《數(shù)據(jù)、模型與決策》 課件 2.2線性規(guī)劃的靈敏度分析

第2章線性規(guī)劃的靈敏度分析什么是靈敏度分析本章內(nèi)容要點(diǎn)線性規(guī)劃靈敏度分析的概念和內(nèi)容使用Excel進(jìn)行靈敏度分析影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)用本章節(jié)內(nèi)容2.1線性規(guī)劃靈敏度分析2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動2.4單個約束右端值變動2.5多個約束右端值同時(shí)變動2.6約束條件系數(shù)變化2.7增加一個新變量2.8增加一個約束條件2.9影子價(jià)格（ShadowPrice）2.1線性規(guī)劃靈敏度分析在第2章的討論中，假定以下的線性規(guī)劃模型中的各個系數(shù)cj、bi、aij是確定的常數(shù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)解。2.1線性規(guī)劃靈敏度分析其實(shí)，系數(shù)cj、bi、aij都有可能變化，因此，需要進(jìn)行進(jìn)一步的分析，以決定是否需要調(diào)整決策。靈敏度分析研究的另一類問題是探討在原線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上增加一個變量或者一個約束條件對最優(yōu)解的影響。廣州電器廠生產(chǎn)優(yōu)化問題廣州電器廠生產(chǎn)A、B兩種電器產(chǎn)品。產(chǎn)品A與產(chǎn)品B在生產(chǎn)過程中均需使用原材料1，其中每件所消耗的原材料1的數(shù)量分別為6和2。同時(shí)產(chǎn)品B還需使用原材料2，每件產(chǎn)品的消耗量為1。此外，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品A與一件產(chǎn)品B所需的勞動時(shí)間分別為2和4。該廠可提供的兩種原材料和勞動時(shí)間的數(shù)量是有限的。在第一個月初，該廠可提供的原材料1的數(shù)量為1800，原材料2的數(shù)量為350，可提供的總勞動時(shí)間為1600。該兩種原材料的保存時(shí)間為一個月，也就是說第一個月用不完的原材料只能丟棄。經(jīng)財(cái)務(wù)部門分析計(jì)算，產(chǎn)品A和產(chǎn)品B每件利潤分別為3元和8元。而且根據(jù)市場調(diào)查得知，該兩種產(chǎn)品的市場需求狀況可以確定，按當(dāng)前定價(jià)可確保所有產(chǎn)品均能銷售出去。問第一個月產(chǎn)品A與產(chǎn)品B各應(yīng)生產(chǎn)多少，可使利潤最大？現(xiàn)假定市場狀況或生產(chǎn)工藝發(fā)生變化，使目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)發(fā)生了變化產(chǎn)品A的利潤系數(shù)從3元/單位增至2.5元/單位最優(yōu)解、最優(yōu)目標(biāo)值會發(fā)生變化么目標(biāo)函數(shù)系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化，才不會影響最優(yōu)解？如果原材料2的供應(yīng)量增加30千克，最大利潤將會如何變化？線性規(guī)劃的電子表格求解方法

我們以第2章的例1為例，在圖2-1所示的圖中的B5:D7和B8:C8區(qū)域設(shè)置已知數(shù)據(jù)，B14:C14區(qū)域設(shè)為決策變量x1,x2，目標(biāo)函數(shù)的利潤最大化與約束條件的公式計(jì)算設(shè)置如圖2-1所示。“選項(xiàng)”對話框的功能分大體三部分：（一）控制規(guī)劃求解過程

