2025版新教材高考數(shù)學(xué)復(fù)習：計數(shù)原理概率

考點過關(guān)檢測18計數(shù)原理、概率

一、單項選擇題

1.[2024?新高考I卷]從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)

的概率為（）

11

--

Aa.6B.3

D.

12

2-3-

2.[2024?新高考H卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參與文藝匯演，若甲不

站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種

C.36種D.48種

3.某鉛筆工廠有甲，乙兩個車間，甲車間的產(chǎn)量是乙車間產(chǎn)量的1.5倍，現(xiàn)在客戶定

制生產(chǎn)同一種鉛筆產(chǎn)品，由甲，乙兩個車間負責生產(chǎn)，甲車間產(chǎn)品的次品率為10%,乙車間

的產(chǎn)品次品率為5%,現(xiàn)在從這種鉛筆產(chǎn)品中任取一件，則取到次品的概率為（）

A.0.08B.0.06

C.0.04D.0.02

4.[2024?北京卷]若（2x—I）4=ax4+ax3+axz+ax+a,則a+a+a=（）

43210024

A.40B.41

C.-40D.-41

5.[2024?新高考I卷]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個

場館，甲場館支配1名，乙場館支配2名，丙場館支配3名，則不同的支配方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

6.[2024?新高考I卷]有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放

回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事務(wù)”第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事務(wù)

“其次次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事

務(wù)”兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，貝|（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

7.設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格

的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為白，

現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08,則甲廠生產(chǎn)該芯片的次

品率為()

8.[2024?全國乙卷]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各競賽一盤，各盤競賽結(jié)果相互獨

立.已知該棋手與甲、乙、丙競賽獲勝的概率分別為巴，旦，且pJpJpJO.記該棋手連

勝兩盤的概率為P,貝1()

A.p與該棋手和甲、乙、丙的競賽次序無關(guān)

B.該棋手在其次盤與甲競賽，p最大

C.該棋手在其次盤與乙競賽，p最大

D.該棋手在其次盤與丙競賽，p最大

二、多項選擇題

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若A,B互為對立事務(wù),P(A)=1,則P(B)=O

B.若事務(wù)A,B,C兩兩互斥，則事務(wù)A與BUC互斥

C.若事務(wù)A與B對立，則P(AUB)=1

D.若事務(wù)A與B互斥，則它們的對立事務(wù)也互斥

2

10.[2024?山東濟南模擬](x+-"的綻開式中，下列結(jié)論正確的是()

x

A.綻開式共6項

B.常數(shù)項為64

C.全部項的系數(shù)之和為729

D.全部項的二項式系數(shù)之和為64

11.[2024?河北石家莊二中模擬]投擲一枚質(zhì)地勻稱的股子，事務(wù)A="朝上一面點數(shù)

為奇數(shù)”，事務(wù)B="朝上一面點數(shù)不超過2”，則下列敘述正確的是()

A.事務(wù)A,B互斥

B.事務(wù)A,B相互獨立

5

C.P(AUB)=-

6

D.P(B|A)=|

［答題區(qū)］

題號123456

2

答案

題號7891011

答案

三、填空題

12.[2024?全國乙卷]從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參與社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙

都入選的概率為.

13.[2024?新高考I卷][1—J(x+y)s的綻開式中xw的系數(shù)為—(用數(shù)字作

答).

14.某志愿者召開春季運動會，為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會志愿者隊伍，

欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人

中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是—；至少

有一名是女志愿者的概率為.

四、解答題

15.為了讓羽毛球運動在世界范圍內(nèi)更好的發(fā)展，世界羽聯(lián)將每年的7月5日定為“世

界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主辦方準備舉辦有關(guān)羽毛球的學(xué)問競答競

賽.競賽規(guī)則如下：競賽一共進行4輪，每輪回答1道題.第1輪獎金為100元，第2輪獎

金為200元，第3輪獎金為300元，第4輪獎金為400元.每一輪答對則可以拿走該輪獎金,

答錯則失去該輪獎金，獎金采納累計制，即參賽者最高可以拿到1000元獎金.若累計答錯

2題，則競賽結(jié)束且參賽者獎金清零.此外，參賽者在每一輪結(jié)束后都可主動選擇停止作答、

結(jié)束競賽并拿走已累計獲得的全部獎金，小陳同學(xué)去參與競賽，每一輪答對題目的概率都是

|,并且小陳同學(xué)在沒有損失獎金風險時會始終選擇接著作答，在有損失獎金風險時選擇接

著作答的可能性為T.

