專題05解三角形大題?？碱}型歸類（考題猜想10題型）

專題05解三角形大題一．正余弦定理解三角形1．（2324高一下·重慶璧山·月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，所以由正弦定理得，由，得，所以，所以由余弦定理得，因為，所以；（2）因為，所以由正弦定理得，所以,因為，，所以由余弦定理得，所以.2．（2324高一下·江蘇揚州·月考）已知分別為內(nèi)角的對邊，．(1)求角A；(2)若的面積為，周長為6，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由正弦定理可得，又因為，可得，且，則，可得，整理得，又因為，則，所以，即.（2）因為，則，由余弦定理可得，解得．3．（2324高一下·廣東湛江·開學考試）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由余弦定理得，因為，可得，又由正弦定理得，即，可得，又因為，可得.（2）由（1）知，由余弦定理知，將，代入化簡得，解出或（舍去），所以的面積．4．（2324高一下·浙江金華·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，.(1)求證：；(2)求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）在中，有，，即，當時，等式顯然不成立，所以，.（2）由正弦定理推出，且（1）得，，即，，即，又，，，，即，，或（舍去）.5．（2324高一下·江西·月考）在中，內(nèi)角的對邊分別為的面積為，且．(1)證明：；(2)若，求．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為的面積，又．所以，又．所以．所以．所以，又，所以．（2）因為．所以，所以．所以，所以．二．三角形的中線應用1．（2324高一下·湖南常德·期中）在中，角，，的對邊分別是，，且．(1)求角的大??；(2)若，為的中點，，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由余弦定理得，又，所以；（2）因為，由正弦定理可得，即，所以，化簡得，即，又，則，所以，即，則，所以，，因為且為的中點，在中，解得（負值舍去），所以．2．（2324高一下·江蘇南通·期中）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角；(2)若為的中點，且，求.【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，又，于是，而，即有，則，所以.（2）依題意，，顯然，由余弦定理得，整理得，在中，由余弦定理，得，因此，即，則，令，則，所以.3．（2223高一下·湖北黃岡·期中）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，點是中點．，．(1)求；(2)再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求邊．條件①的面積為；條件②．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由正弦定理可得，即，，，又，；（2）若選①，在中由余弦定理得，即，又，則，所以，即，所以，所以.若選②，在中由余弦定理得，即，在中由余弦定理得，即，所以，所以，所以或（舍去），又，則，所以.4．（2324高一下·新疆烏魯木齊·月考）記的內(nèi)角的對邊分別為，滿足．(1)求角；(2)若為上一點，且，，，求的面積；(3)若，，是中線，求的長．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）因為，由正弦定理得，由，故，所以，可得因為，可得），所以，又因為，所以.（2）因為點為上一點，且，，，由三角形面積公式可得，所以，所以，則.（3）由，可得，所以，又由，由余弦定理得，即，可得，因為是中線，可得，所以，所以.5．（2324高一下·湖北·月考）已知分別為銳角三角形三個內(nèi)角的對邊，且.(1)求;(2)若，為的中點，求中線的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為是銳角三角形的三個內(nèi)角，所以，，根據(jù)正弦定理可得，即，所以，則，整理得，即，又，所以，即.（2）因為為的中點，所以，兩邊平方得，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，因為為銳角三角形，所以且，解得，所以，所以，所以，所以中線的取值范圍是.三．三角形的角平分線應用1．（2223高一下·安徽滁州·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角A的大?。?2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由正弦定理可知.由余弦定理可得，又，所以.（2）由題意知，所以，所以，解得.2．（2324高一下·遼寧·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且________，在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，并解答下列問題：(1)求角A的大小；(2)若AD是的角平分線，且，，求線段AD的長；(3)若，判斷的形狀.【答案】(1)；(2)；(3)直角三角形【解析】（1）選擇①：由，可得，即，即，因為，所以；選擇②：因為②，由正弦定理得，可得，因為，可得，所以，即，可得，因為，可得，所以；選擇③，由，可得,又由正弦定理得，再由余弦定理得，因為，所以.（2）因為AD是的角平分線，且，設，因為，可得，即，解得，即.（3）由（1）知，由余弦定理得，因為，平方得，即，代入上式，可得，即，將代入，可得，解得或，當時，可得，此時，可得為直角三角形；當時，此時（不成立，舍去）；綜上可得，為直角三角形.3．（2324高一下·江蘇揚州·期中）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求的值；(2)給出以下三個條件：①；②；③．這三個條件中僅有兩個正確，請選出這兩個正確的條件并回答下面的問題：①求邊的值；②求的角平分線的長．【答案】(1)；(2)①；②.【解析】（1）因為，所以，所以，，因為，所以.（2）因為為鈍角，所以為最大邊，故②不正確，①和③正確.由余弦定理可得，又，所以.由可得，所以.