高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略考點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用8種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用8種常見考法歸類考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點(diǎn)二證明不等式作差函數(shù)證明不等式構(gòu)造雙函數(shù)證明不等式（三）適當(dāng)放縮法證明不等式（四）利用結(jié)論證明不等式（五）利用隱零點(diǎn)證明不等式（六）與數(shù)列有關(guān)的不等式證明考點(diǎn)三恒(能)成立問題（一）分離參數(shù)法（二）分類討論法（三）同構(gòu)法（四）隱零點(diǎn)法考點(diǎn)四討論零點(diǎn)個數(shù)考點(diǎn)五根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍考點(diǎn)六與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題（一）比值代換（二）消參減元法（三）構(gòu)造關(guān)聯(lián)(對稱)函數(shù)考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題考點(diǎn)八導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應(yīng)先觀察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng).2．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題一般要用到構(gòu)造法，構(gòu)造法是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x),然后利用h(x)的最值證明不等式；注：作差構(gòu)造法：待證不等式的兩邊含有相同的變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，通過研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式．利用構(gòu)造差函數(shù)證明不等式的基本步驟：①作差或變形；②構(gòu)造新的函數(shù)g(x)；③利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性或最值；④根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<x<ex(x>0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．在證明過程中，“隔離”轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，將不等式不等號兩端分別“隔離”出兩個函數(shù)式f(x)，g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，從而f(x)>g(x)，但f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”；若不能直接轉(zhuǎn)化為最值問題的不等式證明可將不等式的某一部分“隔離”開，單獨(dú)進(jìn)行研究，然后再納入整體進(jìn)行論證．(5)利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0，a)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關(guān).3.對于函數(shù)f(x)＝ex在x＝0處的泰勒展開式如下：ex＝1＋eq\f(x,1！)＋eq\f(x2,2！)＋eq\f(x3,3！)＋…＋eq\f(xn,n！)＋…?ex≥x＋1.類似的，常用泰勒展開式擬合的不等式還有：ln(1＋x)＝x－eq\f(x2,2)＋eq\f(x3,3)－eq\f(x4,4)＋…＋(－1)n－1·eq\f(xn,n)＋…?ln(x＋1)≤x；sinx＝x－eq\f(x3,3！)＋eq\f(x5,5！)－…＋(－1)n－1·eq\f(x2n－1,（2n－1）！)＋…?sinx≤x；cosx＝1－eq\f(x2,2！)＋eq\f(x4,4！)－eq\f(x6,6！)＋…＋(－1)n·eq\f(x2n,（2n）！)＋…?cosx≥1－eq\f(1,2)x2.4.由ex≥x＋1演繹出的一些常見不等結(jié)構(gòu)：5．與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題（1）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略：①構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；②分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.有些不易分參的也可采用“同構(gòu)”技巧.（2）若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a<f(x)對x∈D恒成立，則只需a<f(x)min；若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，則只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，則只需a<f(x0)max．由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．（3）分離參數(shù)法利用分離參數(shù)法確定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為參數(shù))恒成立問題中參數(shù)范圍的步驟：①將參數(shù)與變量分離，化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；②求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值；③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范圍．6．與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題（1）方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）求極值的步驟：①先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）；②分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn).（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖象，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.（4）函數(shù)的零點(diǎn)就是的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).（5）含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍．由于利用零點(diǎn)存在定理時，一般不使用極限語言，故常常需要“取點(diǎn)”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等結(jié)構(gòu)放縮，必要時可構(gòu)造函數(shù)證明所取點(diǎn)的符號.（6）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的基本方法：①利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；②分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；③轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.7．與不零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題（1）證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，或者通過比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關(guān)系式將其中一個變量用另一個變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.（2）消參減元的主要目的是減元，進(jìn)而建立與所求解問題相關(guān)的函數(shù)．消參減元法，主要是利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而建立參數(shù)與極值點(diǎn)之間的關(guān)系，消去參數(shù)或減少變元，從而簡化目標(biāo)函數(shù)．其解題要點(diǎn)如下．①建方程：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令f′(x)＝0，建立極值點(diǎn)所滿足的方程，抓住導(dǎo)函數(shù)中的關(guān)鍵——導(dǎo)函數(shù)解析式中變號的部分(一般為一個二次整式)；②定關(guān)系：即根據(jù)極值點(diǎn)所滿足的方程，利用方程解的知識，建立極值點(diǎn)與方程系數(shù)之間的關(guān)系；③消參減元：即根據(jù)兩個極值點(diǎn)之間的關(guān)系，利用和差或積商等運(yùn)算，化簡或轉(zhuǎn)化所求解問題，消掉參數(shù)或減少變量的個數(shù)；④構(gòu)造函數(shù)：即根據(jù)消參減元后的式子的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)；⑤求解問題：即利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，解決相關(guān)問題．（3）極值點(diǎn)偏移問題，除了前述方法外，也常通過構(gòu)造關(guān)聯(lián)(對稱)函數(shù)求解，常見步驟如下：①構(gòu)造奇函數(shù)F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②對F(x)求導(dǎo)，判斷F′(x)的符號，確定F(x)的單調(diào)性；③結(jié)合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤結(jié)合f(x)的單調(diào)性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0.