用a,b表示1嗚256為()

A.叱B.衛(wèi)C."3口.

a+ba+ba+b+la+b+\

【答案】C

【分析】由展=7指對互化得b=bgz7,再把log,?56利用換底公式計算可得答案.

【詳解】因?yàn)?,=7,所以方=log?7,

_log56_log7+log8_log7+31og2

?lOg"DO—2—22—22

log242log27+log26log27+log22+log23

b+3

Z?+a+1

故選：C.

18.(log43+log83)(log32+log92)=

【答案】I

4

【分析】根據(jù)給定條件，利用換底公式及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計算即得.

【詳解】(1叫3+1加3)(log32+log92)=(j||+j||)(j||+j||)

,lg3,lg3、Jg2,lg2、51g3、,31g2_5

21g231g2lg321g361g221g34-

故答案為：Y

4

19.方程臚3+/4=/5的正實(shí)數(shù)解為

【答案】e2

【分析】運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)先證。啕,=。陶"，可得原方程為3M*+43=52,x>0,可得(|嚴(yán)+(］嚴(yán)=1,

再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解.

【詳解】先證(a>0且awl,6>。且>wl,c>0且crl),

令。腕"=加，兩邊取6為底的對數(shù),

logic

nfWlog*m=logba=logfcc-log；,a,log/=log/。%。=logta-logfcc,

所以log/"=login,所以機(jī)=”,即"哂。=?嗨"，

貝1n即為限+必，

X3+/4=xln5(X>0)34=5Mx(X>0),

可得(lT

=1,

3

由于y=lnx在(O,+e)上單調(diào)遞增，y==在R上單調(diào)遞減,

InxInx

34

所以yI，yi在(。,+00)上單調(diào)遞減,

可得yOW在(O,+8)上單調(diào)遞減,

又lnx=2時，即x=J時，有+0=1,

則原方程的解有且只有一個為苫=，.

故答案為：/

115,

20.已知;7=一7，則〃=_____.

現(xiàn)8。log.42

【答案】64

【分析】將log8〃/oga4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log2〃來表示即可求解.

1131,5/、2

［詳角軍］由題:j------;---T=；-------log(2=--)整理得(log〃)-51ogtz-6=0,

2v7022

log8alog。4log2a22

=^>log2a=-1^log2a=6,又a>l,

所以Iog2〃=6=log226,故［=26=64

故答案為：64.

考點(diǎn)03:指對數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較

形如：y=ax,y=bx,y^cx,y^dx

圖象如下：

先畫一條x=l的直線，明確交點(diǎn)，由下至上底數(shù)越來越大.

形如：y=logflx,y=log"x,y=logcx,y=logrfx確定a,b,3d大小關(guān)系

先畫一條y=l的直線，明確交點(diǎn)，由左至右底數(shù)越來越大.故c<d<a<b

21.圖中曲線分別表示'=108"%'=108爐,>=108,匕、=108,］的圖像，a,b,c,d,的關(guān)系是（）

A.0<a<b<l<d<cB.0<b<a<l<c<d

C.0<c<d<l<a<bD.0<c<d<l<b<a

解：如圖所示：

當(dāng)y=1時，xr=c,x2=d,x3=a,x4=b,g]^j0<<x2<1<x3<x4,

所以O(shè)vcvdvlvav》故選：C

22.圖中曲線分別表示y=log。％,y=log"X,=logcX,y=log/X的圖象，a,仇C,d的關(guān)系是（）

I

A.a<b<d<cB.b<a<c<d

C.d<c<a<bD.c<d<a<b

解：如圖所示，在第一象限中，隨著底數(shù)的增大，函數(shù)的圖象向x軸靠近，

可知OVcVdVlVaVb,故選：D.

如圖，曲線分別對應(yīng)函數(shù)。產(chǎn)，產(chǎn)的圖

23.G，C?,c3,C4y=iogy=k>g%x，y=iog?3x,y=log.