，所以.4．（2223高一下·湖北武漢·期中）已知的內(nèi)角，A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為為內(nèi)角A的角平分線，交邊于點D，求線段長的最大值．【答案】(1)；(2)2【解析】（1）由正弦定理，得，即，故.（2）由（1）知，因為的面積為，所以，解得，又因為，所以．于是,那么．所以（當且僅當時等號成立）故的最大值為2．5．（2223高一下·云南·期末）在中，角所對的邊分別為，且滿足.(1)求角A；(2)若為的中點，且的角平分線交于點，且，求邊長.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，所以，因為，所以，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，（2）因為，的角平分線交于點，所以，因為，所以，所以，所以，因為為的中點，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以所以由余弦定理得，所以四．三角形的高線應用1．（2324高一下·江蘇無錫·月考）在中，角所對的邊分別為，已知.(1)若，求角的大小；(2)若，求邊上的高.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由正弦定理，，即，因，故,即是銳角，故；（2）如圖，由余弦定理，，知角是銳角，則，作于點，在中，,即邊上的高是.2．（2324高一下·山西運城·月考）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)已知，D是邊BC的中點，且，求AD的長.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由正弦定理及，得，再由余弦定理得，即，因為，所以.（2）因為是邊的中點，所以.由（1）知，因為，所以，故，故.由余弦定理得，故，因為，所以，.在中，，，所以，即的長為.3．（2324高三上·廣東佛山·月考）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，D是BC上的中點，.(1)求的大?。?2)E是AB上一點，，求DE的長度.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設，則，因為，，所以，在中，由余弦定理可得①在中，由余弦定理可得②由①②得，，，，所以，又因為，所以，所以.（2）由（1）知，，，且，所以.4．（2324高一下·河南安陽·月考）在中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大?。?2)若，，CH為AB邊上的高，H為垂足，，其中m，，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，得，由倍角公式得．又因為為的內(nèi)角，所以，，所以．所以，，則有，得．（2），，如圖，則，所以，由題意知，所以，即．所以，所以．5．（2324高一下·廣東廣州·月考）在中，角的對邊分別是，且滿足．(1)求；(2)若是邊上的高，求的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由正弦定理，得，即，因為，所以，所以，則．（2）因為，由余弦定理，即，所以當且僅當時取等號，所以，則，當且僅當時取等號，所以，又，所以，故的最大值為．五．多三角形與四邊形解三角形1．（2324高一下·廣東佛山·期中）四邊形中，，記，，的角平分線與相交于點，且，.(1)求的大?。?2)求的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，因為，兩式相除得，所以，又因為，可得，所以.（2）因為，所以，又因為平分，可得，因為，且，，所以，即，解得，在中，由余弦定理得，所以.2．（2324高一下·北京·期中）如圖，在梯形ABCD中，，，(1)求；(2)求BC的長．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，，，則、均為銳角，則，，.（2）在中，由正弦定理得，，由，得，在中，由余弦定理得，所以.3．（2324高一下·山東聊城·月考）如圖，在平面四邊形ABCD中，E為線段BC的中點，．(1)若，求AE；(2)若，求AE的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在四邊形中，由，得，過作交于，由，得，則四邊形是平行四邊形，，而，因此，，在中，由余弦定理得.（2）連接，由，，得，設，，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理得，其中銳角由確定，顯然，則當時，，即，所以AE的最大值為.4．（2324高一下·福建莆田·期中）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求；(2)設，若點是邊上一點，，且，求，．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由正弦定理可得，即，所以，因為，所以，所以，又，所以．（2）如圖所示：因為，，所以，．又，所以．在中，由余弦定理得，即．①又，即，所以，兩邊平方得，即，所以．②②－①得，所以，代入①得（負值已舍去）．5．（2324高一下·湖北武漢·月考）如圖，的內(nèi)角的對邊分別為，已知，為線段上一點，且．(1)求角；(2)若，求面積的最大值；(3)若，求．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）因為，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，所以，即，又，所以，則.（2）因為，所以，所以即，解得，當且僅當即、時等號成立.故，當且僅當即、時等號成立.所以面積的最大值為．（3）設，，則，，在中由正弦定理，即，在中由正弦定理，即，所以，即，即，又，則，即，解得，即.六．角度或三角值的最值范圍1．（2324高一下·貴州貴陽·月考）銳角，角的對邊分別是.已知.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)的取值范圍為.【解析】（1）由正弦定理可得，為的外接圓半徑，所以，所以，可化為，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，即，所以；（2）因為為銳角三角形，所以，，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍為.2．