2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)：矩形的性質(zhì)與判定 知識(shí)梳理與分類講解

專題L4矩形的性質(zhì)與判定（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)一】矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

【要點(diǎn)說(shuō)明】矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是

一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.

【知識(shí)點(diǎn)二】矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：

1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2.矩形的對(duì)角線相等；

3.矩形的四個(gè)角都是直角；

4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.

【要點(diǎn)說(shuō)明】

（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過(guò)中心的任意直線可將矩

（2）形分成完全全等的兩部分.

（3）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的

交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.

（4）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)

可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角;

從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.

【知識(shí)點(diǎn)三】矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

【要點(diǎn)說(shuō)明】

在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩

形.

試卷第1頁(yè)，共8頁(yè)

【知識(shí)點(diǎn)四】直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【要點(diǎn)說(shuō)明】

（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形

對(duì)一般三角形不可使用.

（2）學(xué)過(guò)的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直

角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

（3）性質(zhì)可以用來(lái)解決有關(guān)線段倍分的問(wèn)題.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】利用矩形的性質(zhì)證明與求值

【例1】（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?期中）

1.如圖，在矩形/BCD中，對(duì)角線NC、2。相交于點(diǎn)O,CELBD于點(diǎn)、E,4FJL2。于點(diǎn)

F,連接/E與CF.

⑴求證：四邊形/FCE是平行四邊形；

（2）若AE=CD,ZDCE=35°,求/8CF的度數(shù).

【變式1］（23-24八年級(jí)下?云南昭通?階段練習(xí)）

2.兩個(gè)矩形的位置如圖所示，若』=110。，則N2的度數(shù)為（）

【變式2】（23-24八年級(jí)下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）

3.如圖，在矩形A3CD中，48=3,點(diǎn)E在邊8c上，且8E=1,若EA平分NBED,則

的長(zhǎng)是—.

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

AD

【題型2】利用矩形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題

【例2】（23-24八年級(jí)下?浙江金華?期中）

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O48C的頂點(diǎn)4C分別在x軸，〉軸的正半軸上,

且點(diǎn)2的坐標(biāo)為（4,2）,點(diǎn)。為線段4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡為線段/。上一點(diǎn)（不與點(diǎn)/

重合），連結(jié)DE.

（1）求對(duì)角線"C所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

⑵如圖2,將△DEN沿著。E翻折，使點(diǎn)/落在平面內(nèi)的點(diǎn)尸處.若點(diǎn)。為對(duì)角線/C的中

點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在矩形。48c的頂點(diǎn)上時(shí)，求E尸的長(zhǎng).

【變式11（2024?山東淄博?二模）

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形48co的邊CO,04分別在x軸，y軸上，點(diǎn)E在邊3C

上，將該矩形沿/E折疊，點(diǎn)2恰好落在邊上的尸處.若。/=8,CF=4,則點(diǎn)￡的坐

標(biāo)是（）

A.（-10,3）B.（-9,3）C.（-10,2.5）D.（-9,2.5）

【變式2】（2024?廣西玉林?一模）

6.如圖，把一張矩形紙片/BCD按如下方法進(jìn)行兩次折疊：第一次將DN邊折疊到。。邊

上得到折痕為DM,連接CM,第二次將AMBC沿著MC折疊，恰好

試卷第3頁(yè)，共8頁(yè)

落在邊上.

【題型3】直角三角形斜邊上的中線問(wèn)題

【例3】（23-24八年級(jí)下?北京?期中）

7.已知：如圖所示，在平行四邊形/BCD中，對(duì)角線/C、相交于點(diǎn)O,BD=2AD,

E、F、G分別是OC、0D、N8的中點(diǎn).求證:

（1）5F1^C.

Q）EG=EF.

【變式11（2024?浙江紹興?二模）

8.如圖，菱形/BCD的對(duì)角線4C,3。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)8作8ELCD于E,尸是邊2c

FF

的中點(diǎn)，連接E尸，若NC=16,菱形NBCD的面積96,則工的值是（）

D-11

【變式2】（23-24八年級(jí)下?福建福州?期末）

9.如圖，菱形/BCD的對(duì)角線/C、8。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)連接

OH,若ZB4D=58。，則的度數(shù)為.