1.最長運(yùn)算時(shí)間，最長可達(dá)32767秒。

2.迭代次數(shù)，最多可達(dá)32767次。以上兩項(xiàng)在運(yùn)算過程中如果尚未找出結(jié)果就已達(dá)到設(shè)定的運(yùn)算時(shí)間和迭代次數(shù)，將會彈出“顯示中間結(jié)果”對話框，可選擇“繼續(xù)運(yùn)行”或“停止”。2.精度。精度必須用小數(shù)表示，小數(shù)位數(shù)越多，達(dá)到的精度越高，但求解時(shí)間也相應(yīng)地越長。4.允許誤差，只適用于有整數(shù)約束條件的整數(shù)規(guī)劃，指滿足整數(shù)約束條件的目標(biāo)單元格結(jié)果與最佳結(jié)果之間可以允許的偏差。5.收斂度，只適用于非線性規(guī)劃，指在最近5次迭代中，如果目標(biāo)單元格數(shù)值的變化小于設(shè)置的數(shù)值，規(guī)劃求解即停止運(yùn)行。在以上5個選項(xiàng)下面還有4個復(fù)選框:1.“采用線性模型”，加速求解過程。2.“自動按比例縮放”，當(dāng)輸入和輸出的數(shù)值相差很大時(shí)，可選擇，以放大求解結(jié)果。2.“假定非負(fù)”。4.“顯示迭代結(jié)果”。2.精度。精度必須用小數(shù)表示，小數(shù)位數(shù)越多，達(dá)到的精度越高，但求解時(shí)間也相應(yīng)地越長。4.允許誤差，只適用于有整數(shù)約束條件的整數(shù)規(guī)劃，指滿足整數(shù)約束條件的目標(biāo)單元格結(jié)果與最佳結(jié)果之間可以允許的偏差。5.收斂度，只適用于非線性規(guī)劃，指在最近5次迭代中，如果目標(biāo)單元格數(shù)值的變化小于設(shè)置的數(shù)值，規(guī)劃求解即停止運(yùn)行。（二）選擇規(guī)劃求解所用方法1“估計(jì)”，指定在每個一維搜索中用以得到基本變量初始估計(jì)值的逼近方案。選擇“正切函數(shù)”，指定使用正切向量線性外推法。選擇“二次方程”，指定使用二次函數(shù)外推法，可提高非線性規(guī)劃的計(jì)算精度。2.“導(dǎo)數(shù)”，指定用于估計(jì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件偏導(dǎo)數(shù)的差分方案。“向前差分”用于多數(shù)約束條件數(shù)值變化比較緩慢的問題?！爸行牟罘帧庇糜诩s束條件數(shù)值變化迅速，特別是接近限定值的問題。2.“搜索”，指定每次迭代算法以確定搜索方向?！芭ｎD法”用準(zhǔn)牛頓法進(jìn)行迭代，占內(nèi)存較多，但所需迭帶次數(shù)較少。“共軛法”占用的內(nèi)存較少，但要達(dá)到指定的精度需要迭代的次數(shù)較多。當(dāng)問題較大或內(nèi)存有限，或單步進(jìn)程緩慢時(shí)，應(yīng)使用“共軛法”。2.2靈敏度分析的內(nèi)容