其中也可考慮構(gòu)造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具體視已知條件“執(zhí)果索因”.8．解析式中含有,的兩個模型（1）含有的函數(shù)模型常用的構(gòu)造方法如下，①直接利用原函數(shù)，有時也可分為兩個初等函數(shù)模型；②構(gòu)造成“常數(shù)+因式·”型，求導(dǎo)后的運(yùn)算不易受的干擾；③分離參數(shù)法構(gòu)造函數(shù)模型，沒有參數(shù)，避免了分類討論，但是有時函數(shù)較復(fù)雜需多次求導(dǎo).（2）含有的函數(shù)模型“獨(dú)立與不獨(dú)立”法消掉使的系數(shù)為常數(shù)，即“獨(dú)立”,可一次求導(dǎo)解決單調(diào)性問題；當(dāng)?shù)南禂?shù)不能消掉時，即"不獨(dú)立",需兩次求導(dǎo)，才能依次推導(dǎo)出單調(diào)性、零點(diǎn)、極值點(diǎn)等問題.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在三個不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使得成立，則的取值范圍是________.3．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式有且僅有1個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為______．考點(diǎn)二證明不等式（一）作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，證明：當(dāng)時；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍．6．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.7．（2023春·吉林延邊·高三延邊第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)(1)當(dāng)，且時，證明：；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在上單調(diào)遞增?若存在，求出a的取值范圍；不存在，說明理由．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相平行．（1）求的值；（2）求證：在上恒成立．（二）構(gòu)造雙函數(shù)證明不等式9．（2023秋·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)校考期末）已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明.10．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)時，求證：.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．（三）適當(dāng)放縮法證明不等式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中，，為實(shí)常數(shù)(1)若時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，當(dāng)時，證明：.13．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)討論函數(shù)的極值情況；(2)證明：當(dāng)時，．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)證明：當(dāng)時，在上恒成立.（四）利用結(jié)論證明不等式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：；(2)當(dāng)時，證明不等式，在上恒成立.16．（2023春·吉林長春·高三長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)求證：.17．（2023·陜西寶雞·寶雞中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若都有，求正數(shù)的最大值；(2)求證：.（五）利用隱零點(diǎn)證明不等式18．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：.19．（2023春·山東日照·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，.20．（2023春·四川成都·高三成都外國語學(xué)校?？计谥校┮阎?1)若，且對任意恒成立，求a的范圍；(2)當(dāng)時，求證：．21．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．（六）與數(shù)列有關(guān)的不等式證明22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的最小值；(3)證明不等式：.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，.(1)求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)若在y軸右側(cè)，函數(shù)圖象恒不在函數(shù)的圖象下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：當(dāng)時，.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知，證明：.25．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)）．(1)判斷，的單調(diào)性并說明理由；(2)證明：對，．考點(diǎn)三恒(能)成立問題（一）分離參數(shù)法26．（2023秋·北京·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍為__．27．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．29．（2023春·廣東江門·高三臺山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.（二）分類討論法30．（2023春·吉林長春·高三東北師大附中校考期中）已知函數(shù)．(1)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若存在兩個不等正實(shí)數(shù)，，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．31．（2023春·安徽安慶·高三?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．32．（2023·陜西榆林·陜西省神木中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上有解，求的取值范圍.33．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，在處的切線與x軸平行.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，當(dāng)時，恒成立，求k的取值范圍.34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若在軸的右側(cè)函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（三）同構(gòu)法35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式恒成立，則的取值范圍為______.36．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，對任意的，恒成立，則的取值范圍是__________.37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的最大值為________.38．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是__________.（四）隱零點(diǎn)法39．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．40．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若對任意兩個不相等的正實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．考點(diǎn)四討論零點(diǎn)個數(shù)41．（2023春·重慶九龍坡·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間，內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間，內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)42．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，證明：當(dāng)時，；(2)討論函數(shù)在上零點(diǎn)個數(shù).43．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)，當(dāng)時，①證明：函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)；②若為函數(shù)的極值點(diǎn)，為函數(shù)的零點(diǎn)，且，證明：.44．（河南省安陽市2023屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)證明：曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)若，證明：有兩個零點(diǎn).45．（2023秋·河南濮陽·高三濮陽南樂一高校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)；(2)試討論的零點(diǎn)個數(shù).46．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)在上零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；(2)證明：當(dāng)時，.注：.考點(diǎn)五根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍47．（2023春·河北·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)；(1)若無零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若有兩個相異零點(diǎn)，證明：．