(1)求小陳同學(xué)前3輪競賽答對至少2題的概率；

(2)求小陳同學(xué)用參與競賽獲得的獎金能夠購買一只價值499元的羽毛球拍的概率.

3

16.[2024?新高考I卷]一醫(yī)療團隊為探討某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習

慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例

(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為比照組)，得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

比照組1090

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事務(wù)”選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事務(wù)

“選到的人患有該疾病”，福受與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的

一項度量指標，記該指標為R.

(i)證明：R=,；

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),P(A|)的估計值，并利用(i)的結(jié)果給出R的估

計值.

叫_n(ad-be)?

?K?(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P（K2》k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4

考點過關(guān)檢測18計數(shù)原理、概率

1.答案：D

解析：方法一從2,3,4,5,6,7,8中隨機取2個不同的數(shù)有C?=21(種)結(jié)果，

7

其中這2個數(shù)互質(zhì)的結(jié)果有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),

14

(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8),共14種，所以所求概率為可

2

=§.故選D.

方法二從2,3,4,5,6,7,8中隨機取2個不同的數(shù)有C2=21(種)結(jié)果，其中這

7

2個數(shù)不互質(zhì)的結(jié)果有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7

21—72

種，所以所求概率為丁=百.故選D.

2.答案：B

解析：先利用捆綁法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法選甲的位置，共有&AsCi=

232

24(種)不同的排列方式.故選B.

3.答案：A

解析：從這種鉛筆中任取一件抽到甲的概率為0.6,抽到乙的概率是0.4,抽到甲車間

次品的概率P=0.6X0.1=0.06,抽到乙車間次品的概率P=0.4X0.05=0.02,任取一件

12

抽到次品的概率P=P+P=0.06+0.02=0.08.故選A.

12

4.答案：B

解析：方法一'當X—1時，l=a+a+a+a+a①；當x——1時，81—a-a+a

43210432

[-1-^1

—a+a②.(①+②)4-2,得a+a+a---41.故選B.

104202

方法二由二項式定理可得(2x—l)4=C。(2x”?(2X)3(-1)I+C2(2X)2(一

444

1)2+C3(2x),(—1)3+C4(2x)o(—1)4=16x4—32x3+24x2—8x+l,所以a=16,a=24,

4442

a=1,所以a+a+a=41.故選B.

0024

5.答案：C

解析：ClC2C3=60.故選C.

653

6.答案：B

ii561

解析：P(甲)=￡,P(乙)=公，P(丙)=宗，P(丁)=正=7,

6o36366

P(甲丙)=0WP(甲)P(丙)，P(甲丁)=白=P(甲)P(T),

P(乙丙)=3WP(乙)P(丙)，P(丙丁)=0WP(丙)P(丁).故選B.

5

7.答案：B

解析：設(shè)A,A分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為

12

次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為P,

12321

則P(A)=而=-,P(A9)=-,P(B|A)=p,P(BjA9)=—,

391

則由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=￡Xp+-X—=0.08,解得p

ii225520

='.故選B.

8.答案：D

解析：設(shè)其次盤與甲競賽，則p甲=22尹](1—P3)+(1—pjp^]=2P](P,+P3-2P2P3).

設(shè)其次盤與乙競賽，則p.=2[p9pi(l—p3)+(1—P[)p.P3]=2po(p^p^2ptp3).設(shè)其次盤與丙

競賽，則P丙=2[p3P](l—P.)+(l-p)p2P31=2P3(PJ+P.—2Plp).p￥—p.=2P3(PI—p9)<0,p

P=2p(p—p)<0,p—p=2p(p—p)<0,故p/p_>p用故選D.

