2021高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1(第三章+空間向量與立體幾何)章節(jié)練習(xí)試題(含詳細(xì)解析)

2021年09月30日試卷一、單選題(共25題；共0分)1、(0分)如圖，已知二面角α－PQ－β的大小為60°，點(diǎn)C為棱PQ上一點(diǎn)，A∈β，AC＝2，∠ACP＝30°，則點(diǎn)A到平面α的距離為(

)

A.1B.1C.3D.32、(0分)在正三棱柱ABC-A1A.3B.3C.3D.33、(0分)正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成的角的余弦值為(

)A.2B.3C.2D.64、(0分)已知m、n、l是三條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，給出以下命題：

①若m?α,n∥α，則m∥n；

②若m?α,n?β,A.②④B.②③C.③④D.①③5、(0分)下列各組向量不平行的是（

）A.aB.aC.aD.a6、(0分)若平面α，β的法向量分別為n1=(2，-3，5)，n2=(-3，1，-4)，則().A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不正確7、(0分)如圖,半徑為3的扇形AOB的圓心角為120°,點(diǎn)C在AB上,且∠CA.3B.3C.4D.28、(0分)已知a=(cosθ，1，sinθ)，b=(sinθ，1，cosθ)，則向量a+b與a-b的夾角是().A.0°B.30°C.60°D.90°9、(0分)正方體ABCD?A1B1CA.[B.[C.[D.[10、(0分)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1A.-B.-C.-D.-11、(0分)在正三棱柱ABC-A1A.3B.3C.3D.312、(0分)已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，則向量a與向量a＋b的夾角為()A.πB.πC.πD.π13、(0分)設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題：

①若l⊥α，α⊥β，則l?β；②若l∥α，α∥β，則l?β；③若l⊥A.1B.2C.3D.014、(0分)如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，O是平面A'B'C'D'的中心，則O到平面ABC'D'的距離是（

）

A.1B.2C.2D.315、(0分)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（－2,1,9）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.（－2,1,9）B.（－2,－1,－9）C.（2,－1,9）D.（2,1,－9）16、(0分)（2015秋?葫蘆島期末）點(diǎn)A在z軸上，它到點(diǎn)（2，，1）的距離是，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A.（0，0，﹣1）B.（0，1，1）C.（0，0，1）D.（0，0，13）17、(0分)設(shè)，（其中是兩兩垂直的單位向量），若，則實(shí)數(shù)的值分別是（）A.B.C.D.18、(0分)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.19、(0分)在空間直角坐標(biāo)系中，A(4,A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形20、(0分)在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面α的一般方程為：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同時(shí)為零)，點(diǎn)到平面α的距離為：，則在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于()A.B.C.D.21、(0分)設(shè)一球的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，球面上有兩個(gè)點(diǎn)A,B，其坐標(biāo)分別為(1,2A.18B.12C.3D.222、(0分)設(shè)點(diǎn)是直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.23、(0分)在平行六面體ABCD?AA.2B.5C.7D.1124、(0分)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1，A.(B.(C.(D.(25、(0分)已知點(diǎn)A(0,1)A.(B.(C.(D.(

二、填空題(共10題；共0分)26、(0分)若向量a→=（1，λ，2），b→=（2，﹣1，2），且a→⊥b→，則λ等于_____________．27、(0分)與28、(0分)【2018屆廣東省六校（廣州二中，深圳實(shí)驗(yàn)，珠海一中，中山紀(jì)念，東莞中學(xué)，惠州一中）高三下學(xué)期第三次聯(lián)考】如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，三個(gè)單位向量OA→,OB→,OC→滿足條件：OA→與OC→29、(0分)四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1230、(0分)二面角α﹣l﹣β的平面角為120°，在面α內(nèi)，AB⊥l于B，AB=2在平面β內(nèi)，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為_(kāi)____________

31、(0分)已知A、B、C三點(diǎn)不共線，若點(diǎn)M與A、B、C四點(diǎn)共面，對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O，給出下列表達(dá)式：OM→=xOA→+yOB32、(0分)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(?2?,33、(0分)若A(4,-7,134、(0分)已知在空間四邊形OABC中，OA→=a→,OB→=b→,OC→35、(0分).已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是.