48．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)（），若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．49．（2023秋·黑龍江雞西·高三雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且．則的取值范圍是__．50．（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）已知，函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上僅有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.51．（2023春·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.52．（2023秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若且有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.53．（2023春·四川宜賓·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．54．（2023秋·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）求的極值；（2）若方程有三個解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.55．（2023春·浙江寧波·高三寧波市北侖中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）設(shè)是函數(shù)的四個不同的零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得其三個零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由．56．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．考點(diǎn)六與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題（一）比值代換57．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的兩個零點(diǎn)分別為，，證明：.58．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若存在兩個零點(diǎn)，且曲線在和處的切線交于點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：.59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)，．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．60．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，證明：.61．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，是方程的兩個不等實(shí)根，且，證明：．（二）消參減元法62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，證明：．63．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若是函數(shù)的兩個不同極值點(diǎn)，且滿足：，求證：.64．（2023秋·山西·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，其中為非零實(shí)數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點(diǎn)，且，證明：.（三）構(gòu)造關(guān)聯(lián)（對稱）函數(shù)65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點(diǎn)，且，證明：.66．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為常數(shù)，且.(1)判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，如果存在兩個不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：.考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題68．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)證明：，有．69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．70．（2023秋·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．71．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，若對，，使得成立，則a的取值范圍是______．72．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）如果方程有兩個不相等的解，且，證明：.73．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，（）．(1)若存在兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，為的兩個極值點(diǎn)，證明：．74．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，．（2）若存在兩個極值點(diǎn)，證明：．75．（2023秋·重慶巴南·高三重慶市清華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函（）有兩個極值點(diǎn)，．（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：．76．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的取值范圍；(2)若存在正數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），求證：.考點(diǎn)八導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．78．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)在為自然對數(shù)的底數(shù)）上的零點(diǎn)個數(shù)；(2)若方程恰有一個實(shí)根，求的取值集合；(3)若方程有兩個不同的實(shí)根，，求證：．79．（2023·云南·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程與軸平行．(1)求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，．①求的取值范圍；②證明：．80．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論f（x）的極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）若f（x）有3個極值點(diǎn)x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），證明：x1x3＜x22．81．（2023·全國·高三專題練習(xí)）82．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，().（1）若在處的切線平行于直線，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，判斷的零點(diǎn)的個數(shù)；（3）設(shè)是的極值點(diǎn)，是的一個零點(diǎn)，且，求證：.考點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用8種常見考法歸類考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點(diǎn)二證明不等式作差函數(shù)證明不等式構(gòu)造雙函數(shù)證明不等式（三）適當(dāng)放縮法證明不等式（四）利用結(jié)論證明不等式（五）利用隱零點(diǎn)證明不等式（六）與數(shù)列有關(guān)的不等式證明考點(diǎn)三恒(能)成立問題（一）分離參數(shù)法（二）分類討論法（三）同構(gòu)法（四）隱零點(diǎn)法考點(diǎn)四討論零點(diǎn)個數(shù)考點(diǎn)五根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍考點(diǎn)六與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題（一）比值代換（二）消參減元法（三）構(gòu)造關(guān)聯(lián)(對稱)函數(shù)考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題考點(diǎn)八導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應(yīng)先觀察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng).2．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題一般要用到構(gòu)造法，構(gòu)造法是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x),然后利用h(x)的最值證明不等式；注：作差構(gòu)造法：待證不等式的兩邊含有相同的變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，通過研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式．利用構(gòu)造差函數(shù)證明不等式的基本步驟：①作差或變形；②構(gòu)造新的函數(shù)g(x)；③利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性或最值；④根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<x<ex(x>0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．