人教版必修4《三角函數(shù)》教材分析與教學(xué)建議

人教版必修4《三角函數(shù)》教材分析與教學(xué)建議

一、定位二、教材特點三、知識結(jié)構(gòu)四、綱標(biāo)對比五、教學(xué)建議目錄一、定位三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用.在本模塊中，通過實例，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用.通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進一步加深對函數(shù)概念的理解，提高用函數(shù)概念解決問題的能力.二、教材特點1、加強幾何直觀,強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.4、突出信息技術(shù)的工具性.3、利用知識的發(fā)生發(fā)展過程提出問題,引導(dǎo)思考，訓(xùn)練思維，提高能力.2、突出三角函數(shù)在刻畫周期變化現(xiàn)象中的地位和作用、過程和方法.三、知識結(jié)構(gòu)四、綱標(biāo)對比□內(nèi)容教學(xué)大綱課程標(biāo)準(zhǔn)區(qū)別任意角和弧度制使學(xué)生理解弧度的意義，并能正確地進行弧度和角度的換算.了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化.

理解變?yōu)榱私猓舐杂邢陆稻V標(biāo)對比：□內(nèi)容教學(xué)大綱課程標(biāo)準(zhǔn)區(qū)別三角函數(shù)1.使學(xué)生掌握任意角的三角函數(shù)定義、三角函數(shù)符號、三角函數(shù)性質(zhì)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并能運用上述三角函數(shù)的公式化簡三角函數(shù)式、求任意角的三角函數(shù)值與證明三角恒等式.2.使學(xué)生了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦余弦函數(shù)和y=Asin(

x+)的簡圖，并通過正弦曲線的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決有關(guān)實際問題的能力.1．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.2．借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式

(/2,

的正弦、余弦、正切)，能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在(-/2，

/2)上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）.4.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1，

tanx=sinx/cosx.5.結(jié)合具體實例,了解y=Asin(

x+

)的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin(

x

+)的圖象，觀察A，

，

對函數(shù)圖象變化的影響.

利用單位圓,重視數(shù)形結(jié)合.

重視讓學(xué)生參與三角函數(shù)概念、公式、圖象和性質(zhì)等知識的產(chǎn)生和推導(dǎo)的全過程.只定義三個三角函數(shù)同角關(guān)系三個減為兩個．刪去已知三角函數(shù)值求角、反三角函數(shù).降低“給角求值”，“化簡與證明三角恒等式”的難度要求.現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)支持教學(xué)

和差倍半設(shè)章綱標(biāo)對比：□內(nèi)容教學(xué)大綱課程標(biāo)準(zhǔn)區(qū)別三角函數(shù)

會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

新增數(shù)學(xué)應(yīng)用及數(shù)學(xué)建模的教學(xué)要求.加強：三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型；

借助單位圓理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)；新增利用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)輔助教學(xué)的安排；通過建立三角函數(shù)模型解決實際問題等。削弱：

刪減任意角的余切、正割、余割，三角函數(shù)的奇偶性，已知三角函數(shù)求角，反三角函數(shù)符號等。

降低同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式等的教學(xué)要求等。（獲得必要的基礎(chǔ)知識，運算的技巧難度降低要求）教學(xué)要求變化：

課標(biāo)不要求的題：無：已知sinx=3/5，求cotx.已知cosx=1/3，求x.

有少量：１＋２cosx>0,求x取值集合，無：解不等式2cos2x–cosx-1>0.有少量：求y=tan3x的定義域，無：求y=lgcos(2x-1)的定義域.借助單位圓（作用加強）1.定義1弧度的大小2.在坐標(biāo)系中定義三角函數(shù)（1）突出三角函數(shù)概念的本質(zhì)；（2）簡化定義形式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的從簡精神；（3）加強與幾何的聯(lián)系，便于應(yīng)用。任意角α

→

點P的縱坐標(biāo)——正弦任意角α

→

點P的橫坐標(biāo)——余弦3.畫三角函數(shù)圖象（同原教學(xué)）4.導(dǎo)出三角函數(shù)的圖象、基本性質(zhì)、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式（同原教學(xué)）

