專(zhuān)題2.7 有理數(shù)的乘方（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）（人教版）（解析版）

專(zhuān)題2.7有理數(shù)的乘方（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的乘方1.定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【要點(diǎn)提示】（1）乘方與冪不同，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果．（2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個(gè)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來(lái)．（3）一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫(xiě)．【知識(shí)點(diǎn)二】乘方運(yùn)算的符號(hào)法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個(gè)數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，即．【要點(diǎn)提示】(1)有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值．(2)任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)三】科學(xué)記數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，l≤||＜10，是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，如＝.2.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長(zhǎng)江的長(zhǎng)約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).3.精確度：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱(chēng)這個(gè)數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個(gè)近似數(shù)的精確度.【要點(diǎn)提示】（1）負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，“”照寫(xiě)，其它與正數(shù)一樣，如=；（2）把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成形式時(shí)，若這個(gè)數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個(gè)數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)【例1】（2022七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）世界上最大的沙漠──非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一個(gè)長(zhǎng)方形，撒哈拉沙漠的長(zhǎng)度大約是5149900m，沙層的深度大約是366cm．已知撒哈拉沙漠中沙的體積約為33345km3．請(qǐng)分別按下列要求取近似數(shù)．（1）將撒哈拉沙漠的長(zhǎng)度用科學(xué)記數(shù)法表示；（2）將撒哈拉沙漠中沙層的深度四舍五入到10cm；（3）將撒哈拉沙漠中沙的體積保留2個(gè)有效數(shù)字．【答案】(1)5.1499×106m(2)3.7×102cm(3)3.3×104km3【分析】(1)根據(jù)較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可；(2)利用近似數(shù)精確度的確定方法求解即可；(3))利用近似數(shù)精確度的確定方法求解即可．解：（1）撒哈拉沙漠的長(zhǎng)度大約是5149900m＝5.1499×106m；（2）沙層的深度大約是366cm≈3.7×102cm；（3）撒哈拉沙漠中沙的體積約為33345km3≈3.3×104km3．【點(diǎn)撥】本題考查了科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)的知識(shí)，熟知較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法的表示方法及近似數(shù)精確度的確定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·河北邯鄲·三模）新華社消息，2024年春節(jié)假期我國(guó)國(guó)內(nèi)旅游出游4.74億人次．先將數(shù)據(jù)“4.74億”精確到億位，再用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，以及近似數(shù)，先將數(shù)據(jù)“4.74億”利用四舍五入精確到億位，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)（確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位）表示該數(shù)即可．解：“4.74億”精確到億位為5億，5億，故選：A．【變式2】（23-24七年級(jí)上·江西九江·期中）小明量得課桌長(zhǎng)為米，四舍五入到十分位為米．【答案】【分析】本題考查了近似數(shù)、四舍五入的方法，熟記定義和方法是解題關(guān)鍵．四舍五入到十分位就是對(duì)這個(gè)數(shù)十分位以后的數(shù)進(jìn)行四舍五入即可．解：把四舍五入到十分位是，故答案為：．【題型2】有理數(shù)冪的概念的理解【例2】（2023七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）把下列各式寫(xiě)成乘方的形式，并指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．（1）；（2）；（3）（個(gè)m）．【答案】(1)底數(shù)是，指數(shù)是5(2)底數(shù)是，指數(shù)是6；(3)底數(shù)是m，指數(shù)是【分析】（1）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（2）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（3）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可．（1）解：，其中底數(shù)是，指數(shù)是5；（2）解：其中底數(shù)是，指數(shù)是6；（3）解：（個(gè)m），其中底數(shù)是m，指數(shù)是．【點(diǎn)撥】本題主要考查了乘方的意義，解題的關(guān)鍵是掌握乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算，冪是乘方的結(jié)果，當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括起來(lái)再寫(xiě)指數(shù)．表示n個(gè)a相乘．【變式1】（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期末）代數(shù)式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了乘方的意義：表示幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算；由乘方的意義即可求解．解：，故選：C．【變式2】（23-24六年級(jí)下·上海楊浦·期中）底數(shù)是，指數(shù)是4的冪可以寫(xiě)成．【答案】【分析】本題考查了冪的概念，關(guān)鍵是注意分?jǐn)?shù)為底時(shí)，需要把底數(shù)加括號(hào)．根據(jù)冪的書(shū)寫(xiě)規(guī)則即可求解．解：底數(shù)為，指數(shù)為4，得，故答案為：．【題型3】有理數(shù)乘方運(yùn)算【例3】（23-24七年級(jí)上·安徽安慶·期中）對(duì)于任意有理數(shù)a，b定義一種新運(yùn)算“△”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例：；．（1）求；（2）求的值；【答案】(1)16(2)64【分析】本題考查了新定義下的有理數(shù)的運(yùn)算．理解題意，正確的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）由，可得，計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)，計(jì)算求解即可．（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：正確的結(jié)果為（