在證明過程中，“隔離”轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，將不等式不等號兩端分別“隔離”出兩個函數(shù)式f(x)，g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，從而f(x)>g(x)，但f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”；若不能直接轉(zhuǎn)化為最值問題的不等式證明可將不等式的某一部分“隔離”開，單獨(dú)進(jìn)行研究，然后再納入整體進(jìn)行論證．(5)利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0，a)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關(guān).3.對于函數(shù)f(x)＝ex在x＝0處的泰勒展開式如下：ex＝1＋eq\f(x,1！)＋eq\f(x2,2！)＋eq\f(x3,3！)＋…＋eq\f(xn,n！)＋…?ex≥x＋1.類似的，常用泰勒展開式擬合的不等式還有：ln(1＋x)＝x－eq\f(x2,2)＋eq\f(x3,3)－eq\f(x4,4)＋…＋(－1)n－1·eq\f(xn,n)＋…?ln(x＋1)≤x；sinx＝x－eq\f(x3,3！)＋eq\f(x5,5！)－…＋(－1)n－1·eq\f(x2n－1,（2n－1）！)＋…?sinx≤x；cosx＝1－eq\f(x2,2！)＋eq\f(x4,4！)－eq\f(x6,6！)＋…＋(－1)n·eq\f(x2n,（2n）！)＋…?cosx≥1－eq\f(1,2)x2.4.由ex≥x＋1演繹出的一些常見不等結(jié)構(gòu)：5．與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題（1）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略：①構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；②分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.有些不易分參的也可采用“同構(gòu)”技巧.（2）若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a<f(x)對x∈D恒成立，則只需a<f(x)min；若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，則只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，則只需a<f(x0)max．由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．（3）分離參數(shù)法利用分離參數(shù)法確定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為參數(shù))恒成立問題中參數(shù)范圍的步驟：①將參數(shù)與變量分離，化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；②求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值；③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范圍．6．與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題（1）方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）求極值的步驟：①先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）；②分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn).（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖象，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.（4）函數(shù)的零點(diǎn)就是的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).（5）含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍．由于利用零點(diǎn)存在定理時，一般不使用極限語言，故常常需要“取點(diǎn)”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等結(jié)構(gòu)放縮，必要時可構(gòu)造函數(shù)證明所取點(diǎn)的符號.（6）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的基本方法：①利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；②分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；③轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.7．與不零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題（1）證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，或者通過比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關(guān)系式將其中一個變量用另一個變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.（2）消參減元的主要目的是減元，進(jìn)而建立與所求解問題相關(guān)的函數(shù)．消參減元法，主要是利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而建立參數(shù)與極值點(diǎn)之間的關(guān)系，消去參數(shù)或減少變元，從而簡化目標(biāo)函數(shù)．其解題要點(diǎn)如下．①建方程：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令f′(x)＝0，建立極值點(diǎn)所滿足的方程，抓住導(dǎo)函數(shù)中的關(guān)鍵——導(dǎo)函數(shù)解析式中變號的部分(一般為一個二次整式)；②定關(guān)系：即根據(jù)極值點(diǎn)所滿足的方程，利用方程解的知識，建立極值點(diǎn)與方程系數(shù)之間的關(guān)系；③消參減元：即根據(jù)兩個極值點(diǎn)之間的關(guān)系，利用和差或積商等運(yùn)算，化簡或轉(zhuǎn)化所求解問題，消掉參數(shù)或減少變量的個數(shù)；④構(gòu)造函數(shù)：即根據(jù)消參減元后的式子的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)；⑤求解問題：即利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，解決相關(guān)問題．（3）極值點(diǎn)偏移問題，除了前述方法外，也常通過構(gòu)造關(guān)聯(lián)(對稱)函數(shù)求解，常見步驟如下：①構(gòu)造奇函數(shù)F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②對F(x)求導(dǎo)，判斷F′(x)的符號，確定F(x)的單調(diào)性；③結(jié)合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤結(jié)合f(x)的單調(diào)性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0.其中也可考慮構(gòu)造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具體視已知條件“執(zhí)果索因”.8．解析式中含有,的兩個模型（1）含有的函數(shù)模型常用的構(gòu)造方法如下，①直接利用原函數(shù)，有時也可分為兩個初等函數(shù)模型；②構(gòu)造成“常數(shù)+因式·”型，求導(dǎo)后的運(yùn)算不易受的干擾；③分離參數(shù)法構(gòu)造函數(shù)模型，沒有參數(shù)，避免了分類討論，但是有時函數(shù)較復(fù)雜需多次求導(dǎo).（2）含有的函數(shù)模型“獨(dú)立與不獨(dú)立”法消掉使的系數(shù)為常數(shù)，即“獨(dú)立”,可一次求導(dǎo)解決單調(diào)性問題；當(dāng)?shù)南禂?shù)不能消掉時，即"不獨(dú)立",需兩次求導(dǎo)，才能依次推導(dǎo)出單調(diào)性、零點(diǎn)、極值點(diǎn)等問題.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性，發(fā)現(xiàn)是奇函數(shù)，排除C、D；觀察A、B兩項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)圖像在處的增減趨勢不同，所以對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再把特殊值代入導(dǎo)函數(shù)中判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除C、D兩項(xiàng)；當(dāng)時，，則，所以，所以在處的切線斜率為負(fù)數(shù)，故排除A項(xiàng)；故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在三個不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使得成立，則的取值范圍是________.【答案】【分析】先求導(dǎo)得到的單調(diào)性，極值情況，得到若存在三個不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使得，則，將化為，得到.【詳解】的定義域?yàn)镽，且，令得或，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，，，畫出的圖象如下：設(shè)存在三個不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使得，對于方程可化為，整理得，故.故答案為：【點(diǎn)睛】設(shè)一元三次方程的三個根為，原方程可化為，整理得，比較左右兩邊同類項(xiàng)，得到一元三次的根與系數(shù)關(guān)系：.3．