三角函數(shù)的所有內(nèi)容都可以借助單位圓的直觀進行討論為什么用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)定義：任意角

與單位圓的交點為P(x，y)，則x=cos

，y=sin

.對應(yīng)關(guān)系明確，函數(shù)的意義直觀而具體，“周期函數(shù)”的特點一目了然.三角函數(shù)性質(zhì)：正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表述，例如（1）P(x，y)在單位圓上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域為[－1，1]；（2）|OP|2=sin2

+cos2

=1；（3）對于圓心的中心對稱性

sin(π+

)=－sin

，cos(π+

)=－cos

；（4）對于x軸的軸對稱性

sin(－

)=－sin

，cos(－

)=cos

；（5）對于y軸的軸對稱性

sin(π－

)=sin

，cos(π－

)=－cos

；（6）對于直線y=x的軸對稱性

sin(－

)=cos

，cos(－

)=sin

；（7）圓的旋轉(zhuǎn)對稱性：和（差）角公式圓的反射對稱性：和（差）化積公式五、教學(xué)建議課程內(nèi)容與課時（共16課時）

教學(xué)中要注意在學(xué)生已有生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過較豐富的實例展示角擴充的必要性。在直角坐標(biāo)系中，引入象限角概念，為用代數(shù)方法研究角提供了基礎(chǔ).要認識象限角的分類，通過比較、發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)出同終邊角的集合表示。要揭示引入實數(shù)度量角的必要性，弧長公式和扇形面積計算公式只需要會做簡單應(yīng)用。

本節(jié)內(nèi)容涉及概念較多，在教學(xué)方法上建議：先由教師提出一些問題,提供學(xué)生自學(xué)時間，在此基礎(chǔ)上，可通過講授再現(xiàn)概念，通過練習(xí)理解概念，完成教學(xué).1.1任意角和弧度制

在直角坐標(biāo)系中,通過計算機輔助，突出三對比值與終邊上點的位置無關(guān)，與角的終邊有關(guān)．引入單位圓,借助幾何支持，定義三種三角函數(shù)．通過探究導(dǎo)出三種三角函數(shù)的值在各象限的符號．運用三角函數(shù)定義導(dǎo)出兩個同角三角函數(shù)基本關(guān)系．

明確三種三角函數(shù)在單位圓中的幾何表示．

認識任意角的終邊上任意一點的橫、縱坐標(biāo)與余、正弦函數(shù)的關(guān)系.恒等式的化簡、證明，只需圍繞三種三角函數(shù)，難度要控制．

1.2任意角的三角函數(shù)一是突出幾何圖形對發(fā)現(xiàn)結(jié)論的影響，即我們是如何從單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性中發(fā)現(xiàn)結(jié)論的.二是在誘導(dǎo)公式的運用中隱含著化歸與轉(zhuǎn)化的思想.1.3誘導(dǎo)公式

正弦、余弦函數(shù)按照從函數(shù)的定義到作函數(shù)圖象再到討論函數(shù)性質(zhì)最后到函數(shù)模型應(yīng)用的順序展開，三角恒等變換不再穿插其中，這一順序與研究其他函數(shù)的順序一致，使得三角函數(shù)的研究更加簡潔．另外，把周期性作為第一條性質(zhì)，目的是為了體現(xiàn)它的重要性。正切函數(shù)先利用誘導(dǎo)公式、單位圓討論性質(zhì)，然后再利用性質(zhì)作圖象，這樣做的目的是為了使學(xué)生體會可以從不同角度討論函數(shù)性質(zhì)。

1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（本章重點之一）

1.5函數(shù)y=Asin(

x+

)的圖象（1）探索φ對y＝sin(x+φ)的圖象的影響；（2）探索ω對y＝sin(ωx+φ)的圖象的影響；（3）探索A對y＝Asin(ωx+φ)的圖象的影響；（4）上述三個過程的合成。具體到抽象——歸納思想1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用例1.用已知的三角函數(shù)模型解決問題；例2.將復(fù)雜的函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)解決問題；例3.根據(jù)問題情景建立精確的三角函數(shù)模型解決問題；例4.通過數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實際問題：由給出的潮起潮落的變化數(shù)據(jù)，通過作散點圖，選擇函數(shù)模型，建立函數(shù)模型，并用得到的函數(shù)模型解決有關(guān)問題.人教版必修4《三角恒等變形》教材分析與教學(xué)建議