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

R

【題型4】矩形判定的理解

【例4】（23-24八年級(jí)下?河南商丘?期中）

10.如圖，平行四邊形N8CD的對(duì)角線/C、2D相交于點(diǎn)。，BD=12cm,AC=6cm,E

在線段30上從點(diǎn)2以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)下在線段OD上從點(diǎn)0以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

（1）若點(diǎn)￡、廠同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形/EC尸是平行四邊形；

⑵在（1）的條件下，當(dāng)43為何值時(shí)，四邊形/EC尸是菱形？

（3）在（1）的條件下，四邊形NEC尸還可能是矩形嗎？為什么？

【變式1】（23-24八年級(jí)下?重慶九龍坡?期中）

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形B.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是矩形

【變式2】（23-24八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）

12.如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,ABLAD,4B=5,CD=8,點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)

每秒以0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形是矩

【題型5】利用矩形的性質(zhì)與判定求值與證明

【例5】（23-24九年級(jí)上?江西九江?期末）

試卷第5頁(yè)，共8頁(yè)

13.課本再現(xiàn):

(1)定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：如圖1,在中，ZACB=90°,CD是48邊上的中線.

求證：CD'AB.

2

證明：如圖1,延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使得DE=CD,連接

請(qǐng)把證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

知識(shí)應(yīng)用：

(2)如圖2,在“BC中，4D是3c邊上的高，CE是48邊上的中線，尸是CE的中點(diǎn)，

連接上并延長(zhǎng)交NC于點(diǎn)G,連接GE,AB=2CD.求證：EG=CG.

【變式1](22-23八年級(jí)下?湖北十堰?期中)

14.如圖，矩形/BCD中，4B=6,點(diǎn)E是4D上一點(diǎn),且。E=2,CE的垂直平分線交C2

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)、連接EF交4B于點(diǎn)G.若G是48的中點(diǎn)，則2c的長(zhǎng)是

()

A.6B.7C.8D.9

【變式2】(23-24九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中)

15.如圖，在矩形23CD中，AB=2,4)=4點(diǎn)E在邊/。上，點(diǎn)尸在邊3c上，且

AE=CF,連接C￡,DF,則CE+。尸的最小值為.

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

[例1](2024?四川廣元?中考真題)

(1)尺規(guī)作圖：作對(duì)角線/C的垂直平分線，交于點(diǎn)E,交4B于點(diǎn)F；(不寫作法，保留

作圖痕跡)

(2)連接/￡、CF.求證：四邊形NFCE是菱形.

【例2】(2024?云南?中考真題)

17.如圖，在四邊形N3CD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且/8〃C￡?,

AD//BC,四邊形EFG8是矩形.

⑴求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)若矩形EFG8的周長(zhǎng)為22,四邊形/BCD的面積為10,求N8的長(zhǎng).

2、拓展延伸

【例1】(重慶市秀山土家族苗族自治縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)

18.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線^=一%上一點(diǎn)”(-2,2),/為了軸正半軸上一點(diǎn),

連接/M；過(guò)點(diǎn)〃■作瓦在EN上截取線段2W,使=過(guò)點(diǎn)N作直線

BCLx軸，垂足為8；交直線＞于點(diǎn)C,連接/N,交直線＞=f于點(diǎn)。，

試卷第7頁(yè)，共8頁(yè)

⑴求證：OA=OB-

(2)當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,5)時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)0△OW時(shí)，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).

【例2】(23-24八年級(jí)下?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))

19.在學(xué)完矩形的判定后，善于鉆研的小壯、小剛和小強(qiáng)同學(xué)有自己獨(dú)到的見(jiàn)解：

己知：如圖，四邊形/BCD中，AD//BC,對(duì)角線/C、AD相交于點(diǎn)O,OA=OC.

小壯說(shuō)：若則四邊形48CD為矩形；

小剛說(shuō)：若/ABC=NBCD,則四邊形/BCD為矩形.