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式有且僅有1個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【分析】在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與直線的圖象，根據(jù)恒過點(diǎn)和有且僅有一個整數(shù)解得不等式，從而解得a的取值范圍．【詳解】易知的定義域?yàn)?，由有且僅有1個整數(shù)解，所以不等式有且僅有1個整數(shù)解．設(shè)，則，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)．又，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．設(shè)，則直線恒過點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與直線的圖象，如圖所示，由圖象可知，，要使不等式有且僅有1個整數(shù)解，則，解得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為:．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為______．【答案】【分析】將方程有3個不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為必有一正一負(fù)兩個根，利用數(shù)形結(jié)合及二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】當(dāng)，，則，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，，作出函數(shù)的大致圖象，設(shè)，則有兩個不同的實(shí)數(shù)根，由可知，與異號，不妨設(shè)，要使方程有3個不同的實(shí)數(shù)根，則或，①當(dāng)時，，得；②當(dāng)時，設(shè)，則，得，綜上，的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)常用的方法和思路：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題解決；數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一個平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.考點(diǎn)二證明不等式（一）作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，證明：當(dāng)時；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）令，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性可證得，令，對求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增，即可證得，即可證得；（2）由題意分析可得要使恒成立即時，恒成立，通過放縮變形證明恒成立，即可求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以即證：，，先證左邊：，令，，在單調(diào)遞增，∴，即．再證右邊：，令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴時，．（2），令，，因?yàn)?，所以題設(shè)等價于在恒成立，由（1）知，當(dāng)時，，于是：①當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)時，等價于，（i）當(dāng)時，，令，因?yàn)樵谏线f增，且，所以存在，使，所以當(dāng)，，即，不合題意；(ii)當(dāng)時，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.綜上：a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或在不等式中求參數(shù)的取值范圍的問題，常見的幾種方法有：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）對求導(dǎo)后，問題轉(zhuǎn)化為在[1,4]上恒成立，進(jìn)而求得的最小值即可求解；（2）由可得只需證明，令，求導(dǎo)后求得；令，求導(dǎo)后求得，從而可得，問題得證.【詳解】（1），因?yàn)楹瘮?shù)在[1,4]上單調(diào)遞增，所以在[1,4]上恒成立，又在[1,4]上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.（2）因?yàn)?，所以要證，只需證，令，則.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以時，取最小值,則,所以時，，因此.所以.7．（2023春·吉林延邊·高三延邊第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)(1)當(dāng)，且時，證明：；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在上單調(diào)遞增?若存在，求出a的取值范圍；不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）將代入，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，再借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推理作答.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)在上不小于0恒成立求解作答.【詳解】（1）當(dāng)時，，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）若存在實(shí)數(shù)，使在上是增函數(shù)，則，恒成立，即在上恒成立，而函數(shù)，在時取得最小值，因此，又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相平行．（1）求的值；（2）求證：在上恒成立．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，可證．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，，由題意得，所以，解得；證明（2），令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最小值，所以，故，所以．（二）構(gòu)造雙函數(shù)證明不等式9．（2023秋·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)校考期末）已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再分別求與的最值即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，則，，則，所以所求切線方程為，即.（2）由題意，可知，要證明，即證，令，則，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.令，則，因?yàn)?，所以?dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以恒成立，即恒成立，所以當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵一是對要證明的不等式進(jìn)行變形，二是分別求兩個新函數(shù)的最值.10．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)時，求證：.【答案】(1)y=2x－2ln2(2)證明見解析【分析】（1）將代入的解析式，求出和，再運(yùn)用點(diǎn)斜式直線方程求解；（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，只要證明最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)a=1時，，x＞0，則，，而，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）對求導(dǎo)得，x＞0，當(dāng)a＞0時，令得，當(dāng)時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時，f（x）單調(diào)遞增，所以，只需證明≥

，即≥0

恒成立；設(shè)，，則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得；（2）依題意即證，即，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性與最值，即可得到，從而得證；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，，解得．?）由（1）可得即證．令，，于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以（取等號）．又令，則，于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以（時取等號）．所以，即．（三）適當(dāng)放縮法證明不等式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中，，為實(shí)常數(shù)(1)若時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，當(dāng)時，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）代入t的值，求得導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間即可．（2）要證明不等式成立，根據(jù)分析法得到只需證明成立即可．通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，根據(jù)最小值即可得證．【詳解】（1）定義域?yàn)?，，?dāng)時，，，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，．單調(diào)遞減；綜上可知：當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）要證明，即證明，只要證，即證，只要證明即可，令，在上是單調(diào)遞增，，在有唯一實(shí)根設(shè)為，且，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增從而當(dāng)時，取得最小值，由得，即，，故當(dāng)時，證得：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分析法和構(gòu)造法是解題的關(guān)鍵.13．