專題2.7 有理數(shù)的乘方（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（解析版）

專題2.7有理數(shù)的乘方（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數(shù)的乘方1.定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【要點提示】（1）乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數(shù)的乘法運算，冪是乘方運算的結(jié)果．（2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個數(shù)時，要用括號括起來．（3）一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫．【知識點二】乘方運算的符號法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)，即．【要點提示】(1)有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．(2)任何數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)．【知識點三】科學(xué)記數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，l≤||＜10，是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，如＝.2.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).3.精確度：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數(shù)的精確度.【要點提示】（1）負數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，“”照寫，其它與正數(shù)一樣，如=；（2）把一個數(shù)寫成形式時，若這個數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)【例1】（2022七年級·全國·專題練習(xí)）世界上最大的沙漠──非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一個長方形，撒哈拉沙漠的長度大約是5149900m，沙層的深度大約是366cm．已知撒哈拉沙漠中沙的體積約為33345km3．請分別按下列要求取近似數(shù)．（1）將撒哈拉沙漠的長度用科學(xué)記數(shù)法表示；（2）將撒哈拉沙漠中沙層的深度四舍五入到10cm；（3）將撒哈拉沙漠中沙的體積保留2個有效數(shù)字．【答案】(1)5.1499×106m(2)3.7×102cm(3)3.3×104km3【分析】(1)根據(jù)較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可；(2)利用近似數(shù)精確度的確定方法求解即可；(3))利用近似數(shù)精確度的確定方法求解即可．解：（1）撒哈拉沙漠的長度大約是5149900m＝5.1499×106m；（2）沙層的深度大約是366cm≈3.7×102cm；（3）撒哈拉沙漠中沙的體積約為33345km3≈3.3×104km3．【點撥】本題考查了科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)的知識，熟知較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法的表示方法及近似數(shù)精確度的確定方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·河北邯鄲·三模）新華社消息，2024年春節(jié)假期我國國內(nèi)旅游出游4.74億人次．先將數(shù)據(jù)“4.74億”精確到億位，再用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，以及近似數(shù)，先將數(shù)據(jù)“4.74億”利用四舍五入精確到億位，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)（確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位）表示該數(shù)即可．解：“4.74億”精確到億位為5億，5億，故選：A．【變式2】（23-24七年級上·江西九江·期中）小明量得課桌長為米，四舍五入到十分位為米．【答案】【分析】本題考查了近似數(shù)、四舍五入的方法，熟記定義和方法是解題關(guān)鍵．四舍五入到十分位就是對這個數(shù)十分位以后的數(shù)進行四舍五入即可．解：把四舍五入到十分位是，故答案為：．【題型2】有理數(shù)冪的概念的理解【例2】（2023七年級上·江蘇·專題練習(xí)）把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．（1）；（2）；（3）（個m）．【答案】(1)底數(shù)是，指數(shù)是5(2)底數(shù)是，指數(shù)是6；(3)底數(shù)是m，指數(shù)是【分析】（1）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（2）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（3）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可．（1）解：，其中底數(shù)是，指數(shù)是5；（2）解：其中底數(shù)是，指數(shù)是6；（3）解：（個m），其中底數(shù)是m，指數(shù)是．【點撥】本題主要考查了乘方的意義，解題的關(guān)鍵是掌握乘方是一種特殊的乘法運算，冪是乘方的結(jié)果，當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括起來再寫指數(shù)．表示n個a相乘．【變式1】（23-24七年級上·福建泉州·期末）代數(shù)式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了乘方的意義：表示幾個相同因數(shù)的積的運算；由乘方的意義即可求解．解：，故選：C．【變式2】（23-24六年級下·上海楊浦·期中）底數(shù)是，指數(shù)是4的冪可以寫成．【答案】【分析】本題考查了冪的概念，關(guān)鍵是注意分數(shù)為底時，需要把底數(shù)加括號．根據(jù)冪的書寫規(guī)則即可求解．解：底數(shù)為，指數(shù)為4，得，故答案為：．【題型3】有理數(shù)乘方運算【例3】（23-24七年級上·安徽安慶·期中）對于任意有理數(shù)a，b定義一種新運算“△”：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例：；．（1）求；（2）求的值；【答案】(1)16(2)64【分析】本題考查了新定義下的有理數(shù)的運算．理解題意，正確的運算是解題的關(guān)鍵．（1）由，可得，計算求解即可；（2）根據(jù)，計算求解即可．（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【變式1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：正確的結(jié)果為（