1.目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)的變化對最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值的影響當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化時(shí)，等利潤直線變得陡峭或平坦，它與可行域的交點(diǎn)也可能隨之變化。目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)改變足夠大時(shí)，可使最優(yōu)解發(fā)生變化。見例子1的圖，若等利潤線在AE和BF之間變化時(shí)，則B點(diǎn)仍然是既在可行域上、又離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)，此時(shí)最優(yōu)解保持不變；若等利潤線變得足夠陡峭或平坦超出了直線AE和BF之間的范圍，則該等利潤線將與可行域相交于另一頂點(diǎn)C點(diǎn)（或A點(diǎn)），這時(shí)最優(yōu)解將從頂點(diǎn)B點(diǎn)變?yōu)榱硪粋€頂點(diǎn)C點(diǎn)（或A點(diǎn)）。可見當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，若變化量在某個范圍內(nèi)，則最優(yōu)解不變；若變化足夠大，則最優(yōu)解將發(fā)生變化。而當(dāng)最優(yōu)解發(fā)生變化時(shí)，通常最優(yōu)目標(biāo)值也將隨之發(fā)生變化。2.約束條件右邊的變化對最優(yōu)解與目標(biāo)值的影響當(dāng)約束條件右邊變化時(shí)，相應(yīng)的表示約束的直線將平行移動，可行域?qū)l(fā)生變化。當(dāng)該移動足夠大，最優(yōu)解、目標(biāo)值也可能隨之變化。如當(dāng)勞動時(shí)間減少時(shí)，表示勞動時(shí)間約束條件的直線BC移動至圖中虛線B’C’所示的位置，可行域亦隨之變化，從多邊形OABCD變?yōu)镺AB’C’D。這時(shí)，最優(yōu)解與目標(biāo)值均將發(fā)生變化。但是約束條件①（原材料1約束）的右邊發(fā)生變化，而且變化不太大，則可行域的變化不會影響最優(yōu)解與目標(biāo)值，該約束是非緊的。當(dāng)然如果變化很大，以致使該約束條件成為緊的，這時(shí)，最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值均可能發(fā)生變化。可見，當(dāng)約束條件右邊發(fā)生變化時(shí)，最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值可能會發(fā)生變化。綜上所述，靈敏度分析主要內(nèi)容包括：1.目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化時(shí)，表示目標(biāo)函數(shù)的直線族變得陡峭或平坦，它與可行域的交點(diǎn)也可能隨之變化。靈敏度分析是研究目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化對最優(yōu)解與目標(biāo)值的影響以及目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)改變多少，方可使最優(yōu)解發(fā)生變化。2.約束條件右邊變化時(shí)，相應(yīng)的表示約束條件的直線將平行移動，可性域發(fā)生變化，最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值也可能隨之變化。靈敏度分析是研究約束條件右邊變化時(shí)對目標(biāo)值或最優(yōu)解的影響狀況。2.3敏感性報(bào)告及其解釋