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)討論函數(shù)的極值情況；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)性和極值情況；（2）轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點(diǎn)和基本不等式證明出結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋佼?dāng)時，，單調(diào)遞增，沒有極值；②當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；∴，無極大值綜上討論得：①當(dāng)時，無極值；②當(dāng)時，有極小值，無極大值．（2）當(dāng)時，要證，即證，只需證；令，則，令，則，∴在單調(diào)遞增，而，，故方程有唯一解，即，∴，則，∴，且時，，在單調(diào)遞減；時，，在單調(diào)遞增；∴，∴，故當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)證明：當(dāng)時，在上恒成立.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）求得，令，求得，結(jié)合，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得極值；（2）由，根據(jù)題意，由且，放縮得到，令，求得，得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求得，得出，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得定義域?yàn)?，且，令，可得，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時，，可得，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，可得，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為，無極大值.（2）解：由，因?yàn)榍?，可得令，可得，因?yàn)?，即或，又因?yàn)榉匠痰膬筛际秦?fù)數(shù)根（舍去），所以，可得當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，同時也為在上的最小值，即，所以，所以，所以，

故當(dāng)時，在恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．（四）利用結(jié)論證明不等式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：；(2)當(dāng)時，證明不等式，在上恒成立.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析的單調(diào)性，即可得到，即可證明；（2）令，求導(dǎo)，根據(jù)放縮的思路得到，然后利用在上的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）證明：，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴.（2）令，則，由（1）可得，即，又，所以，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，不等式，在上恒成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)中常見的放縮形式：（1）；（2）；（3）.16．（2023春·吉林長春·高三長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)求證：.【答案】(1)證明詳見解析(2)證明詳見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)證得結(jié)論成立.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】（1），，所以在上單調(diào)遞增.（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，對于不等式，當(dāng)時，可化為，即，由上述分析可知：當(dāng)時，成立.當(dāng)時，可化為，即，由上述分析可知：當(dāng)時，成立.綜上所述，不等式成立.17．（2023·陜西寶雞·寶雞中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若都有，求正數(shù)的最大值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由的正負(fù)確定的單調(diào)性得最小值，其取得最小值的的值也使得函數(shù)的最大值，因此由的最大值不大于的最小值可得結(jié)論；（2）時，，不等式成立，在時，證明小于的最小值即可，為此用導(dǎo)數(shù)證明即可得．(1)，由已知，時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，，時，又，，得時，，即，因此若都有，則，所以的最大值為；(2)由（1）時，設(shè)，時，，時，設(shè)，則，在上是增函數(shù)，所以，即，，所以，而，所以，綜上，時，．（五）利用隱零點(diǎn)證明不等式18．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中.(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而得出切線的方程；（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求得有唯一的根，且，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，結(jié)合的范圍即可證得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，且，，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）證明：由（1），知，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，，所以，存在，使得，即有唯一的根，記為，則，對兩邊取對數(shù)，得，整理得，因?yàn)闀r，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，令，，，則在上單調(diào)遞減，從而，所以．19．（2023春·山東日照·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，.【答案】(1)當(dāng)時，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時，有一個零點(diǎn)；(2)證明見詳解.【分析】（1）求導(dǎo)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題，則問題得解；（2）判斷的單調(diào)性，求得其最小值，根據(jù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)之間的關(guān)系，即可容易證明.【詳解】（1）因?yàn)?，故可得，令，即可?令則零點(diǎn)的個數(shù)等價于與圖像的交點(diǎn)個數(shù).又，故可得在單調(diào)遞減.且當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于負(fù)無窮；當(dāng)趨近于零時，趨近于零，繪制的圖像如下所示：故當(dāng)時，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時，有一個零點(diǎn).（2）由（1）可知，當(dāng)時，為單調(diào)增函數(shù)，且存在唯一零點(diǎn)，故可得在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且；則，，故.故當(dāng)時，恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域和單調(diào)性，涉及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬綜合困難題.20．（2023春·四川成都·高三成都外國語學(xué)校校考期中）已知．(1)若，且對任意恒成立，求a的范圍；(2)當(dāng)時，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用分離參數(shù)得對任意恒成立，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可；（2）證法1：通過隱零點(diǎn)法得，然后構(gòu)造新函數(shù)求解其范圍即可；證法2：令，利用導(dǎo)數(shù)證明，則得.【詳解】（1）∵，若對任意恒成立，則對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，解得，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值．所以.（2）證法1，由（1）可得時，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，?dāng)x趨近于0時，趨近于．∴使得，即．當(dāng)時，，時，．∴在遞減，在遞增．∴，，令，，當(dāng)時，，，則在上，，∴單調(diào)遞減，∴．∴當(dāng)時，．證法2：令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題通過隱零點(diǎn)法得到，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)最值關(guān)系得，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍即可.21．