高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)題型和提分秘籍 專題01 集合的概念與運(yùn)算 理（含解析）

專題01集合的概念與運(yùn)算【高頻考點(diǎn)解讀】1.了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系．2.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．3.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．4.在具體情境中，了解全集與空集的含義．5.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集．6.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集．7.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.8.集合部分主要以考查集合的含義、基本關(guān)系與基本運(yùn)算為主，題目簡單、易做，大多都是送分題．9.近幾年部分省市也力求創(chuàng)新，創(chuàng)造新情境，盡可能做到靈活多樣，甚至進(jìn)行一些小綜合，比如新定義題目，與方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容相聯(lián)系的題目出現(xiàn)．10.題型以選擇題為主，大多都是試卷的第1題.【熱點(diǎn)題型】題型一考查集合的基本概念例1、已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3【提分秘籍】(1)研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清其元素表示的意義是什么.集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)>0}{x|y＝f(x)}{y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}集合的意義方程f(x)＝0的解集不等式f(x)>0的解集函數(shù)y＝f(x)的定義域函數(shù)y＝f(x)的值域函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)集(2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足互異性．【舉一反三】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．6C．8 D．10【熱點(diǎn)題型】題型二集合與集合的基本關(guān)系例2、已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，則()A．ABB．BAC．A＝BD．A∩B＝?【解析】A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以BA.【答案】B【提分秘籍】(1)判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系．(2)若兩個(gè)集合相等，首先分析已知元素在另一個(gè)集合中與哪一個(gè)元素相等，有幾種情況等，然后列方程組求解，要注意挖掘題目中的隱含條件．(3)易錯(cuò)警示：①利用數(shù)形結(jié)合思想處理集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)軸端點(diǎn)是實(shí)心還是空心．②題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論．【舉一反三】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若B?A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，則實(shí)數(shù)m【解析】由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，∵B?A，∴①若B＝?，則m＋1＞2m即m＜2，此時(shí)滿足B?A.②若B≠?，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,－2≤m＋1，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范圍是(－∞，3]．【答案】(－∞，3]【熱點(diǎn)題型】題型三集合的基本運(yùn)算例3、設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)當(dāng)a＝－4時(shí)，求A∩B和A∪B；(2)若(?RA)∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【提分秘籍】(1)在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助韋恩(Venn)圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用韋恩(Venn)圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)注意端點(diǎn)值的取舍．(2)已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析，而且經(jīng)常要對集合進(jìn)行討論．【舉一反三】已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩?IM＝?，則M∪N＝()A．M B．NC．I D．?解析：∵N∩?IM＝?，∴N?M，∴M∪N＝M.答案：A【熱點(diǎn)題型】題型四以集合為背景的新定義題例4、在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4給出如下四個(gè)結(jié)論：①∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4【提分秘籍】1.對“類”的正確理解（1）由“類”的定義知，[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4，即Z中的所有元素共分為[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，5類．（2）“a，b屬于同‘類’”?a＝5n1＋k，b＝5n2＋k?a－b＝5(n1－n2)；反之，a－b∈[0]?a－b被5除余數(shù)為0?a，b被5除余數(shù)相等．2.解題方法(1)緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；本題根據(jù)所給的“類”的概念，對逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，從中找出正確的結(jié)論．(2)用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．【舉一反三】已知集合M，若a∈M，則eq\f(a＋1,a－1)∈M，則稱a為集合M的“亮點(diǎn)”，若M＝{x∈Z|eq\f(4,4－x)≥1}，則集合M中的“亮點(diǎn)”共有()A．2個(gè) B．3個(gè)C．1個(gè) D．0個(gè)【高考風(fēng)向標(biāo)】1．（·北京卷）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝()A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【答案】C【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．2.（·福建卷）若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四個(gè)關(guān)系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個(gè)數(shù)是________．若③正確，則①②④不正確，由④不正確，得d＝4；由②不正確，得b＝1，則滿足條件的有序數(shù)組為a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正確，則①②③不正確，由②不正確，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得滿足條件的有序數(shù)組為a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；綜上所述，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為6.3．（·廣東卷）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，則M∪N＝()A．{0，1}B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2}D．{－1，0，1}【答案】C【解析】本題考查集合的運(yùn)算．因?yàn)镸＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．4．（·湖北卷）U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．（·遼寧卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}【答案】D【解析】由題意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．6．（·全國卷）設(shè)集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，則M∩N＝()A．(0，4]B．[0，4)C．[－1，0)D．(－1，0]【答案】B【解析】因?yàn)镸＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|－1<x<4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x<4}．7．（·新課標(biāo)全國卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，則A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1，2)B．