小強(qiáng)說(shuō)：若Zl=2N2,則四邊形/BCD為矩形.

請(qǐng)對(duì)三人的說(shuō)法任選其一進(jìn)行判斷并證明.

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

1.(1)見(jiàn)解析

(2)20°

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)：

(1)證明一。尸/ACOE(AAS),得到/O=E。，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊

形，即可得證；

(2)矩形，得到/BCD=90。，平行四邊形的性質(zhì)，推出比=C。，ZFAE=ZFCE,再利

用角的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)證明：?.?4F_L3。，AF1BD

ZAFO=ZCEO

???四邊形/BCD是矩形

AO=CO

ZAFO=ZCEO

???在A4Qb和△口?￡*中｛/4OF=ZCOE

AO=CO

△力O尸也△CO￡(AAS)

FO=EO

???四邊形AFCE是平行四邊形；

(2)???四邊形是矩形

???/BCD=90。

???在口4FCE中，AE=CF

又?：AE=CD

；.CF=CD

vCElBD,ZDCE=35°

；.NFCE=NDCE=35。

???在口/尸CE中，ZFAE=ZFCE

??.ZBCF=ZBCD-ZFDC=90-2x35=20°.

2.C

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，余角與補(bǔ)角，由補(bǔ)角的定義可得/3=70。，由題意可得

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

Z4+Z3=90°,12+/4=90。，則有N2=/3,即可得解.

【詳解】解：如圖，

A

???Zl=110°,

.?.Z3=180°-Zl=70°,

???Z4+Z3=90°,Z2+Z4=90°,

：./2=N3,

.?.Z2=70°.

故選：C.

3.5

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，得到

AD=DE=BC,設(shè)=在RtADCE中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???矩形/以為中，AB=3,

：.AD11BCfCD=AB=3,AD=BC,Z.C=90°,

???AAEB=/DAE,

???EA平分/BED,

???NAEB=ZDEA,

???/DEA=ZDAE,

*'?AD=DE,

設(shè)=則：DE=BC=x,CE=BC-BE=x-l,

在RtADCE中，由勾股定理，得：X2=(X-1)2+32,

解得：x=5,

AD=5；

故答案為：5.

4-(1)J=+2

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

?5

⑵2或5

【分析】對(duì)于(1),先求出點(diǎn)4C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的關(guān)系式即可;

對(duì)于(2),當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)O重合時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)定義得出答案；當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，根據(jù)勾

股定理求出答案.

【詳解】(1)???四邊形0/8C是矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,2),

C(0,2),4(4,0),

設(shè)直線/C的解析式為夕=履+2,

4左+2=0,

解得上=-；,

.??直線4C的解析式為〉=-;x+2；

(2)當(dāng)斤點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，DEVOA,

■■D點(diǎn)是/C的中點(diǎn)，

.??￡點(diǎn)是。/的中點(diǎn)，

,-.EF=EA=-OA=2.

2

當(dāng)下點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，DE1AC,

此時(shí)=,

在RtZXOEC中，CE2=CO2+OE2,

AE2=42+(4-/E)2,

解得=

「廠

EF=—5.

2

綜上所述：E尸的長(zhǎng)為2或g.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，翻折的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性

質(zhì)，勾股定理是求線段長(zhǎng)的常用方法.

5.A

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)、翻折變化、坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱，解題

的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.根據(jù)題意可以得

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

到CE、。廠的長(zhǎng)度，根據(jù)點(diǎn)￡在第二象限，從而可以得到點(diǎn)E的坐標(biāo).

【詳解】解：由題意，BC=0A=8,

設(shè)CE=a,則5￡=8-〃，

由折疊可得，EF=BE=8-a,

-ZECF=90°,。尸=4,

a2+42=（8-a）2,

解得，。=3,

設(shè)AB=b,

AF=OC=b,

/.OF=b-4,

9二90。,

/=伍-4『+82,

解得b=10,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為（TO,3）,

故選：A.

