2024-2025學(xué)年綏化市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年綏化市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷考試時間：120分鐘一?單選題1設(shè)向量，，若，則（）A. B.0 C.6 D.2.已知，則（

）A. B. C. D.3.已知向量，，若，則m的值為（）A.2 B.1 C. D.4.如圖，已知正三棱柱為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）A.1 B. C. D.5.已知一組數(shù)據(jù)為2，5，7，8，9，12，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.9 B. C.8 D.76.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.7.在中，角的對邊分別為.已知，則（）A. B. C. D.8.若正三棱柱的所有棱長均為，且其側(cè)面積為12，則此三棱柱外接球的表面積是（）A. B. C. D.二?多選題9.若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 B.的虛部為C. D.的共軛復(fù)數(shù)10.在空間中，已知a，b是兩條不同直線，，是兩個不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若，且，，，則B.若，且，，則C.若a與b相交，且，，則與相交D.若，且，，則11.已知圓錐的底面半徑為1，其母線長是2，則下列說法正確的是（）A.圓錐的高是 B.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為C.圓錐的表面積是 D.圓錐的體積是三?填空題12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，，，則______．13.已知球半徑為3，則該球的表面積等于__________，則該球的體積等于__________14.某校高一年級有1200名學(xué)生，高二年級有1000名學(xué)生，高三年級有800名學(xué)生，現(xiàn)要從該校全體學(xué)生中抽取100人進(jìn)行視力檢查，應(yīng)從高一年級抽取__________人四?解答題15.已知向量，滿足，且．（1）求向量，的夾角；（2）求．16.已知內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).（1）求；（2）若面積為，求的值.17.某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）現(xiàn)從，，這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求這組中抽取的人數(shù)．18.如圖，在正方體中，（1）求證：平面；（2）求證：19.在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，如圖所示．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線和平面所成角的正弦值2024-2025學(xué)年綏化市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷一?單選題1.設(shè)向量，，若，則（）A. B.0 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】直接利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解值．【詳解】向量，，若，則，解得．故選：D．2.已知，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，進(jìn)而可得.【詳解】由，所以，故選：B.3.已知向量，，若，則m的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程等于零求解，可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意知，，，則，解之可得故選：D4.如圖，已知正三棱柱為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）A1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，解三角形即可求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，易知，所以異面直線與所成角就是直線與直線所成的角，即（或其補(bǔ)角），由題意可知正三棱柱的所有棱長都相等，可設(shè)三棱柱的棱長都為，則，，，因?yàn)?，所以為直角三角形，所以即異面直線與所成角的余弦值為.故選：.5.已知一組數(shù)據(jù)為2，5，7，8，9，12，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.9 B. C.8 D.7【答案】A【解析】【分析】利用百分位數(shù)的求解公式即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第5個數(shù)，即為9．故選：A．6.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知等式化簡求出，從而可求出復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D．7.在中，角的對邊分別為.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】由余弦定理可得.故選：B8.若正三棱柱的所有棱長均為，且其側(cè)面積為12，則此三棱柱外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三棱柱側(cè)面積公式求出，確定球心的位置，如圖構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求出外接球半徑的平方，再根據(jù)球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可得，正棱柱的底面是邊長和高都等于的等邊三角形，側(cè)面積為，∴，∴，取三棱柱的兩底面中心，連結(jié)，取的中點(diǎn)，則為三棱柱外接球的球心，連結(jié)，則為三棱柱外接球的半徑．∵是邊長為的正三角形，是的中心，∴．又∵∴．∴三棱柱外接球的表面積.故選：B.二?多選題9.若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 B.的虛部為C. D.的共軛復(fù)數(shù)【答案】AD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A；求出復(fù)數(shù)的虛部判斷B；求出復(fù)數(shù)的平方判斷C；求出共軛復(fù)數(shù)判斷D作答.【詳解】對于A，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，A正確；對于B，的虛部為，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，的共軛復(fù)數(shù)，D正確.故選：AD10.在空間中，已知a，b是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若，且，，，則B.若，且，，則C.若a與b相交，且，，則與相交D.若，且，，則【答案】AC【解析】【分析】利用空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷即可【詳解】若，且，，即兩平面的法向量平行，則成立，故A正確；若，且，，則a與b互相平行或相交或異面，故B錯誤；若a，b相交，且，，即兩平面的法向量相交，則，相交成立，故C正確；若，且，，則與平行或相交，故D錯誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】此題考查空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11.已知圓錐的底面半徑為1，其母線長是2，則下列說法正確的是（）A.圓錐的高是 B.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為C.圓錐的表面積是 D.圓錐的體積是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓錐及側(cè)面展開圖的性質(zhì)，表面積公式，體積公式求解判斷即可.【詳解】圓錐的底面半徑為，其母線長是，則圓錐的高，故A正確；設(shè)圓錐側(cè)面展開圖圓心角為，則，解得，故B錯誤；圓錐的表面積是，故C正確；圓錐的體積是，故D錯誤.故選：AC.三?填空題12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，，，則______．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求A，根據(jù)正弦定理即可求的值．【詳解】在中，因?yàn)?，，，則，由正弦定理，可得：．故答案為：．13.已知球的半徑為3，則該球的表面積等于__________，則該球的體積等于__________【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)球的表面積公式和體積公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以球的表面積為，體積為.故答案為：，14.某校高一年級有1200名學(xué)生，高二年級有1000名學(xué)生，高三年級有800名學(xué)生，現(xiàn)要從該校全體學(xué)生中抽取100人進(jìn)行視力檢查，應(yīng)從高一年級抽取__________人【答案】40【解析】【分析】高一年級人數(shù)乘以抽樣比即可．【詳解】由題意，應(yīng)從高一年級抽取的人數(shù)為：.故答案為：40.四?解答題15.已知向量，滿足，且．（1）求向量，夾角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律得出，再根據(jù)夾角公式得夾角的余弦值，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件及（1）中結(jié)果，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由，得到，又，所以，得到，所以，又，所以【小問2詳解】由（1）知，又，所以，所以.16.已知內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).（1）求；（2）若的面積為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.【小問1詳解】原式化簡可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的內(nèi)角；【小問2詳解】，，，.17.某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）現(xiàn)從，，這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求這組中抽取的人數(shù)．【答案】（1），（2）72.9（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形面積和為1得到關(guān)于的方程，解出值，再利用頻率分布直方圖中平均數(shù)公式即可；（2）首先確定中位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)中位數(shù)為，列出方程，解出即可；（3）求出各區(qū)間人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)即可得到答案.【小問1詳解】由題意知，解得.估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，.【小問2詳解】頻率為，的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，所以，解得，即估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.9.【小問3詳解】的人數(shù)：，的人數(shù)：，的人數(shù)：，所以這組中抽取的人數(shù)為：.18.如圖，在正方體中，（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到，即可得證；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到、，即可證明平面，從而得證.【小問1詳解】在正方體中，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】連接、，在正方體中為正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.19.在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，如圖所示．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線和平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，設(shè)，連接，結(jié)合三角形中位線證得線線平行，利用線面平行判定定理得證；（2）由正三棱柱