下面討論如何獲得敏感性報(bào)告，并利用敏感性報(bào)告進(jìn)行靈敏度分析。靈敏度分析所要解決的問題可通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析，例如可用數(shù)學(xué)公式計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)或約束條件右邊變化對最優(yōu)解與目標(biāo)值的影響。不過這種計(jì)算一般比較復(fù)雜。運(yùn)用Excel的規(guī)劃求解功能可得到敏感性報(bào)告。1.Excel得到敏感性報(bào)告要用Excel獲得敏感性報(bào)告，選擇如圖2-5所示中的敏感性報(bào)告，得到如圖2-6所示的結(jié)果。2.敏感性報(bào)告中各項(xiàng)指標(biāo)的含義敏感性報(bào)告中由兩部分組成。位于報(bào)告上部的表格（單元格A6:H10）是關(guān)于目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化對最優(yōu)解產(chǎn)生的影響；位于報(bào)告下部的表格（單元格A12:H17）是關(guān)于約束條件右邊變化對目標(biāo)值的影響。位于報(bào)告上部的表格是關(guān)于目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化對最優(yōu)解產(chǎn)生的影響。表格中前三列是關(guān)于該問題中決策變量的信息，其中單元格是指決策變量所在單元格的地址名字是指這些決策變量的名稱，終值是決策變量的終值，即最優(yōu)解。本題中，有兩個決策變量：產(chǎn)品A的產(chǎn)量和產(chǎn)品B的產(chǎn)量，它們在電子表格上的地址分別是$B$14和$C$14，其最優(yōu)解分別為100單位和350單位。第四列是遞減成本，它的絕對值表示目標(biāo)函數(shù)中決策變量的系數(shù)必須改進(jìn)多少，才能得到該決策變量的正數(shù)解。這里的“改進(jìn)”，在最大化問題中是指增加，在最小化問題中是指減少。本題中，兩個決策變量均已得到正數(shù)解，所以它們的遞減成本均為零。第五列目標(biāo)式系數(shù)是指目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)，它是題目中的已知條件。本例中目標(biāo)函數(shù)中兩個決策變量的系數(shù)分別為3和8。第六列和第七列分別是允許的增量和運(yùn)行的減量，它們表示目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)在允許的增量與減量范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解不變。本例中，第一個決策變量（產(chǎn)品A的產(chǎn)量）的目標(biāo)系數(shù)為3，允許增量為1，允許的減量為3，因此該目標(biāo)系數(shù)在[2-3,3+1]即[0,4]范圍內(nèi)變化，該問題的最優(yōu)解不變。同理第二個決策變量（產(chǎn)品B的產(chǎn)量）的目標(biāo)系數(shù)為8，允許增量為1E+30，允許的減量為2，因此該目標(biāo)系數(shù)在[8-2,8+1E+30]即[6,]范圍內(nèi)變化，該問題的最優(yōu)解不變。注意：這里給出的決策變量的允許變化范圍是指其他條件不變，僅在該決策變量變化時(shí)的允許變化范圍。位于報(bào)告下部的表格反映約束條件右邊變化對目標(biāo)值的影響。表格中的前三列是關(guān)于約束條件左邊的信息，其中單元格是指約束條件左邊所在單元格的地址，名字是約束條件左邊的名稱，終值是約束條件左邊的終值。在本例中，有三個約束條件，它們分別是原材料1使用量、原材料2使用量和勞動時(shí)間使用量，它們在電子表格上對應(yīng)的地址分別是$B$19，$B$20，$B$21，其終值分別為1300，350和1600。第四列是陰影價(jià)格即影子價(jià)格，后面討論。第五列為約束限制值，指約束條件右邊的值，通常是題目給定的已知條件，本題中三個約束條件右邊的值分別是原材料1，原材料2，勞動時(shí)間的供應(yīng)量，它們分別是1800，350，1600。第六列與第七列是允許的增量和允許的減量，它們表示約束條件右邊在允許的增量與減量范圍內(nèi)變化時(shí)，影子價(jià)格不變。例如本題中，第一個約束條件右邊的值為1800，允許的增量為1E30，允許的減量為500，因此該約束條件右邊在[1800-500,1800+1E30]即[1300,]范圍內(nèi)變化時(shí)，原材料1的影子價(jià)格不變。注意：這里給出的決策變量的允許變化范圍是指其他條件不變，僅在該決策變量變化時(shí)的允許變化范圍。同理第二個約束條件右邊在[350-50,350+50]即[300,400]范圍內(nèi)變化時(shí)，原材料2的影子價(jià)格不變。第三個約束條件右邊在[1600-200,1600+166.7]即[1400,1766.7]范圍內(nèi)變化時(shí)，勞動時(shí)間的影子價(jià)格不變。2.影子價(jià)格

在敏感性報(bào)告中，第四列是影子價(jià)格，這是一個十分重要的概念，影子價(jià)格是指約束條件右邊增加（或減少）一個單位，目標(biāo)值增加（或減少）的數(shù)量。在例1中有三個資源約束，每種資源的影子價(jià)格是該種資源供應(yīng)量增加（或減少）一個單位時(shí)，總利潤增加（或減少）的數(shù)量。例如，從敏感性報(bào)告可知：第一個約束條件（原材料1供應(yīng)量約束）的影子價(jià)格為0，這說明在允許的范圍[1300，]內(nèi)，再增加一個單位（減少）一個單位的原材料1供應(yīng)量，總利潤不變。第二個約束條件（原材料2供應(yīng)量約束）的影子價(jià)格為2，這說明在允許的范圍[300，400]內(nèi)，再增加一個單位（減少）一個單位的原材料2供應(yīng)量，總利潤將增加（或減少）2元。第三個約束條件（勞動時(shí)間供應(yīng)量約束）的影子價(jià)格為1.5，這說明在允許的范圍[1400，1766.7]內(nèi)，再增加一個單位（減少）一個單位的勞動時(shí)間供應(yīng)量，總利潤將增加（或減少）1.5元。4.使用敏感性報(bào)告進(jìn)行敏感度分析