三、解答題(共5題；共0分)36、(0分)已知三棱錐P?ABC（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形AB(I)證明：平面PAC⊥平面(Ⅱ)求二面角A?(Ⅲ)若點(diǎn)M在棱PC上，滿足CMPM=λ，λ∈[1337、(0分)如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面A（Ⅰ）證明：平面A1CO⊥（Ⅱ）若∠BAD=38、(0分)如圖，已知A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)．

（1）證明AB1∥平面DBC1；

（2）假設(shè)AB1⊥BC1，BC=2，求線段AB1在側(cè)面B1BCC1上的射影長(zhǎng)．

39、(0分)如圖所示，在長(zhǎng)、寬、高分別為，，的長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）單位向量共有多少個(gè)？（2）試寫(xiě)出模為的所有向量；（3）試寫(xiě)出與相等的所有向量；（4）試寫(xiě)出的相反向量．40、(0分)如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E為PC上一點(diǎn)，且PE=23PC．

（Ⅰ）求PE的長(zhǎng)；

（Ⅱ）求證：AE⊥平面PBC；

（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)．

試卷答案1.【答案】C

【解析】【解答】過(guò)A作AO⊥α于O，點(diǎn)A到平面α的距離為AO；作AD⊥PQ于D，連接OD，則AD⊥CD，AO⊥OD，∠ADO就是二面角α-PQ-β的大小為60°．∵AC=2，∠ACP=30°，所以AD=ACsin30°=2×#f1d4d6bc-3997-47af-bd4d-a7884268585d#=1，在Rt△AOD中，。

本題考查空間幾何體中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，正確作出所求距離是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力與空間想象能力。

2.【答案】B

【解析】【解答】設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，則三棱錐的體積為即,∴，∴h=，選B..

求點(diǎn)到平面的距離，可以轉(zhuǎn)化為三棱錐底面上的高，用體積相等法，容易求得．“等積法”是常用的求點(diǎn)到平面的距離的方法.

3.【答案】D

【解析】【解答】正方體上下底面中心的連線平行于BB1，上下底面中心的連線平面ACD1所成角即為線面角，直角三角形中求出此角的余弦值．如圖，設(shè)上下底面的中心分別為O1，O；

O1O與平面ACD1所成角就是BB1與平面ACD1所成角，則可知cos∠O1OD1=O1OD1O=1=63,故選D.

本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出D到平面ACD1的距離是解決本題的關(guān)鍵所在，這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)

4.【答案】A

【解析】【解答】①中直線還可能異面；③中需指明直線n不在平面內(nèi)。

本題以命題真假的判斷為載體，考查了空間中線線與線面平行的判斷和空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】B

【解析】【解答】選項(xiàng)A，由于，因此是平行向量。

選項(xiàng)B中，由于對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不成比例，故不是平行向量。

選項(xiàng)C中，由于，因此是平行向量。

選項(xiàng)D中，由于不滿足系數(shù)比成比例，因此不是平行向量，故選B.

理解向量的平行，即為其坐標(biāo)的三個(gè)值對(duì)應(yīng)成比例即可，因此屬于基礎(chǔ)題。

6.【答案】C

【解析】因?yàn)閚1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0，所以n7.【答案】A

【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，∵∠BOC=30°B3,0,OC→=λOA【方法點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、相等向量以及平面向量基本定理，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何或者三角函數(shù)問(wèn)題解答

8.【答案】D

【解析】因?yàn)閍+b=(cosθ+sinθ，2，sinθ+cosθ)，a-b=(cosθ-sinθ，0，sinθ-cosθ).所以(a+b)·(a-b)=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)+2×0+(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=cos2θ-sin2θ+sin2θ-cos2θ=0.所以(a+b)⊥(a-b)，即向量a+b與a-b的夾角是90°.故選D.9.【答案】D

【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x、y、z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,1?x,x)，則BP→=(x?1,?x,x),BC1→=(【點(diǎn)睛】因?yàn)锽C1//A

10.【答案】D

【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)A1,0,0,C10,1,1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y,z，則0≤x≤1,0≤y≤1,z=1，∴

11.【答案】B

【解析】【解答】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，則三棱錐的體積為=,即，所以，所以.故選B。

本題求點(diǎn)到平面的距離，可以轉(zhuǎn)化為三棱錐底面上的高，用體積相等法，容易求得．“等積法”

是常用的求點(diǎn)到平面的距離的方法．

12.【答案】B

【解析】【解答】，結(jié)合平行四邊形法則可知是以為臨邊的矩形的對(duì)角線向量，所以所求夾角滿足

設(shè)夾角為，則，要求兩向量的夾角需求出兩向量的模及數(shù)量積，而后代入公式即可

13.【答案】B

【解析】【解答】對(duì)于命題①，若，則或，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，若，則或，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，若，則，命題③正確；對(duì)于命題④，若，則，命題④正確，故選B.