A.%〉4〉1〉。2>>°B.%>44>1>4>42>0

C.g>%>1>%>%>°D.?]>a2>1>tz3>?4>0

解：作直線它與各曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是各對數(shù)的底數(shù)，由此可判斷出各底數(shù)

y=l,C-C2,G，C4

的大小必有：％〉。3>1>。2>。1>°?故選：A

c

.如圖所示的曲線。。4分別是函數(shù)。的圖象，

24G，2，3>y=18/，y=i0gzi%，y=iogc%，y=iog,/

則a,瓦c,d的大小關(guān)系是（)

Ci

1

X

-1

A.d<c<b<aB.c<d<a<b

C.b<a<c<dD.c<d<b<a

解：作直線y=L分別與這四條曲線交于點(diǎn)ASG。，如下圖所示

由loga%=l,解得x=a；log^x=1,解得x=b；logcx=l,解得x=c；log。%=1,解得％=d貝！J

A(c,1),B{d,1),C(a,1),D(Z7,1)由圖象可知，對應(yīng)的底數(shù)為cvdvb.

故選：B

25、如圖是指數(shù)函數(shù)①y=優(yōu)；②丁二人二③'="④y=d"的圖象，則。也c,d與1的大小關(guān)系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<cC.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

解：根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)①y=優(yōu)；②丁;〃為減函數(shù)，且1=1時，②丁=加〈①y=",

所以Z?VQV1,

根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)③y=c\④y=d”為增函數(shù)，且x=l時，③

所以c>d>l故選：B

26.已知在同一坐標(biāo)系下，指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)和>="的圖象如圖，則下列關(guān)系中正確的是（)

考點(diǎn)04:指對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=axy=ax

a>l0<a<l

尸穴「

/)=(i'

圖象J2>W__.y=l

oj_i_*o|~i__*

最特殊點(diǎn)/="即x=l,y=a圖象都過(1,?)

①定義域R值域（0，+s）

性質(zhì)②〃。=1即當(dāng)x=0,y=l圖象都過定點(diǎn)（0,1）,

③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

對數(shù)④當(dāng)x>0時，y>l；當(dāng)x<0時，0<y〈l④當(dāng)x<0時，y>l；當(dāng)x>0時，0勺<1函數(shù)

的圖象與

⑤在（一co,+oo）上是增函數(shù)⑤在（一00,+◎上是減函數(shù)

性質(zhì)

由于對數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱即可,

當(dāng)然也分a>1和0<a<1兩種情況討論，討論如下

a>l0<〃<1

y

卜=1logjA=1

圖象弋(1,0)

opi.o)O

1尸logM

①定義域：（0,+s）

②值域：R

性質(zhì)③當(dāng)X=1時，）=0,即過定點(diǎn)（1,0）

④當(dāng)兀>1時，y>0；當(dāng)0<x<l時，y<0④當(dāng)入>1時，y<0；當(dāng)0<x<l時，y>0

⑤在（0,十◎上是增函數(shù)⑤在（0,+刃）上是減函數(shù)

27.函數(shù)/■（同="+2-3的圖象過定點(diǎn)A,且定點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程m+wy+2=0,其中〃z>0,〃>0,則

上1+：4的最小值為（）

mn

A.6+4拉B.9C.5+2夜D.8

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到"2+77=1,再由乘“1”法及基本不等式計算可得.

【詳解】對于函數(shù)/（司=優(yōu)+2—3,令X+2=O,即彳=一2時“一2）=。-2+2-3=—2,

所以函數(shù)/（x）=優(yōu)+2-3的圖象恒過定點(diǎn)A（-2,-2）,

又定點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程3+wy+2=0,所以-2祖—2"+2=0,即7〃+〃=1,

又機(jī)>0,n>0,所以——I--=（m+n]\——b—=5H---1--->5+2.------=9,

mnn）mnymn

當(dāng)且僅當(dāng)己〃=網(wǎng)4777，即機(jī)=192時取等號，

mnJ3

14

..?上+2的最小值為9.

mn

故選：B.

28.已知函數(shù)/。）=2+/13＞0且。*1）的圖象恒過定點(diǎn)尸，則？點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.

A.（0,2）B.（2,3）

C.（2,4）D.（4,0）

【答案】B

【分析】

由指數(shù)型函數(shù)所過的定點(diǎn)求解即可.

【詳解】令2x—4=0,解得x=2,貝4⑵=2+/3=2+/=3,即過定點(diǎn)（2,3）.

故選：B

29.函數(shù)/卜）=2產(chǎn)-1（。＞0,且。力1）恒過定點(diǎn)（）

A.（1,-1）B.（1,1）C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】B

【分析】

根據(jù)/=1（“＞。，且。w1）求出x的值，代入/（x）求出對應(yīng)的函數(shù)值即可得出函數(shù)恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】由已知得/（l）=2a°—1=1,

由此可知函數(shù)恒過定點(diǎn)（1,1）,

故選：B.