（2223高一下·河南南陽·月考）記的內(nèi)角的對邊分別為，分別以為直徑的三個半圓的面積依次為，已知，．(1)求的面積；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）因為，可得，解得，由余弦定理得，解得，所以．（2）由正弦定理可得，可得，，所以，又由余弦定理得，當且僅當時取等號，所以，即的最大值為．3．（2324高一下·河南周口·月考）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由余弦定理，，整理得：，又由正弦定理，，而A為三角形內(nèi)角，故，故，而C為銳角三角形內(nèi)角，故（2）由（1）知，，因為三角形為銳角三角形，故，解得：，則，故，所以.故的取值范圍是.4．（2324·河北滄州·模擬預測）已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，而，因此，當且僅當時取等號，于是，解得，在中，，由，得，所以當時，取得最大值．5．（2324高一下·福建福州·期中）中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)若，試判斷的形狀，并說明理由；(2)若，則的面積為，求，的值；(3)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)直角三角形，理由見解析；(2)；(3)【解析】（1）因為，解法一：因為，可得，且，則，可得，則，可得，且，則，可得，又因為，所以；解法二：可得整理得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又因為，所以；若，即，且，可得，，所以為直角三角形.（2）因為，則，解得，由余弦定理可得，即，可得，所以.（3）因為.因為，且三角形是銳角三角形，則，解得，則，可得，則，所以的取值范圍為.七．邊長或周長的最值范圍1．（2324高一下·云南·月考）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C的大?。?2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，所以，即，由正弦定理，因，則得，又，故，因為，所以.（2）由正弦定理得，所以，，所以.由，得，故，因為，，所以，所以，即的取值范圍為.2．（2324高一下·江蘇鹽城·月考）已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，向量，，且.(1)求角C的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1）因為，所以，方法一：利用正弦定理角化邊得，又，，則，又為銳角三角形，故.方法二：由和差公式可得，又因為，所以，又為銳角三角形，故.（2）由正弦定理得，，由于為銳角三角形，則，又，解得，方法一：所以，而，即，，故的取值范圍為.方法二：所以，所以，又，所以，由余弦定理得，記，易知在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍為.3．（2324高一下·福建廈門·月考）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且，外接圓面積為(1)求A；(2)求周長的最大值.【答案】(1)；(2)9【解析】（1）已知向量，則，則，所以，則，所以，又，故且，所以，又，則；（2）由（1）知：，則，由正弦定理可得：的外接圓半徑為，則，即，所以，則，當且僅當且，即時等號成立，故三角形周長的最大值為4．（2324高一下·山西·月考）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大??；(2)若，，求周長的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【解析】（1）由正弦定理和得：，故，又，所以，即，又，所以或.（2）若，則,所以由（1），又，所以由正弦定理得，所以，又由上，所以，所以，所以，即周長的取值范圍為.5．（2324高一下·遼寧·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，.(1)求角B的大??；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以；（2）由正弦定理得，所以，由（1）得，故因為，所以，故，所以，，故，則.八．面積的最值范圍1．（2324高一下·吉林長春·期中）的內(nèi)角的對邊分別為，設(1)求B；(2)若，試判斷的形狀；(3)若，求銳角的面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)為等邊三角形；(3)【解析】（1）因為，由正弦定理可得，因為，則，可得，即，所以.（2）由（1）知，由余弦定理可得：，又因為，即，可得，整理得，即，又，所以為等邊三角形.（3）因為是銳角三角形，由（1）知且，可得，因為，所以，由三角形面積公式得，又由正弦定理且，所以，因為，所以，所以，則，所以，即面積的取值范圍為.2．（2324高一下·四川·期中）銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)求角的值；(2)若求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）及正弦定理，，，,即，又，.（2）在中，由正弦定理定理，可得，是銳角三角形，，解得，由，得，所以，于是有，故面積的取值范圍為.3．（2324高一下·新疆烏魯木齊·月考）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，點D在AC上，且，．(1)求角B；(2)求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由余弦定理可得，整理得，所以，又，所以；（2）因為，所以，故，即，所以，當且僅當，即時取等號，所以，所以面積的最大值為．4．（2223高一下·福建泉州·期末）在平面四邊形中，點在直線的兩側，，，四個內(nèi)角分別用表示，.(1)求；(2)求與的面積之和的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，由余弦定理得，解得：，，即，.（2）設，則，，，四點共圓，且為該圓的直徑，，，，，在中，，，.