）A．8052 B． C．4 D．【答案】D【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法解決本題．解：．故選：D．【變式2】（23-24七年級下·寧夏銀川·期中）．【答案】/【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)運算，分別計算乘方再算乘法即可．解：，故答案為：．【題型4】乘方運算中的符號規(guī)律問題【例4】（21-22七年級上·全國·課后作業(yè)）已知m，n是正整數(shù)，若．化簡：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）0【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘方的性質(zhì)，判斷出為偶數(shù)，然后求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的性質(zhì)，判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù)，然后求解即可；解：，則為偶數(shù)，為奇數(shù)（1），（2），，【點撥】此題考查了有理數(shù)乘方的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判定出為偶數(shù)，為奇數(shù)．【變式1】（23-24七年級上·全國·課堂例題）有下列各數(shù)：①；②；③；④，其中結(jié)果等于的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)的求法，逐項判定即可．解：①，②，③，④，∴其中結(jié)果等于的是：①②③④．故選：D．【點撥】此題主要考查了有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)的求法，求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“”．【變式2】（23-24七年級上·廣東揭陽·期末）計算：【答案】0【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算，有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方找到規(guī)律，計算即可．解：原式，故答案為：0．【題型5】有理數(shù)乘方的應(yīng)用【例5】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）拉面是把一根較粗的面條先對折成2根再拉開，然后將兩端捏緊，再對折成4根再拉開，…，一直重復(fù)這個流程，面條的數(shù)量會不斷增多，也會不斷變細．（1）將這個流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會變成多少根？（2）若剛開始時的面條的橫截面積為，則將這個流程重復(fù)8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻）【答案】(1)128(2)【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，能夠從題中歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計算即可得出答案；（2）根據(jù)題意列式計算即可得出答案．（1）解：由題意得：（根）∴這個流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會變成128根．（2）解：將這個流程重復(fù)8次后，面條的數(shù)量是．∵每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻，∴8次后，平均每一根面條橫截面積．【變式1】（23-24六年級上·山東煙臺·期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位漁夫從右往左打結(jié)，滿五進一，用來記錄捕到的魚的數(shù)量．由圖可知，他一共捕到的魚的數(shù)量為（

）A．34 B．194 C．1234 D．6154【答案】B【分析】本題主要考查了用數(shù)字表示事件，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列式即可．解：．故選B．【變式2】（21-22七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分②是下部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，受此啟發(fā)，則．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用；根據(jù)題意可以寫出前幾部分的面積，從而可以發(fā)現(xiàn)各部分面積的變化規(guī)律，再根據(jù)圖形可知陰影部分的面積和部分⑥的面積相等，進而即可求解．解：由題意可知，部分①面積是，部分②面積是，部分③面積是，…，則陰影部分的面積是，陰影部分的面積是；∴．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖北武漢·中考真題）國家統(tǒng)計局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國內(nèi)生產(chǎn)總值接近億元，同比增長，國家高質(zhì)量發(fā)展取得新成效．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值大于與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．解：，故選：C．【例2】（2022·西藏·中考真題）已知，都是實數(shù)，若，則．【答案】【分析】根據(jù)絕對值，偶次冪的非負性求出，，再代入計算即可．∵，∴，，即，，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了絕對值，偶次冪的非負性，求出，的值是解本題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）已知，解答下列問題：（1）由，可得_____，_____．（2）若，求的值．【答案】(1)，；(2)2【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值的定義，有理數(shù)的乘法和加法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方，絕對值的定義，有理數(shù)的乘法和加法．（1）根據(jù)絕對值的定