6.41

【分析】本題考查了正方形中的翻折，熟練掌握翻折的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.先利用第一次翻折確定四邊為正方形，得出。W=亞/。，再利用第二次翻折

得出C￡>=￡>M=VLW,即可求解.

【詳解】解：???四邊形為矩形，

:.NADC=NBAD=90°,AB//CD,ABCD,AD=BC,

由第一次折疊可知，NDA'M=NDAM=90。,DA'=DA,

四邊4M4,Z）為正方形，

AM=A'M=AD,

DM=ylAD2+AM2=0AD，

由第二次折疊可知，/BMC=ZB'MC,

■■BM//CD,

ZDCM=NBMC,

ZB'MC=ZDCM,

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

CD=DM=42AD，

AB=CD=41AD，

.AB42ADr-

----=--------=72.

ADAD

故答案為：V2.

7.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線

和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)由已知條件易證03=8C,再根據(jù)等腰三角形中底邊上的高與中線合一的性質(zhì)知

BELAC.

(2)利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半及中位線定理可證斯=GE.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

/.AD=BC,OD=OB,

?「BD=2AD,

/.OB=BC,

是等腰三角形，

,?,￡是。。的中點(diǎn)，

BEVAC.

(2)證明：由(1)知/8瓦4=90。，

:.^ABE是直角三角形，

??,G是22的中點(diǎn)，

:.GE=-AB,

2

???￡、尸分別是0C,0。的中點(diǎn)，

:.EF^-DC=-AB,

22

.-.EF=GE.

8.D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，先

由菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，可計(jì)算出=12的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

得。C=8C=10的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半，即可得出答案.

【詳解】解：???四邊形/BCD是菱形，

:.BO=-BD,OC=-AC,BC=DC,

22

"AC=16,菱形48CD的面積為96,

BDxACx—=96,

2

解得3D=12,

貝！JDC=BC=\IOC2+BO2=10，

?；BELCD,尸是邊3c的中點(diǎn)，

；.EF=LBC=5,

2

_EF_5

故選：D.

9.29。##29度

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì),

解題關(guān)鍵是根據(jù)菱形和直角三角形的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系.

根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角，求出NBDA=AABD=61°,求出ZBDH,再根據(jù)斜邊中線

等于斜邊一半、等邊對(duì)等角，推出=得出答案即可.

【詳解】解：???四邊形是菱形，440=58。，

AB=AD,OB=OD,

ABDA=AABD=18?！?58。=61。，

2

vDHVAB,

ZBHD=90°,

OH=OD=OB,ABDH=90°-61°=29°,

："DHO=4BDH=29°,

故答案為：29°.

10.(1)2

(2)/8=3氐11

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

（3）不能；理由見(jiàn)解析

【分析】本題綜合考查平行四邊形的判定和菱形的判定.考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能

力.

（1）根據(jù)要使四邊形NECF為平行四邊形時(shí)，OE=O尸得出6T=2f,即可求得/值；

（2）若是菱形，則NC垂直于8。，即有4。2+802=/笈，故可求；

（3）若是矩形，EF=AC,則此時(shí)￡在。上，所以四邊形NECb不可以是矩形.

【詳解】（1）解：???四邊形43CZ）為平行四邊形，

BO=0D=—BD=6cm,AO=CO=—AC=3cm,

22

若四邊形/ECF為平行四邊形，

AO=OC,EO=OF,

???￡在線段30上從點(diǎn)8以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸在線段上從點(diǎn)。以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，

■■.EO=6-t,OF=2t,

：.6—t=2t,

?,?%=2,

.??當(dāng)￡的值為2時(shí)，四邊形NEC尸是平行四邊形.

（2）解：若四邊形是菱形，

???AC1BD,

-AO2+BO2=AB2,

AB—V62+32=3A/5（cm）；

（3）解：不可以.

若是矩形，EF=AC,

6—/+2%=6,

???/=0,

則此時(shí)E在點(diǎn)3上，廠在。上，

顯然四邊形/EC尸不是矩形.

11.B

【分析】本題考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的判定定理逐

項(xiàng)分析即可.

