江西省南昌縣蓮塘第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末檢測(cè)試題理

PAGE第=2頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)P(yáng)AGE19江西省南昌縣蓮塘第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末檢測(cè)試題理一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)若直線a，b是異面直線，a?β，則b與平面β的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交 C.b?β D.平行或相交已知α，β是兩個(gè)不同的平面，直線m在平面α內(nèi)，給出命題“若m//β，則α//β”，那么它的原命題，逆命題、否命題，逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.2 C.3 D.4設(shè)命題P：?n∈N，n3<n，則￢P為(????)A.?n?N，n3≥n B.?n?N，n3≤n

C.?n∈N，n3>n下列命題中正確的個(gè)數(shù)為(????)?①平行于同一平面的兩直線平行;?②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;?③垂直于同一平面的兩直線平行;?④垂直于同一平面的兩平面垂直．A.0 B.1 C.2 D.3菱形ABCD在平面α內(nèi)，PC⊥?α，則PA與對(duì)角線BD的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.異面垂直“mn<0”是“方程表示橢圓”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件一個(gè)圓柱的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與表面積之比為(????)A.2π：(1+2π) B.π：(1+π) C.2π：(1+π) D.π：(1+2π)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”若圓周率約為3，則可估算出米堆的體積約為(

)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺已知四棱錐P?ABCD的底面為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，則四棱錐P?ABCD的外接球的表面積為(

)A.20π B.18π C.16π D.12π在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB.若E，F(xiàn)A.63 B.33 C.22四個(gè)面都是直角三角形的四面體A?BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB=BD=CD，M為AD的中點(diǎn)，則二面角M?BC?D的正弦值為(

)A.22 B.33 C.6如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P是AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面A.855

B.4

C.8二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)在正方體ABCD?A1B1C1D1已知P={x|a?4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．已知圓錐的底面半徑為1，高為22，點(diǎn)P是圓錐的底面圓周上一點(diǎn)，若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點(diǎn)P，則繞行的最短距離是___．將正三棱錐P?ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”P?ABC?Q，如圖，下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說(shuō)法中，正確的有______．

①PQ⊥平面ABC；

②若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上；

③若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB=2PA；

④若AB=62PA，則三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為x=12+12ty=32t(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的一般方程和線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知定點(diǎn)P1如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上．

(1)求異面直線D1命題p:?x∈R，x2+2ax+4>0，命題q:?x0∈[?1,1]，使得2x+a?1>0成立．

①若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②已知r:a>k，若r是如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N，P，Q分別是AA1，BB1，AB，B1C1的中點(diǎn)．(2)求證：PC1//如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AD=CD=12AB=2，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D?ABC，如圖2所示，F(xiàn)為線段CD上的點(diǎn)，且AD//平面BEF．

(Ⅰ)確定點(diǎn)F的位置并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)求證：平面ADC⊥平面BDC；

(Ⅲ)求二面角

蓮塘一中2024—2025學(xué)年上學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)若直線a，b是異面直線，a?β，則b與平面β的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交 C.b?β D.平行或相交解：直線a，b是異面直線，a?β，直線b不行能在平面β內(nèi)，

b與平面β的位置關(guān)系是平行或相交.故選D．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，直線m在平面α內(nèi)，給出命題“若m//β，則α//β”，那么它的原命題，逆命題、否命題，逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.2 C.3 D.4解：已知α，β是兩個(gè)不同的平面，直線m在平面α內(nèi)，若m//β，則α//β或α與β相交，知原命題為假命題，

∴逆否命題也為假命題，

原命題的逆命題為α，β是兩個(gè)不同的平面，直線m在平面α內(nèi)，若α//β，則m//β，由面面平行易知原命題的逆命題為真命題，則否命題為真命題，故選B．設(shè)命題P：?n∈N，n3<n，則￢PA.?n?N，n3≥n B.?n?N，n3≤n

C.?n∈N，n3>n解：命題P：?n∈N，n3<n為特稱命題，則命題的否定為：?n∈N，n3下列命題中正確的個(gè)數(shù)為(????)?①平行于同一平面的兩直線平行;?②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;?③垂直于同一平面的兩直線平行;?④垂直于同一平面的兩平面垂直．A.0 B.1 C.2 D.3解：對(duì)于?①，平行于同一平面的兩直線可以相交、平行或異面，故?①錯(cuò)誤;

對(duì)于?②，平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，故?②正確;

對(duì)于?③，由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確;

對(duì)于?④，垂直于同一平面的兩平面相交或平行，故?④錯(cuò)誤．

因此正確命題的個(gè)數(shù)為2.故選C．菱形ABCD在平面α內(nèi)，PC⊥?α，則PA與對(duì)角線BD的位置關(guān)系是(????)A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.異面垂直解：菱形ABCD中，AC⊥BD．

又PC⊥平面α，∴PC⊥BD，∵AC∩PC=C，又AC，PC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC．

又PA?平面PAC，∴BD⊥PA．明顯PA與BD異面，故PA與BD異面垂直．故選D．“mn<0”是“方程表示橢圓”的(

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解：由方程mx2?ny2=1得x21m+y2?1n=1，

所以要使方程mx2?n一個(gè)圓柱的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與表面積之比為(????)A.2π：(1+2π) B.π：(1+π) C.2π：(1+π) D.π：(1+2π)解：設(shè)這個(gè)圓柱的底面半徑為r，高為h，

∵圓柱的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)正方形，∴2πr=h，

∴這個(gè)圓柱的側(cè)面積與表面積之比為：S側(cè)S表《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”若圓周率約為3，則可估算出米堆的體積約為(