）A．8052 B． C．4 D．【答案】D【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法解決本題．解：．故選：D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·寧夏銀川·期中）．【答案】/【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)運(yùn)算，分別計(jì)算乘方再算乘法即可．解：，故答案為：．【題型4】乘方運(yùn)算中的符號(hào)規(guī)律問(wèn)題【例4】（21-22七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知m，n是正整數(shù)，若．化簡(jiǎn)：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）0【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘方的性質(zhì)，判斷出為偶數(shù)，然后求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的性質(zhì)，判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù)，然后求解即可；解：，則為偶數(shù)，為奇數(shù)（1），（2），，【點(diǎn)撥】此題考查了有理數(shù)乘方的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判定出為偶數(shù)，為奇數(shù)．【變式1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）有下列各數(shù)：①；②；③；④，其中結(jié)果等于的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)的求法，逐項(xiàng)判定即可．解：①，②，③，④，∴其中結(jié)果等于的是：①②③④．故選：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)的求法，求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“”．【變式2】（23-24七年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·期末）計(jì)算：【答案】0【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方找到規(guī)律，計(jì)算即可．解：原式，故答案為：0．【題型5】有理數(shù)乘方的應(yīng)用【例5】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）拉面是把一根較粗的面條先對(duì)折成2根再拉開(kāi)，然后將兩端捏緊，再對(duì)折成4根再拉開(kāi)，…，一直重復(fù)這個(gè)流程，面條的數(shù)量會(huì)不斷增多，也會(huì)不斷變細(xì)．（1）將這個(gè)流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會(huì)變成多少根？（2）若剛開(kāi)始時(shí)的面條的橫截面積為，則將這個(gè)流程重復(fù)8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每一次拉開(kāi)的長(zhǎng)度都與第一根面條的長(zhǎng)度相同且粗細(xì)均勻）【答案】(1)128(2)【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，能夠從題中歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可得出答案．（1）解：由題意得：（根）∴這個(gè)流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會(huì)變成128根．（2）解：將這個(gè)流程重復(fù)8次后，面條的數(shù)量是．∵每一次拉開(kāi)的長(zhǎng)度都與第一根面條的長(zhǎng)度相同且粗細(xì)均勻，∴8次后，平均每一根面條橫截面積．【變式1】（23-24六年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）我國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位漁夫從右往左打結(jié)，滿五進(jìn)一，用來(lái)記錄捕到的魚(yú)的數(shù)量．由圖可知，他一共捕到的魚(yú)的數(shù)量為（

）A．34 B．194 C．1234 D．6154【答案】B【分析】本題主要考查了用數(shù)字表示事件，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列式即可．解：．故選B．【變式2】（21-22七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分②是下部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，受此啟發(fā)，則．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用；根據(jù)題意可以寫(xiě)出前幾部分的面積，從而可以發(fā)現(xiàn)各部分面積的變化規(guī)律，再根據(jù)圖形可知陰影部分的面積和部分⑥的面積相等，進(jìn)而即可求解．解：由題意可知，部分①面積是，部分②面積是，部分③面積是，…，則陰影部分的面積是，陰影部分的面積是；∴．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖北武漢·中考真題）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值接近億元，同比增長(zhǎng)，國(guó)家高質(zhì)量發(fā)展取得新成效．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．解：，故選：C．【例2】（2022·西藏·中考真題）已知，都是實(shí)數(shù)，若，則．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值，偶次冪的非負(fù)性求出，，再代入計(jì)算即可．∵，∴，，即，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對(duì)值，偶次冪的非負(fù)性，求出，的值是解本題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，解答下列問(wèn)題：（1）由，可得_____，_____．（2）若，求的值．【答案】(1)，；(2)2【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值的定義，有理數(shù)的乘法和加法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值的定義，有理數(shù)的乘法和加法．（1）根據(jù)絕對(duì)值的定