14.【答案】B

【解析】【解答】連接交于;平面;平面,點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以O(shè)到平面的距離是

本題中把握住點(diǎn)O是平面斜線段的中點(diǎn)，從而將O到面的距離轉(zhuǎn)化為到面的距離，做出其垂線段求長(zhǎng)度即可；本題還可采用空間向量法計(jì)算

15.【答案】B

【解析】【解答】在空間直角坐標(biāo)系中某一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)x坐標(biāo)不變，所以點(diǎn)（－2,1,9)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（－2,－1,－9)故選B.

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)x坐標(biāo)不變，其余坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)y坐標(biāo)不變，其余坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)z坐標(biāo)不變，其余坐標(biāo)互為相反數(shù)，

16.【答案】C

【解析】試題分析：設(shè)A（0，0，z），由題意和距離公式可得z的方程，解方程可得．解：由點(diǎn)A在z軸上設(shè)A（0，0，z），∵A到點(diǎn)（2，，1）的距離是，∴（2﹣0）2+（﹣0）2+（z﹣1）2=13，解得z=1，故A的坐標(biāo)為（0，0，1），故選：C．考點(diǎn)：空間兩點(diǎn)間的距離公式．

17.【答案】B

【解析】試題分析：由題：，因此，故選B考點(diǎn)：向量的計(jì)算

18.【答案】B

【解析】試題分析：點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)y坐標(biāo)不變，x,z坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為考點(diǎn)：空間點(diǎn)的坐標(biāo)

19.【答案】B

【解析】試題分析：因?yàn)锳B2=(10?4)2考點(diǎn)：空間距離公式．

20.【答案】B

【解析】以底面中心O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，設(shè)平面PAB的方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，將以上3個(gè)坐標(biāo)代入計(jì)算得A＝0，B＝－D，，所以－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，．故選B．

21.【答案】C

【解析】∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,2,2),B(2,?2,1考點(diǎn)：空間點(diǎn)的坐標(biāo)

23.【答案】D

【解析】試題分析：由空間向量基本定理得AC′∴考點(diǎn)：空間向量基本定理

24.【答案】A

【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)關(guān)于平面xoz對(duì)稱，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)P(1，2，3)關(guān)于平面xoz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,?詳解：由條件得AB又AC∴BC故選B．點(diǎn)睛：本題考查向量坐標(biāo)的求法和向量的減法運(yùn)算，解題時(shí)注意向量運(yùn)算法則的正確運(yùn)用，主要考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，屬于容易題．

26.【答案】6

【解析】【解答】解：∵向量a→=（1，λ，2），b→=（2，﹣1，2），且a→⊥b→，∴a→·b→=2﹣λ+4=0，

解得λ=6．

故答案為：6．

利用向量垂直的性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)λ的值．

27.【答案】

【解析】

首先利用共線設(shè)出的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積為的條件求出向量.

依題意設(shè)，所以，解得.故.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間兩個(gè)向量共線的表示，考查空間向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

28.【答案】322

由tanα=7知αsi∴點(diǎn)B,C的坐標(biāo)為(-∴OB又OC∴(2∴-35m+∴m+

29.【答案】35?44

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)Q的軌跡與y由題意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴DP→=（﹣2，0，1），DQ→設(shè)平面APD的法向量為n1→=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量為n2→=（x2，y則n即?2令y1=0得n1→=（0，1，0），令z2=2得n2∴n1∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小為π4∴cos＜n1→?n2→＞=n∴S△ADQ=12S梯形ABCD﹣S△ADQ=12∵S1＜S2，∴S1=32?255，S2=255．∴故答案為（35﹣4）：4．點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)Q的軌跡在四邊形ABCD內(nèi)的部分，它就是一條線段DQ，確定點(diǎn)Q在y軸上的位置,由于本題的背景比較適宜用坐標(biāo)系和空間向量來(lái)解答.