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）法一：求導(dǎo)后利用放縮法得到，故；法二：多次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點(diǎn)，得到先增后減，結(jié)合端點(diǎn)值的符號，得到在上恒成立，求出；（2）法一：構(gòu)造，變形后結(jié)合，，，且在處取等號，得到時，符合題意，時，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理得到矛盾，求出答案；法二：構(gòu)造，求導(dǎo)后考慮，利用放縮法及函數(shù)單調(diào)性可證，再考慮，由在單調(diào)遞增，且，分與兩種情況，進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】（1）法一：首先證明，，理由如下：構(gòu)造，，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，所以，，，，，故在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，故法二：，，，且，令，則，令，則在上恒成立，所以單調(diào)遞減，又，其中，故，故，使得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以先增后減，又，，∴在上恒成立，所以單調(diào)遞增，；（2）法一：，，下證：，，，且在處取等號，令，則，故單調(diào)遞增，故，且在處取等號，在（1）中已證明；令，則，故單調(diào)遞增，故，且在處取等號，當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，符合題意，當(dāng)時，，，，其中當(dāng)時，，，，故，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，使得，在單調(diào)遞減，故與矛盾，舍去；綜上：a的取值范圍為；法二：，，，①當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增，且符合題意，②當(dāng)時，在單調(diào)遞增，，③當(dāng)時，即時，

在單調(diào)遞增，符合題意，②當(dāng)時，即時，，，，其中當(dāng)時，，，，故，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，使得，在單調(diào)遞減，故與矛盾，舍去；綜上：a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.（六）與數(shù)列有關(guān)的不等式證明22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的最小值；(3)證明不等式：.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)0.(3)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，可得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）求得函數(shù)的解析式，并對求導(dǎo)函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而求得答案；（3）由（2）得在上恒成立，令，則有，運(yùn)用累加法可得證.【詳解】（1）解：，，由得，當(dāng)時，.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）解：函數(shù)，，，令，得.時，，時，，在遞減，在遞增，，關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的最小值為0.（3）證明：由（2）得在上恒成立，令，則有，，，，，，，.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，.(1)求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)若在y軸右側(cè)，函數(shù)圖象恒不在函數(shù)的圖象下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：當(dāng)時，.【答案】(1)答案見解析(2)a≤1(3)證明見解析【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，求得，令，求得，分和，兩種情況討論，求解函數(shù)的單調(diào)，進(jìn)而求得的取值范圍.（3）取，由（2）知，令，，令，化簡得到，進(jìn)而證得結(jié)論.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，當(dāng)，即時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，令，解得；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）解：設(shè)函數(shù)，則，令，則，當(dāng)，即時，，即，即，所以成立，此時符合題意；當(dāng)，即時，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又由，此時在上單調(diào)遞減，所以，顯然不滿足題意.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）證明：取，由（2）知，因?yàn)?，令，代入得到，即，且，令，，即，代入化簡得到，所以成?【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）證明出，在時，可得出，在時，，分析可知，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由（1）變形可得，令，可得出，可得出，，證明出，可得出，，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：令，則，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，即，所以，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，取，由于，而，得，故，不合乎題意.綜上所述，.（2）證明：當(dāng)時，由（1）可得，則，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，所以，，，所以，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).25．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)）．(1)判斷，的單調(diào)性并說明理由；(2)證明：對，．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，理由見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）通過二次求導(dǎo)，即可求解；（2）由（1）可得，變形為，令得，令得，從而可得，利用裂項(xiàng)相消法，即可整理得證.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增.理由如下：因?yàn)?，所以，令，則，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，，令，則，令，則而所以，故對，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)，一般思路為利用條件將所求問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).考點(diǎn)三恒(能)成立問題（一）分離參數(shù)法26．（2023秋·北京·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍為__．【答案】【分析】在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案.【詳解】解：在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，則，所以函數(shù)在上遞減，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恒成立，所以實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為：.27．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上恒成立，等價于在上恒成立，構(gòu)造，對函數(shù)求導(dǎo)判斷出單調(diào)性與最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】在上恒成立，等價于在上恒成立，構(gòu)造，則當(dāng)時，；當(dāng)時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的最小值為實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．28．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分析可得為上的增函數(shù)，結(jié)合可得在上有解，即存在使得，有解，在同一坐標(biāo)系里畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象；分析可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，在上為增函數(shù)，函數(shù)，在上為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)；又由，即在上有解，即存在使得，有解，進(jìn)而可得存在使得，有解，在同一坐標(biāo)系里畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象；對于，其導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，曲線的切線的斜率；要滿足存在使得，有解，則直線的斜率；故實(shí)數(shù)的取值范圍為；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，涉及數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，曲線導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.29．（2023春·廣東江門·高三臺山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時，恒成立．只需證當(dāng)時，恒成立．當(dāng)時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時，恒成立，記，，①.當(dāng)即時，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，不合題意；②.