)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺解：設(shè)圓錐底面半徑為r，由題意π2r=8，得r=16π，已知四棱錐P?ABCD的底面為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，則四棱錐P?ABCD的外接球的表面積為(

A.20π B.18π C.16π D.12π解：由題意，由平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，

∴底面ABCD矩形外接圓半徑r=172．四棱錐P?ABCD的高為：332．

球心與圓心的距離為d，構(gòu)造直角三角形，即d2+r2=R2，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB.若E，A.63 B.33 C.22解：取BB1中點(diǎn)為N，連接FN，取FN中點(diǎn)為M，連接A1M，A1F，

易得EF//A1M，EF=A1M

∵A1N是EF在面所以sin∠MA1四個(gè)面都是直角三角形的四面體A?BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB=BD=CD，M為AD的中點(diǎn)，則二面角M?BC?D的正弦值為(

)A.22 B.33 C.6解：由題意可以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過(guò)C作平面BDC的垂線為z軸(與AB平行)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)AB=BC=CD=1，則A(0,1，1)，B(0,1，0)，C(0,0，0)，

D(1,0，0)，M(12,12,12)，則BM=(12,?12,12)，CD=(1,0如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P是AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)A.855

B.4

C.8解：以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則P(0,0，2)，C(4,4，0)，D1(0,4，4)．

設(shè)M(a,0，b)，則D1M=a,?4,b?4，CP=(?4,?4,2)．

∵D1M⊥CP，∴過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥B1N，則當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合時(shí)，BM最小，且BM的最小值為4×225=455．

又BC⊥平面ABB二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)在正方體ABCD?A1B1C1D解：如圖，

可知與平面BC1D1平行的為棱A1B1與棱已知P={x|a?4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．解：∵P={x|a?4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，x∈P是x∈Q的必要條件，

∴x∈Q?x∈P，即Q?P?a?4≤1a+4≥3?a≤5a≥?1解得?1≤a≤5．

∴實(shí)數(shù)a已知圓錐的底面半徑為1，高為22，點(diǎn)P是圓錐的底面圓周上一點(diǎn)，若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點(diǎn)P，則繞行的最短距離是___．解：圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖為扇形，其弧長(zhǎng)為底面圓的周長(zhǎng)，即2π，

∵圓錐的母線長(zhǎng)為3.扇形的圓心角2π3，

∴一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點(diǎn)P，則繞行的最短距離是：2×33將正三棱錐P?ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”P?ABC?Q，如圖，下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說(shuō)法中，正確的有______．

①PQ⊥平面ABC；

②若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上；

③若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB=2PA；

④若AB=62解：①由‘’倒影三棱錐‘’的幾何特征可知PQ⊥平面ABC.故①正確；

當(dāng)P，A，B，C在同一球面上時(shí)，若△ABC的外接圓不是球體的大圓，則Q不在該球面上，故②不正確；

若該“倒影三棱錐”存在外接球，則三棱錐P?ABC的外接球半徑與等邊三角形ABC外接圓的半徑相等，可設(shè)為R，則AB=2R×32=3R，所以AB=62PA，故③不正確；由③推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為x=12+12ty=32t(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的一般方程和線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知定點(diǎn)【答案】解：(1)由得，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x．

直線l的參數(shù)方程為x=12+12ty=32t(t為參數(shù))，消參可得23x?2y?3=0;

(2)直線l的參數(shù)方程為x=12+1如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上．

(1)求異面直線D1【答案】解：(1)連接AD1，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D.

∵AB⊥平面AA1D1D，∴AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影．

依據(jù)三垂線定理得AD1⊥D1E，則異面直線D1E與A1D所成的角為90°．

命題p:?x∈R，x2+2ax+4>0，命題q:?x0∈[?1,1]，使得2x+a?1>0成立．

①若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②已知r:a>k，若r【答案】解：(1)∵對(duì)隨意x∈R，不等式

x2+2ax+4>0恒成立，

∴△=4a2?16<0，解得?2<a<2，即

p

為真命題時(shí)，?2<a<2；

存在：x0∈[?1,1]，使得2x+a?1>0成立，即a>1?2x成立，

∴a>(1?2x)min=?1，即命題q

為真時(shí)，a>?1；

∵p∨q為真，p∧q為假，∴p、q

一真一假，

當(dāng)

p

真q

假時(shí)，則?2<a<2，且a≤?1，即?2<a??1，

當(dāng)p假q

真時(shí)，則a≤?2或a?2，且a>?1，即a?2，

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?2,?1]∪[2,+∞)．

(2)若r:a>k，如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N，P，Q分別是AA1，BB1，AB，B1C1的中點(diǎn)．

(2)求證：PC1//【答案】解：(1)如右圖所示：取A1C1的中點(diǎn)H，連接HQ，QN，NM，MH

則梯形MHQN是過(guò)M，N，Q三點(diǎn)的截面．

(2)證明：連接BC1，AC1．

∵三棱柱ABC?A1B1C是直三棱柱，∴四邊形ABB1A1是矩形．

在矩形ABB1A1中：

∵M(jìn)，N分別是AA1，BB1的中點(diǎn)，∴MN

//

AB．

∵M(jìn)N?平面ABC1，AB?平面ABC1，∴MN

//平面ABC1．

在△B1C1B中：

∵Q，N分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴NQ

//

BC定義橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日?qǐng)A”方程為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日?qǐng)A”E的方程；(2)若斜率為1的直線l與“蒙日?qǐng)A”E相交于A,B兩點(diǎn)，且與橢圓C相切，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求?OAB的面積