30.函數(shù)〃x）=a2i+im＞。且的圖象恒過定點(diǎn)加，則以為（）

A.B.（0,2）C.（0,1）口.

【答案】A

【分析】令。上的指數(shù)為。即可得到答案.

【詳解】對于函數(shù)/（尤），令2x—1=0,可得x=g,則/&卜°。+1=2,

所以，函數(shù)〃x）="1+1（。＞0旦aw1）的圖象恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為1g,21.

故選：A

31.已知函數(shù)y=2+log“（x-l）（a>0且awl）的圖象恒過定點(diǎn)A,且A點(diǎn)在直線儂:—>+“=0（祖,”>0）上，

則2n1+（四）”的最小值是（）

A.472B.2后C.2D.芋

【答案】B

【分析】函數(shù)y=log〃（x-D+2的圖象恒過定點(diǎn)4（2,2）,進(jìn)而可得2機(jī)+”=2,結(jié)合基本不等式和指數(shù)的運(yùn)

算性質(zhì)進(jìn)而得到答案.

【詳解】當(dāng)尤=2時，log“（x-l）+2=2,

故函數(shù)V=log。（x-1）+2的圖象恒過定點(diǎn)4（2,2）,

由點(diǎn)4（2,2）在直線〃a-〉+〃=0上，則2〃7+〃=2,

故2皿+（何=2皿+2乏=2A/2，

當(dāng)且僅當(dāng)加=；=;等號成立，故2“+（亞y的最小值是2vL

故選：B

32.函數(shù)y="+i-2（Q>0,〃W1）的圖象恒過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程儂:+〃y+l=0,其中加>0,〃>0,

則上+■的最小值為（）

mn

A.7B.6C.3+2應(yīng)D.2+應(yīng)

【答案】C

【分析】先利用必過定點(diǎn)確定A的坐標(biāo)，后利用基本不等式T的代換處理即可.

【詳解】在,=〃向一2（a>0,〃wl）中，當(dāng)％=-1時，>=一1,故A（-1,一1）,

將1）代入直線方程中，化簡得機(jī)+〃=1,

^（m+wX—+-）=2+1+—+—>3+2/—?—=3+2A/2,

mnmn\mn

7i—

當(dāng)且僅當(dāng)時取等，即*+士的最小值為3+2a.

mn

故選：C

33.當(dāng)a>0且分1時，函數(shù)〃x）=/2似3+2023恒過定點(diǎn)（）

A.（2022,2023）B.（2023,2024）C.（2024,2025）D.（2025,2026）

【答案】B

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】當(dāng)x=2023時，/（2023）=儲°23a23+2023=2024,與a無關(guān)，

則函數(shù)〃x）恒過定點(diǎn)（2023,2024）.

故選：B.

22

34.已知函數(shù)〃力=1嗚（3X-2）+6（°>0,"1）圖象恒過的定點(diǎn)在雙曲線工-匕=1的一條漸近線上，雙

2m

曲線離心率為e,則m-e等于（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)7'（x）的圖象恒過定點(diǎn)（1,港），代入雙曲線的漸近線方程，求得

m=6,結(jié)合離心率的定義，即可求解.

【詳解】由函數(shù)［（x）=log/3x—2）+石（a>0,aHl）,

令3x-2=l,可得x=l,且/⑴=瓜所以函數(shù)〃x）的圖象恒過定點(diǎn)（1,⑹，

又由雙曲線;-;■=：!的一條漸近線方程為y=

4m

將點(diǎn)代入漸近線方程，可得出=—7^X1,解得m=6,

所以雙曲線的離心率為e=￡=耳?=2,所以〃z-e=4.

a72

故選：C.

22

35.若函數(shù)y=loga（x—2）+l（a>。，且awl）的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓上+乙=1（m>0,”>0）上，則

mn

的最小值為（）

A.6B.12C.16D.18

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到m與n的等量關(guān)系，

再利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題意得，函數(shù)y=log“x—2）+l（a>。，且a"）的圖象所過定點(diǎn)為（3,1）,則？+工=1,

mn

/\(91)9nm、s9幾m“

所以根+〃=(根+〃)——F—=10H-----1——>10+2./---------=16,

\mn)mn\mn

Qnm

當(dāng)且僅當(dāng)生=',即機(jī)=12,〃=4時等號成立.

mn

故選：C.