若即時，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時，成立；③當(dāng)即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險(xiǎn)性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性?。ǘ┓诸愑懻摲?0．（2023春·吉林長春·高三東北師大附中校考期中）已知函數(shù)．(1)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若存在兩個不等正實(shí)數(shù)，，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論解決恒成立問題，恒成立及反例否定解題；（2）根據(jù)題意，化簡變形已知，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)再應(yīng)用零點(diǎn)存在定理求解即可.【詳解】（1），定義域?yàn)?，則，當(dāng)單調(diào)遞增,,故恒成立.當(dāng)當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，,不合題意舍；當(dāng)單調(diào)遞減；,不合題意舍.所以，.（2）設(shè)，由得，則，，又，，設(shè)，則，令，則，且，由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，函數(shù)在上有一個實(shí)根，，解得.當(dāng)單調(diào)遞增，，當(dāng)單調(diào)遞減，，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.31．（2023春·安徽安慶·高三?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：當(dāng)x=0時，原式恒成立；當(dāng)時，原式等價于恒成立；當(dāng)時，原式等價于恒成立；令，，令，即，，可知為y的增區(qū)間，為y的減區(qū)間，所以當(dāng)時，即時，t=1時，即；當(dāng)時，即時，y在上遞減，在上遞增，所以t=-1時，即；綜上，可知a的取值范圍是，故選C.考點(diǎn)：不等式恒成立問題.32．（2023·陜西榆林·陜西省神木中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上有解，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2).【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，由判定恒成立，進(jìn)而可確定函數(shù)單調(diào)性；（2）先得到，根據(jù)題中條件，得出存在，使得成立，令，對其求導(dǎo)，討論，，三種情況，分別判定函數(shù)單調(diào)性，求出最值，列出對應(yīng)不等式求出的值，即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由題意知，，令，當(dāng)時，恒成立，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)?，由題意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①當(dāng)時，對任意，都有，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，成立，解得，；②當(dāng)時，令，解得；令，解得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，解得無解；③當(dāng)時，對任意的，都有，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不符合題意，舍去；綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.33．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，在處的切線與x軸平行.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，當(dāng)時，恒成立，求k的取值范圍.【答案】（1）在遞增，在遞減；（2）的取值范圍是．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定的范圍即可．【詳解】（1）由已知可得的定義域?yàn)?，，?），解得：，，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減；（2）不等式可化為，令，，，，令，的對稱軸是，①當(dāng)時，即，易知在上遞減，，若，則，，在遞減，（1），不適合題意．若，則（1），必存在使得時，，在遞增，（1）恒成立，適合題意．②當(dāng)時，即，易知必存在使得在遞增，（1），，在遞增，（1）恒成立，適合題意．綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題．34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若在軸的右側(cè)函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和兩種情況，求函數(shù)的極值；（2）根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，并求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，利用二階導(dǎo)數(shù)，討論的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為，無極大值；（2），關(guān)于的不等式恒成立，設(shè)，則，，（?。┊?dāng)時，，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，所以存在，使，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，矛盾；（ⅱ）當(dāng)時，令，解得：，在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，若，即時，在單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，滿足條件；若時，在上單調(diào)遞減，此時，在上單調(diào)遞減，，矛盾綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，以及研究不等式恒成立的綜合應(yīng)用，本題第二問的關(guān)鍵利用二階導(dǎo)數(shù)討論，由的正負(fù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為判斷是否成立.（三）同構(gòu)法35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【分析】由題設(shè)得，構(gòu)造研究單調(diào)性得，再構(gòu)造研究單調(diào)性有，最后構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究最大值即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)且，即，令，易知在上單調(diào)遞增，故，即，所以，又是單調(diào)遞增函數(shù)，故.令，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.故，故.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知不等式化為，根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式為關(guān)鍵.36．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，對任意的，恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】分類討論a，當(dāng)時，則，即，設(shè)，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，設(shè)，求出，則可得到的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，不符合題意.當(dāng)時，則，即，設(shè)，則恒成立，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所?因?yàn)?，即，所以，所以，所?設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即的取值范圍是.故答案為：37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的最大值為________.【答案】【分析】將不等式化為，令，即，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即可得到，即恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得，進(jìn)而求解.【詳解】由，則，令，即，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，即恒成立，所以，令，則，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.38．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是__________.【答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)遞增得到，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最小值即得到答案.【詳解】，即，設(shè)，恒成立，故單調(diào)遞增.原不等式轉(zhuǎn)化為，即，即在上恒成立.設(shè)，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即，解得.所以的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將不等式化為，這種方法就是同構(gòu)法，同構(gòu)即結(jié)構(gòu)形式相同，對于一個不等式，對其移項(xiàng)后通過各種手段將其變形，使其左右兩邊呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式完全一樣的狀態(tài)，接著就可以構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性等來對式子進(jìn)行處理了．（四）隱零點(diǎn)法39．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間(2