下面采用敏感性報(bào)告對例1進(jìn)行靈敏度分析，并回答開始提出的問題。（1）若產(chǎn)品A的利潤系數(shù)從3（元/單位產(chǎn)品）增至2.5（元/單位產(chǎn)品），那么，已求得的最優(yōu)解、最優(yōu)目標(biāo)值會變化嗎？該系數(shù)在什么范圍內(nèi)，才不會影響最優(yōu)解？由圖1所示可知敏感性報(bào)告上部的表格可知，產(chǎn)品A的系數(shù)在允許的變化范圍[2-3，3+1]，即[0，4]區(qū)間變化時(shí)，不會影響最優(yōu)解?，F(xiàn)在產(chǎn)品A的利潤系數(shù)是2.5，是在允許的變化范圍內(nèi)，所以最優(yōu)解不變，仍然是X=100，Y=350。要注意的是，最優(yōu)目標(biāo)值將發(fā)生變化。原來是3100，現(xiàn)在是2.5*100+8*350=3150。

影子價(jià)格經(jīng)濟(jì)意義（1）影子價(jià)格是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而做的估價(jià)。它是一種邊際價(jià)格，其值相當(dāng)于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，資源（約束右端值）每增加一個單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)值的增加量；（2）影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)用（2）如原材料2供應(yīng)量增加30千克，最大利潤將為多少？由圖1的敏感性報(bào)告下部可知，當(dāng)原材料2的約束條件右邊在允許變化的范圍[350-50,350+50]即[300,400]范圍內(nèi)變化時(shí)，原材料2的影子價(jià)格不變?，F(xiàn)在原材料2的供應(yīng)量增加了30千克，變?yōu)?80千克，在允許增加的范圍內(nèi)，所以其影子價(jià)格不變，仍然等于2。這就是說，原材料2的供應(yīng)量每增加1千克，將使最大利潤增加2元。當(dāng)原材料2的供應(yīng)量增加30千克時(shí)，最大利潤將增加2*30=60元，最大利潤=3100+60=3160（元）。

案例分析2-1小型家具廠的數(shù)據(jù)分析

某家具廠生產(chǎn)四種小型家具，由于該四種家具具有不同的大小、形狀、重量和風(fēng)格，所以它們所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作時(shí)間、最大銷售量與利潤均不相同。該廠每天可提供的木材、玻璃與工人勞動時(shí)間分別為600單位、1000單位、400小時(shí)，如表2-1所示。問：（1）應(yīng)如何安排該四種家具的日產(chǎn)量，使該廠的日利潤最大？（2）該廠是否愿意付出10元的加班費(fèi)，讓某工人加班1小時(shí)？（3）如果克提供的工人勞動時(shí)間變?yōu)?98小時(shí)，該廠的日利潤將有何變化？（4）該廠應(yīng)優(yōu)先考慮購買何種資源？（5）若因市場變化，第一種家具的單位利潤從60元下降到55元，問該廠的生產(chǎn)計(jì)劃及日利潤將如何變化？案例分析2-1家具類型勞動時(shí)間（小時(shí)/件）木材（單位／件）玻璃（單位／件）單位產(chǎn)品利潤（單位／件）最大銷售量（件）12366010021222020033114050422230100可提供量400小時(shí)600單位1000單位表2-1某家具廠基本數(shù)據(jù)在Excel工具中，對題中線性規(guī)劃模型進(jìn)行計(jì)算，并應(yīng)用靈敏度分析的結(jié)果對上述問題作出解釋。案例分析2-2投資咨詢公司的數(shù)據(jù)分析

威廉姆斯公司是一個投資咨詢公司，為大量的客戶管理高達(dá)1.2億美元的資金。公司運(yùn)用一個很有價(jià)值的模型，為每個客戶安排投資量，分別投資在股票增長基金、收入基金和貨幣市場基金。為了保證客戶投資的多元化，公司對這三種投資的數(shù)額加以限制。一般來講，投資在股票