[－1，1]D．[1，2)【答案】A【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．8．（·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]設(shè)集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，則M∩N＝()A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【答案】D【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．9．（·山東卷）設(shè)集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，則A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根據(jù)已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故選C.10．（·陜西卷）設(shè)集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，則M∩N＝()A．[0，1]B．[0，1)C．(0，1]D．(0，1)11．（·四川卷）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B＝()A．{－1，0，1，2}B．{－2，－1，0，1}C．{0，1}D．{－1，0}12．（·天津卷）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)．設(shè)集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，用列舉法表示集合A.(2)設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.證明：若an<bn，則s<t.＝eq\f(（q－1）（1－qn－1）,1－q)－qn－1＝－1<0，所以s<t.13．（·浙江卷）設(shè)全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，則?UA＝()A．?B．{2}C．{5}D．{2，5}【答案】B【解析】?UA＝{x∈N|2≤x<eq\r(5)}＝{2}，故選B.14．（·重慶卷）設(shè)全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，則(?UA)∩B＝________．15．（·重慶卷）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，則?U(A∪B)＝()A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【答案】D【解析】因?yàn)锳∪B＝{1，2，3}，所以?U(A∪B)＝{4}，故選D.16．（·北京卷）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，則A∩B＝()A．{0}B．{－1，0}C．{0，1}D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故選B.17．（·廣東卷）設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝()A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}【答案】D【解析】∵M(jìn)＝{－2，0}，N＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故選D.18．（·湖北卷）已知全集為R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，則A∩(?RB)＝()A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2或x>4}D．{x|0<x≤2或x≥4}【答案】C【解析】A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，?RB＝{x|x<2或x>4}，可得答案為C.19．（·湖南卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為________；(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長；③若△ABC為鈍角三角形，則x∈(1，2)，使f(x)＝0.20．（·江蘇卷）集合{－1，0，1}共有________個(gè)子集．【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3個(gè)元素，故子集的個(gè)數(shù)為8.21．（·江西卷）已知集合M＝{1，2，zi}，i為虛數(shù)單位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，則復(fù)數(shù)z＝()A．－2iB．2iC．－4iD．4i【答案】C【解析】zi＝4z＝－4i，故選C.22．（·遼寧卷）已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<log4x<1))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤2))，則A∩B＝()A．(0，1)B．(0，2]C．(1，2)D．(1，2]【答案】D【解析】∵A＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，故選D.23．（·全國卷）設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．5D．624．（·山東卷）已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是()A．1B．3C．5D．925．（·陜西卷）設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x2)的定義域?yàn)镸，則?RM為()A．[－1，1]B．(－1，1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】要使二次根式有意義，則M＝{x︱1－x2≥0}＝[－1，1]，故?RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．26．（·四川卷）設(shè)集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，則A∩B＝()A．{－2}B．{2}C．{－2，2}D．【答案】A【解析】由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．27．（·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，則A∩B＝()A．(－∞，2]B．[1，2]C．[－2，2]D．[－2，1]【答案】D【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．28．（·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，則M∩N＝()A．{0，1，2}B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3}D．{0，1，2，3}【答案】A【解析】集合M＝{x|－1<x<3}，則M∩N＝{0，1，2}．29．（·浙江卷）設(shè)集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝()A．(－2，1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1]D．[1，＋∞)30．（·重慶卷）對正整數(shù)n，記In＝{1，2，…，n}，Pn＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(m,\r(k))\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))m∈In，k∈In))．(1)求集合P7中元素的個(gè)數(shù)；(2)若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并．【隨堂鞏固】1．已知集合A＝{(x，y)|x，y是實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y是實(shí)數(shù)，且y＝x}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為 ()．A．0 B．1 C．2 D．32．設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(3y2,4)＝1))))，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝()．A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}解析A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．答案B3．設(shè)集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)＝()．A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析因?yàn)?RB＝{x|x>3或x<－1}，所以A∩(?RB)＝{x|3<x<4}．答案B4．已知全集I＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，則(?IA)∩(?IB)等于()．A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}5．設(shè)集合I＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，則?IM＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}解析I＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴?IM＝{1,4}．答案A6．若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，則(?RA