30.【答案】["26"]

【解析】【解答】解：將二面角α﹣l﹣β平攤開(kāi)來(lái)，即為圖形

當(dāng)A、M、C在一條直線時(shí)AM+CM的最小值，最小值即為對(duì)角線AC

而AE=5，EC=1

故AC=26

故答案為：26

要求出AM+CM的最小值，可將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，將二面角展開(kāi)成平面中在BD上找一點(diǎn)使AM+CM即可，而當(dāng)A、M、C在一條直線時(shí)AM+CM的最小值，從而求出對(duì)角線的長(zhǎng)即可．

31.【答案】["23"]

【解析】【解答】A、B、C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)M與A、B、C四點(diǎn)共面，

則對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O，滿足OM→=xOA→+yOB→+13OC→，

所以x+y+13=1，

所以x+y=13．

故答案為：23．

由四點(diǎn)共面的向量表示的條件是三個(gè)向量的系數(shù)和為1，列出方程求出x+y的值。

32.【答案】考點(diǎn)：1.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題；2.相反數(shù).

33.【答案】或

【解析】試題分析：由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得：，解得為或?？键c(diǎn)：1．空間兩點(diǎn)間的距離；

34.【答案】?34a∵M(jìn)∴MN

35.【答案】

【解析】試題分析：設(shè)Q（x，y，z）∵A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），則由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得OQ→=λ則Q（λ，λ，2λ）QAQB∴·=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)λ=43時(shí)，取得最小值-此時(shí)Q.考點(diǎn)：本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，求出·的表達(dá)式，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)最值問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵．

36.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）BNBP∈[14,25].

【解析】試題分析：第一問(wèn)取AC中點(diǎn)O，（Ⅰ）方法1：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PA=PB因?yàn)樵讦AC中，PA=所以PO因?yàn)樵讦OB中，PO所以P因?yàn)锳C∩OB所以PO⊥因?yàn)镻O?平面所以平面PAC⊥方法2：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，因?yàn)樵讦AC中，PA=所以PO因?yàn)镻A=PB所以ΔPOA≌所以∠所以P因?yàn)锳C∩OB所以PO⊥因?yàn)镻O?平面所以平面PAC⊥方法3：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接PO，因?yàn)樵讦所以P設(shè)AB的中點(diǎn)Q，連接PQ，OQ因?yàn)樵讦AB中，OA=所以O(shè)Q因?yàn)樵讦AB中，PA=所以PQ因?yàn)镻Q∩OQ所以AB⊥因?yàn)镺P?所以O(shè)因?yàn)锳B∩AC所以PO⊥因?yàn)镻O?平面所以平面PAC⊥（Ⅱ）由PO⊥平面ABO(0,0,0)，C(由OB⊥平面APC由BC→設(shè)平面PBC的法向量為由n?BC令x=1，得y=1c由二面角A-P所以二面角A-P（Ⅲ）設(shè)BN→=BA令B得(即μ=λ1+λ當(dāng)λ∈[1所以BN

37.【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）?64.

【解析】試題分析：（1）證明，則BD?（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面BOB1，面OB1C的法向量試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳1O⊥平面ABCD，因?yàn)锳BCD是菱形，所以CO⊥BD因?yàn)锽D?平面BB1D（Ⅱ）解：因?yàn)锳1O⊥平面ABCD，CO⊥BD，以O(shè)為原點(diǎn)，OB因?yàn)锳B=AA1=2，∠則B(1,0,0)所以BB1→=AA1因?yàn)镺B→=(1,0,0同理可求得平面OCB1的法向量為m因?yàn)槎娼荁?OB1?考點(diǎn)：1、二面角的平面角的求法；2、平面向量垂直的判定．

38.【答案】（1）證明：∵A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，

∴四邊形B1BCC1是矩形．連接B1C，交BC1于E，則B1E=EC．連接DE．

在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1，又AB1?平面DBC1．DE?平面DBC1

∴AB1∥DBC1．（2）解：作AF⊥BC，垂足為F．

因?yàn)槊鍭BC⊥面B1BCC1，所以AF⊥B1BCC1平面B1F．

連接B1F，則B1F是AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影．

∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F．

∵四邊形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°；

∠FB1B=∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1．

∴B1