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】解：A、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)符合題意；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)不符合題意；

D、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以D選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

12.6

【分析】本題考查矩形的判定，由矩形的判定可得出8-0.5/=5,則可得出答案.確定

=是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)每秒以0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為七

PC=0.57,

-?-C￡>=8,

；.DP=BC-PC=8-Q5t,

vABLAD,

N4=90°,

???AB//CD,

當(dāng)=尸時(shí)，四邊形/5PD是矩形，

?,*8—0.5/=5,

??t—6,

故答案為：6.

13.(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜

邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解(1)的關(guān)鍵，熟練

掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解(2)的關(guān)鍵.

(1)先證明四邊形/C2E是平行四邊形，再證明四邊形/C2E是矩形即可；

(2)由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得。E=進(jìn)而可證CD=DE,然后證明DG是線段

CE的垂直平分線即可.

【詳解】解：(1)是N3邊上的中線，

/.BD=AD.

DE=CD,

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

四邊形NC8E是平行四邊形.

■.■ZACB=90°,

，四邊形/C8E是矩形.

AB=CE.

；CD=LCE,

2

:.CD^-AB.

2

(2)如圖，連接。E.

CE是N8邊上的中線,

DE^-AB.

2

AB=2CD,

:.CD=-AB.

2

CD=DE.

???尸是CE的中點(diǎn),

DGVCE.

：.DG是線段CE的垂直平分線.

EG=CG.

14.A

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EP，3c于點(diǎn)尸，證明四邊形ABPE和四邊形CDE尸為矩形，得出

CD=EP=6,DE=CP=2,根據(jù)證明△/EG之AB尸G,得出4E=BF,又TH垂直平分

EC,得出尸C=FE,令BC=x，則BP=4E=BF=x-2,ffiifuBP=AE=BF=2x-2,

FP=2x-4,EF=FC=2x-2,在RtAET7中，EP1+FP2=EF2,進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)￡作EPLBC于點(diǎn)尸，

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

NA=ZABC=/BCD=ZD=90°,AB=CD=6,

???四邊形ABPE和四邊形CDEP為矩形，

又AB=6,DE=2,

CD=EP=6,DE=CP=2,

???G是N8的中點(diǎn)，

.-.AG=GB=3,

又?：AD〃BC,

NAEG=ZBFG,

又"GE=NBGF,

AEG^BFG（AAS）,

AE=BF,

???77/垂直平分EC,

FC=FE,

令BC=x,則=2,

又。:AE=BF=BP,

BP=AE=BF=x—2,

.-.FP=2x-4fEF=FC=2x-2,

在Rt/\EFP中，EP2+FP2=EF2，

1?162+（2X-4）2=（2x-2）2

解得x=6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的判定

和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形求邊長(zhǎng).

15.4&

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、將軍飲馬問(wèn)題全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容,

綜合性較強(qiáng)，將CE+DF轉(zhuǎn)化為CE+8E是解題的關(guān)鍵.

先連接BE,將CE+。尸轉(zhuǎn)化為CE+8E,再利用將軍飲馬解決問(wèn)題即可.

四邊形"BCD是矩形

AB=CD,NBAE=NDCF=90°

AE=CF

ABE為CDF(SAS)

BE=DF

:.CE+DF=CE+BE

如圖，作8點(diǎn)關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接CB'

AB=2,AD=4

BB'=4BC=4

CB'=y/BB2+BC2=472

;.CE+。尸的最小值為4&

故答案為：4也.

16.(1)見(jiàn)解析;

(2)見(jiàn)解析.

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，垂直平分線的畫法及性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì),

菱形的判定.

(1)根據(jù)垂直平分線的畫法即可求解；

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

(2)由直線E尸是線段/C的垂直平分線.得到E4=￡C,FA=FC,

NCOE=ZAOF=90°,OA=OC,根據(jù)矩形的性質(zhì)可證ACOE知AOF(ASA),可得EC=FA,

即可得到E/=EC=E4=PC,即可求證.

【詳解】(1)解：如圖1所示，直線E尸為所求;

(2)證明：如圖2,設(shè)E尸與4C的交點(diǎn)為

由(1)可知，直線E尸是線段/C的垂直平分線.