，，，，當，即時，，故與的面積和的最大值為.

5．（2223高一下·安徽合肥·月考）已知為銳角三角形，角所對的邊分別為，且．(1)求的取值范圍；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，由正弦定理可得：，則，所以或，即或，所以，因為為銳角三角形，可得，即，解得：，所以，，，故的取值范圍為.（2）在中，由正弦定理可得，又，，，因為，當時，，當時，，又，在上單調(diào)遞增，當時，的面積最小，最小值為.綜上所述，三角形面積的最小值為.九．三角形的外接圓與內(nèi)切圓1．（2324·全國·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意得，即，，故．（2）因為，為內(nèi)切圓半徑，所以．設，則，又因為，，，，所以三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍為．2．（2324高一下·江蘇·專題練習）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A(2)若，求內(nèi)切圓周長的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知，由正弦定理可得.又，，得，上式化簡得，所以，因為，所以；（2）由余弦定理可得，得到，所以.設內(nèi)切圓的半徑為，，所以，又，又，，且，則，，，所以，故內(nèi)切圓周長為，最大值為.3．（2324·全國·模擬預測）已知中，角，，的對邊分別是，，，．(1)求角的大?。?2)若，外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的最小值．【答案】(1)；(2)2【解析】（1）由及正弦定理，得，故，即，即．由，則，故，即．因為，所以．（2）由（1）和余弦定理可得，，故，，即，當且僅當時等號成立．故．由利用等面積法求得的最大值，易知，故，故，利用正弦定理，所以的最小值為2．4．（2223高一下·河南平頂山·期末）如圖所示，四邊形的外接圓為圓.(1)求；(2)若，求的長.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，可得.設，在中，由余弦定理得，即，解得（舍去）或，由正弦定理得.（2），由已知得，設.在中，由余弦定理得，，即..5．（2324高一下·湖北·月考）如圖所示，圓內(nèi)接四邊形中，，為圓周上一動點，.(1)求四邊形ABCD周長的最大值;(2)若，求AC的長.【答案】(1)；(2)【解析】（1）方法1、連接BD，因為，所以，在中，由余弦定理得，解得，設，則，再在中，由正弦定理得，所以，所以，當且僅當時，周長的最大值為.方法2、連接BD，因為，所以，在中，由余弦定理得，可得，在中，由余弦定理得所以，因為當且僅當時等號成立，所以，所以周長的最大值為.（2）依題意得，設，在中由余弦定理得，可得，所以，解得，所以，可得，所以，在中，由正弦定理，所以，則，在中，由余弦定理得，所以.十．解三角形新定義問題1．（2324高一下·安徽·月考）已知在任意一個三角形的三條邊上分別向外做出三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心也構成一個等邊三角形;我們稱由這三個等邊三角形中心構成的三角形為其外拿破侖三角形．在銳角中，角所對的邊分別為且，以的邊分別向外作的三個等邊三角形的中心分別記為，且的面積為，記為的外接圓半徑．(1)若，求;(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由得，因為為銳角三角形，所以，連接，如圖所示，由等邊三角形中心的位置可知，故，又，則，且，同理，由得，又，則，.（2）因為，即，又，所以，則，則，由，，得，由，有，為銳角三角形，得，所以，得，所以．2．（2324高一下·安徽安慶·月考）著名的費馬問題是法國數(shù)學家皮埃爾·德·費馬（1601－1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，則使得的點P即為費馬點．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，且．若是的“費馬點”，．(1)求角；(2)若，求的周長；(3)在（2）的條件下，設，若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)．【解析】（1）由已知，得，由正弦定理，得，即，即，由于，所以，所以.（2）設，則．所以，由得：，即，由余弦定理得，，即，即，又，聯(lián)立解得．所以的周長為.（3）設，由（2）在中，由余弦定理得，聯(lián)立求解可得，所以，所以，，即，令，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，所以．即的取值范圍為．3．（2324高一下·山東·月考）克羅狄斯托勒密（約90168年）是希臘著名的數(shù)學家、天文學家和地理學家.他一生有很多發(fā)明和貢獻，其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等式內(nèi)容如下：在凸四邊形中，兩組對邊乘積的和大于等于兩對角線的乘積，即，當四點共圓時等號成立.已知凸四邊形中，.(1)當為