36.函數(shù)/⑴=log.(4%-3)(〃>0且"1)的圖象所過的定點(diǎn)為()

A.(1,0)B.[|,o]C.(M)加

【答案】A

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=log,(4x-3)(〃>0且"1),

令4x-3=1,解得x=l,則/(l)=log/=0,

所以〃x)的圖象所過的定點(diǎn)為(1,0).

故選：A.

考點(diǎn)05:涉及指對數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍

/、"(x),x<m

形如：G(x)=，(

g[x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：/'(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(rn)-

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/"(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)<f(m).

③如果G(x)由最大值，滿足：/"(X)為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g("z)</(m).

④如果G(x)由最小值，滿足：F(x)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(tn)>

/、f/(x),x<m

形如：G(x)=f；(

g\x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：y(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，

③如果G(x)由最大值，滿足：/"(X)為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，

④如果G(x)由最小值，滿足：/(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>/(m).

log。3-4x+4),x>l

37.已知/（%）=<在（F,y）上滿足J12/J〈"〉0,則b的取值范圍為

(3-a)x+b,x<\x2一再

()

A.（』o）B.[l,+oo)C.(―1,1)D.(-oo,l)

解:第一步:因?yàn)?（x）在（-8,+8）上滿足>0,即函數(shù)〃力在（—,+8）上單調(diào)遞增,

21

a

第二步：所以〈a〉l恒成立，即2Wa<3且b<a—2恒成立，即b的取值范圍為（—』），故

logaa>3-a+b

3-a>0

選D.

（l-2a）x+a,x<2

38.函數(shù)/(%)=<7/八c在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

loga（x-l）,x>2

12]_2

A.（。耳）B.一,一C.,D.

2323

(1-2a)尤+a,x<2

解：第一步：函數(shù)/（%）=〈。在R上單調(diào)遞減,

、/og〃(xT)，x>2

1-2。<0

12

第二步：需<0<6Z<1,解得一一.故選:B.

23

2—3〃20

iogl（3-%r,x<i,

39.若函數(shù)/(%)=,2的值域?yàn)镽,則加的取值范圍為（）

x2-6x+m,x.A

999

A.(0,8]B.（。，萬］C.弓，8]D.(-8,-2(0,-]

解:第一步：①若利>0時，則當(dāng)X<1時，/（x）=/°g!（3—無）'”單調(diào)遞增,

2

當(dāng)工..1時，/(x)=x2-6%+m=(%-3)2+機(jī)-9在(3,+8)上單調(diào)遞增,

在口，3）上單調(diào)遞減,

若函數(shù)值域?yàn)槌邉t需/⑶…"?？?-1）-,解得Oy?

第二步：②若鵬,0時，則當(dāng)x<l時，/(x)=/°g」(3—X產(chǎn)單調(diào)遞減，

2

當(dāng)x..l時，/(%)=%2-6元+機(jī)=(x-3)2+加一9在(3,+8)上單調(diào)遞增，在[1,3)上單調(diào)遞減，不滿足函

數(shù)值域?yàn)镋，不符合題意，舍去，

綜上：加的取值范圍為(0,-],

2

故選：B

/\flog,,x-3tz,x>1

40.已知函數(shù)/(x)=",在R上單調(diào)，則。的取值范圍為()

\-x+a.x<\

/\[logax—3a,x>1/、

解：={3a又.當(dāng)XW1時,〃％)=—x+a是單調(diào)遞減函數(shù)

???/(X)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)根據(jù)分段函數(shù)的在定義域單調(diào)遞減，即要保證每段函數(shù)上單調(diào)遞減,也要保

證在分界點(diǎn)上單調(diào)遞減可得：

0<a<l「11

第二步：二〃八。?解得：.故選:A.

(logfll)-3a<-l+a[4)

2aTx〉0

41.已知函數(shù)/(x)=,1八的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

2

logx(x+-),x<0

A.(0,—)B.(0,—]C.(—,+oo)D.[i+a>)

4444

解：由題，當(dāng)xWO時，爐+白、(，則/(x)=log/x2+；]《iog|；=i,

因?yàn)?(力的值域?yàn)槌邘?dāng)x>0時，需滿足〃x)m1nW1,即(以2—x+l\W0,且/(力皿.”，當(dāng)

a=0時,"X)=