EA=EC,FA=FC,ZCOE=ZAOF=90°,OA=OC,

又???四邊形/BCD是矩形，

CD//AB,

:.NECO=ZFAO,

.-.ACOE^AOF(ASA),

EC=FA,

EA=EC=FA=FC,

???四邊形/FCE是菱形.

17.⑴見(jiàn)解析

⑵VHT

【分析】(1)連接8。，AC,證明四邊形N8C。是平行四邊形，再利用三角形中位線定理

得到G7〃8D,HG//AC,利用矩形的性質(zhì)得到8O_L/C,即可證明四邊形48CD是菱

形;

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

(2)利用三角形中位線定理和菱形性質(zhì)得到:8D+：/C=CM+O3=ll,利用lx面積公式

22

得到20408=10,再利用完全平方公式結(jié)合勾股定理進(jìn)行變形求解即可得到.

【詳解】(1)解：連接8。，AC,

'G???AB//CD,AD//BC,

四邊形/BCD是平行四邊形，

?.?四邊形N8CD中，點(diǎn)E、F、G、b分別是各邊的中點(diǎn)，

GF//BD,HG//AC,

四邊形EFGH是矩形，

HG1GF,

BDLAC,

四邊形/3CD是菱形；

(2)解：：四邊形/BCD中，點(diǎn)E、F、G、a分別是各邊的中點(diǎn)，

GF=EH=-BD,HG=EF=-AC,

22

???矩形EFGH的周長(zhǎng)為22,

BD+AC=22,

四邊形/BCD是菱形，

即口。+=CM+06=11,

四邊形A8CD的面積為10,

:.-BDAC=10,即2cM?08=10,

2

(OA+OB)2=OA2+2OA-OB+OB2,

OA2+OB2=121-10=111,

AB=ylo^+OB2=Vlll.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，菱形

的性質(zhì)和判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

18.⑴見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（。,“），則0/=。，過(guò)點(diǎn)〃作尸。二丫軸于點(diǎn)0,交3c于點(diǎn)

）

P,則G=2,MQ=2,AQ=a-2,證明"MQ四△A/M（AAS）,得至IJMP=4。=Q—2,

從而PQ=MP+MQ=a,又OB=PQ=a,即可得至Ij/O=BO；

（2）當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（0,5）時(shí)，AO=5,PB=OQ=2,MQ=2,AQ=3,由△4WQ也△A/7VP

得到酒=M0=2,PM=AQ=3,從而得到點(diǎn)N（-5,4）,運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線ZN的

1P二-%

解析式為歹=M'+5,解方程組1〈即可得到點(diǎn)。的坐標(biāo)；

5y=-x+5

I5

（3）設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,。），則C（-a,a）,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到

CM=^（-a+2）2+（o-2）2=V2（a-2）,當(dāng)△OA￡4之△CW時(shí)CM=CW,即。=后（。-2）,

求解即可得到點(diǎn)/的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,。），則3=。，

過(guò)點(diǎn)M作尸。，了軸于點(diǎn)0,交于點(diǎn)尸，

???"2,2),

/.CQ=2,MQ=2,AQ=a—29

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

vBC_Lx軸，

??.NCBO=90。,

尸011》軸,

.-.ZNPM=ZCBO=90°,

ZPNM+ZPMN=90°,

???EM_LAM

??.ZAMN=9QP,

：,ZNMP+ZAMQ^90°,

/PNM=ZAMQ,

.?.在△4WQ和叢MNP中,

ZAQM=ZMPN

<ZAMQ=/MNP,

AM=MN

.??△4MQ絲△AWP(AAS),

MP=AQ=Q_2,

PQ=MP+MQ=a—2+2=a,

???PQ_Ly軸，3C_Lx軸，ZAOB=9Q0,

四邊形。。尸3是矩形，

OB=PQ=a,

/.AO=BO；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,5)時(shí)，40=5,PB=OQ=2,MQ=2,

AQ=AO-OQ=5-2=3,

???AAMQOMNP,

:.NP