一、定位本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上。通過本章的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學(xué)生體會三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。教育價值(1)有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用。(2)有助于學(xué)生認識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程。(3)有助于發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理能力。二、教材特點1．削枝強干，精簡內(nèi)容。2．突出數(shù)學(xué)思想方法，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進行引導(dǎo)。3．以問題為引導(dǎo)，加強過程與聯(lián)系，切實改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。三、知識結(jié)構(gòu)四、綱標(biāo)對比□內(nèi)容教學(xué)大綱課程標(biāo)準(zhǔn)區(qū)別兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2.通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。

1.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。

2.能用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的余弦及兩角和與差的正弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

1.關(guān)于公式的推導(dǎo)，課標(biāo)降低了要求。

2.關(guān)于公式的推導(dǎo)，課標(biāo)強調(diào)了用向量的方法。

綱標(biāo)對比□內(nèi)容教學(xué)大綱課程標(biāo)準(zhǔn)區(qū)別簡單的三角恒等變換

能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶。）能運用上述三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶。）

公式的應(yīng)用要求大致一樣，課標(biāo)對應(yīng)用的含義更加廣泛，三角恒等變換的目的不止限于化簡、求值和恒等式證明，其應(yīng)用的含義更在于實際生活中。

課程內(nèi)容削弱的方面兩角和與差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原來的掌握減弱為能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出等。對三角恒等變換，《標(biāo)準(zhǔn)》要求以推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練，不要求用積化和差、和差化積、半角公式作復(fù)雜的恒等變形。五、教學(xué)建議課時分配3.1.1兩角差的余弦公式約1課時3.1.2兩角和與差的正弦、余弦和正切公式約1課時3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式約1課時小結(jié)復(fù)習(xí)約1課時3.2簡單的三角恒等變換約3課時小結(jié)復(fù)習(xí)約1課時3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式和（差）角公式的邏輯聯(lián)系圖重點和難點重點：通過探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。難點：兩角差的余弦公式的探索和證明。教學(xué)基本要求①了解學(xué)習(xí)兩角和與差三角函數(shù)公式的必要性。②理解用三角函數(shù)線、向量推導(dǎo)兩角差的余弦公式的思路。③能利用兩角差的余弦公式推出兩角和與倍角的其它三角函數(shù)公式。④能利用這些公式進行和、差、倍角的求值和簡單的化簡。教學(xué)發(fā)展要求

①理解在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程中所體現(xiàn)的向量方法。②理解和、差、倍角的相對性，能對角進行合理正確的拆分。③能對公式進行簡單的逆用。①控制好拆分角度的難度。②題型的變化不宜過多。說明3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式本章內(nèi)容的重點之一是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及在推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的思想方法，同時它也是難點。為了突出重點、突破難點，教學(xué)中可以設(shè)計一定的教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角形中的邊角關(guān)系等建立正弦、余弦值的等量關(guān)系。前一章中已經(jīng)明確指出，向量的數(shù)量積是解決距離與夾角問題的工具，在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)中能夠體現(xiàn)它的作用。3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學(xué)時應(yīng)當(dāng)注意下面四個要點：①在需要學(xué)生聯(lián)系已學(xué)過的其它知識時，有意識的引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想向量知識；②充分利用單位圓，分析其中有關(guān)幾何元素（角的終邊及其夾角）的關(guān)系，為向量方法的運用做好準(zhǔn)備；③探索過程的安排，應(yīng)當(dāng)先把握整體，然后逐步追求細節(jié)，在補充完善細節(jié)的過程中，需要運用分類討論思想，突破兩角差的余弦公式的推導(dǎo)這一難點后，其他所有公式都可以通過學(xué)生自己的獨立探索而得出。④本章不僅關(guān)注使學(xué)生得到差（和）角公式，而且還特別關(guān)注公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。3