甲丙213乙丙123丙乙甲.

9.答案：ABC

解析：若A,B互為對立事務(wù)，P(A)=1,則A為必定事務(wù)，故B為不行能事務(wù)，則P(B)

=0,故A正確；若事務(wù)A,B,C兩兩互斥，則事務(wù)A,B,C不能同時發(fā)生，則事務(wù)A與BUC

也不行能同時發(fā)生，則事務(wù)A與BUC互斥，故B正確；若事務(wù)A與B對立，則P(AUB)=

P(A)+P(B)=1,故C正確；若事務(wù)A,B互斥但不對立，則它們的對立事務(wù)不互斥，故D

錯誤.故選ABC.

10.答案：CD

299

解析：(x+-)6綻開式的總項數(shù)是7,A不正確；(x+-)6綻開式的常數(shù)項為C3X6-3(-)3

XX6X

2

=160,B不正確；取x=l得(x+-/綻開式的全部項的系數(shù)之和為36=729,C正確；由二

x

2

項式系數(shù)的性質(zhì)得(x+-%綻開式的全部項的二項式系數(shù)之和為26=64,D正確.故選CD.

x

11.答案：BD

解析：對于A,若朝上一面的點數(shù)為1,則事務(wù)A,B同時發(fā)生，二事務(wù)A,B不互斥，A

錯誤；對于B,?.?事務(wù)A不影響事務(wù)B的發(fā)生，，事務(wù)A,B相互獨立，B正確；對于C,P(AUB)

3919I31

=P(A)+P(B)-P(AAB)=-+---=-,C錯誤；對于D,?；P(AB)=A,P(A)=-=-,

bbo3002

1

.,.P(B|A)=；(手，=9=〈,D正確.故選BD.

r\A71o

2

6

3

12.答案：—

解析：從5名同學(xué)中隨機選3名參與社區(qū)服務(wù)工作，共有。=10(種)選法，甲、乙都

5

入選有O=3(種)選法.依據(jù)古典概型的概率計算公式，甲、乙都入選的概率p=77；.

310

13.答案：-28

解析：(1—1)(x+y)8=(x+y)8-1(x+y)8,由二項式定理可知其綻開式中X2y6的系

數(shù)為C6—C5=-28.

88

…231

14.答案：——

1735

解析：記全是男志愿者為事務(wù)A,至少有一名男志愿者為事務(wù)B,則P(AB)=P(A)="

C3

4

434pG

---352

--AB)-一

35P(,記至少有一名是女志愿者

35B)34

一

35

為事務(wù)C,則事務(wù)C與事務(wù)A互為對立事務(wù)，則P(c)=l—P(A)=嬴.

35

15.解析：(1)記“小陳同學(xué)前3輪競賽答對至少2題”為事務(wù)A,第1輪答錯時沒有

損失獎金風險，故前2輪必答；前3輪競賽答對至少2題包含兩種狀況：前2輪全對或前2

輪1對1錯且小陳同學(xué)選擇參與第三輪作答且答對，

11115

XX1\XX-

故p(A)=q)z+c；3-3-72-3-

27

(2)記小陳同學(xué)參與競賽獲得的獎金為X(單位：元)，

在有損失獎金風險時：小陳同學(xué)選擇接著作答且答對的可能性為I,選擇接著作答且答

6

錯的可能性為;，選擇停止作答的可能性為:，

21111

XXX-

P(X=5006-2-

54

--

P(X=600)+P3(X=3l000)=*)3=-,

/、J、211

P(X=700)=([)2X-X-=—,

33681

12112111

P(X=800)=1X-X(-)=—,p(x=900)=fX-X(-)2=—,故P(X2499)

3362162336loz

7

「二―一

54J27J81162162162,

”?阻士200X(40X90-60X10)2

16.解析：(1)由題意，得廉=―…""八—=24>6.635,

1.UU1UU/X3UkDU

有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.

P(B|A)

(2)(i)證明：(Bf?p（1JT）

P(B|A)P(B|A)p(B|T)

P(TIT）

P(TT)