專(zhuān)題05解三角形大題?？碱}型歸類(lèi)（考題猜想10題型）

專(zhuān)題05解三角形大題一．正余弦定理解三角形1．（2324高一下·重慶璧山·月考）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，由，得，所以，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以由正弦定理得，所?因?yàn)?，，所以由余弦定理得，所?2．（2324高一下·江蘇揚(yáng)州·月考）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)求角A；(2)若的面積為，周長(zhǎng)為6，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，可得，且，則，可得，整理得，又因?yàn)椋瑒t，所以，即.（2）因?yàn)?，則，由余弦定理可得，解得．3．（2324高一下·廣東湛江·開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由余弦定理得，因?yàn)椋傻?，又由正弦定理得，即，可得，又因?yàn)椋傻?（2）由（1）知，由余弦定理知，將，代入化簡(jiǎn)得，解出或（舍去），所以的面積．4．（2324高一下·浙江金華·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足，.(1)求證：；(2)求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）在中，有，，即，當(dāng)時(shí)，等式顯然不成立，所以，.（2）由正弦定理推出，且（1）得，，即，，即，又，，，，即，，或（舍去）.5．（2324高一下·江西·月考）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為，且．(1)證明：；(2)若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）因?yàn)榈拿娣e，又．所以，又．所以．所以．所以，又，所以．（2）因?yàn)椋?，所以．所以，所以．二．三角形的中線(xiàn)應(yīng)用1．（2324高一下·湖南常德·期中）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，且．(1)求角的大?。?2)若，為的中點(diǎn)，，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理得，又，所以；?）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，化?jiǎn)得，即，又，則，所以，即，則，所以，，因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，在中，解得（負(fù)值舍去），所以．2．（2324高一下·江蘇南通·期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角；(2)若為的中點(diǎn)，且，求.【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，又，于是，而，即有，則，所以.（2）依題意，，顯然，由余弦定理得，整理得，在中，由余弦定理，得，因此，即，則，令，則，所以.3．（2223高一下·湖北黃岡·期中）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)是中點(diǎn)．，．(1)求；(2)再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知條件，求邊．條件①的面積為；條件②．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，，，又，；?）若選①，在中由余弦定理得，即，又，則，所以，即，所以，所以.若選②，在中由余弦定理得，即，在中由余弦定理得，即，所以，所以，所以或（舍去），又，則，所以.4．（2324高一下·新疆烏魯木齊·月考）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足．(1)求角；(2)若為上一點(diǎn)，且，，，求的面積；(3)若，，是中線(xiàn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，由，故，所以，可得因?yàn)椋傻茫?，所以，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，且，，，由三角形面積公式可得，所以，所以，則.（3）由，可得，所以，又由，由余弦定理得，即，可得，因?yàn)槭侵芯€(xiàn)，可得，所以，所以.5．（2324高一下·湖北·月考）已知分別為銳角三角形三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求;(2)若，為的中點(diǎn)，求中線(xiàn)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)槭卿J角三角形的三個(gè)內(nèi)角，所以，，根據(jù)正弦定理可得，即，所以，則，整理得，即，又，所以，即.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，兩邊平方得，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，解得，所以，所以，所以，所以中線(xiàn)的取值范圍是.三．三角形的角平分線(xiàn)應(yīng)用1．（2223高一下·安徽滁州·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角A的大小；(2)若，，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，求AD的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【解析】（1）由正弦定理可知.由余弦定理可得，又，所以.（2）由題意知，所以，所以，解得.2．（2324高一下·遼寧·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且________，在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，并解答下列問(wèn)題：(1)求角A的大??；(2)若AD是的角平分線(xiàn)，且，，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)；(3)若，判斷的形狀.【答案】(1)；(2)；(3)直角三角形【解析】（1）選擇①：由，可得，即，即，因?yàn)?，所以；選擇②：因?yàn)棰?，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，所以，即，可得，因?yàn)?，可得，所以；選擇③，由，可得,又由正弦定理得，再由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)锳D是的角平分線(xiàn)，且，設(shè)，因?yàn)?，可得，即，解得，?（3）由（1）知，由余弦定理得，因?yàn)?，平方得，即，代入上式，可得，即，將代入，可得，解得或，?dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，可得為直角三角形；當(dāng)時(shí)，此時(shí)（不成立，舍去）；綜上可得，為直角三角形.3．（2324高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求的值；(2)給出以下三個(gè)條件：①；②；③．這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出這兩個(gè)正確的條件并回答下面的問(wèn)題：①求邊的值；②求的角平分線(xiàn)的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)①；②.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋?（2）因?yàn)闉殁g角，所以為最大邊，故②不正確，①和③正確.由余弦定理可得，又，所以.由可得，所以.，所以.4．（2223高一下·湖北武漢·期中）已知的內(nèi)角，A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為為內(nèi)角A的角平分線(xiàn)，交邊于點(diǎn)D，求線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)；(2)2【解析】（1）由正弦定理，得，即，故.（2）由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，又因?yàn)?，所以．于?那么．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為2．5．（2223高一下·云南·期末）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足.(1)求角A；(2)若為的中點(diǎn)，且的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，求邊長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以所以由余弦定理得，所以四．三角形的高線(xiàn)應(yīng)用1．（2324高一下·江蘇無(wú)錫·月考）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)若，求角的大??；(2)若，求邊上的高.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由正弦定理，，即，因，故,即是銳角，故；（2）如圖，由余弦定理，，知角是銳角，則，作于點(diǎn)，在中，,即邊上的高是.2．（2324高一下·山西運(yùn)城·月考）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)已知，D是邊BC的中點(diǎn)，且，求AD的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【解析】（1）由正弦定理及，得，再由余弦定理得，即，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以.由（1）知，因?yàn)?，所以，故，?由余弦定理得，故，因?yàn)椋裕?在中，，，所以，即的長(zhǎng)為.3．（2324高三上·廣東佛山·月考）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，D是BC上的中點(diǎn)，.(1)求的大??；(2)E是AB上一點(diǎn)，，求DE的長(zhǎng)度.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理可得①在中，由余弦定理可得②由①②得，，，，所以，又因?yàn)?，所以，所?（2）由（1）知，，，且，所以.4．（2324高一下·河南安陽(yáng)·月考）在中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，，CH為AB邊上的高，H為垂足，，其中m，，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，得，由倍角公式得．又因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，，所以．所以，，則有，得．（2），，如圖，則，所以，由題意知，所以，即．所以，所以．5．（2324高一下·廣東廣州·月考）在中，角的對(duì)邊分別是，且滿(mǎn)足．(1)求；(2)若是邊上的高，求的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，所以，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，即，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又，所以，故的最大值為．五．多三角形與四邊形解三角形1．（2324高一下·廣東佛山·期中）四邊形中，，記，，的角平分線(xiàn)與相交于點(diǎn)，且，.(1)求的大小；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，兩式相除得，所以，又因?yàn)?，可得，所?（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠椒?，可得，因?yàn)?，且，，所以，即，解得，在中，由余弦定理得，所?2．（2324高一下·北京·期中）如圖，在梯形ABCD中，，，(1)求；(2)求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，，，則、均為銳角，則，，.（2）在中，由正弦定理得，，由，得，在中，由余弦定理得，所以.3．（2324高一下·山東聊城·月考）如圖，在平面四邊形ABCD中，E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，．(1)若，求AE；(2)若，求AE的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在四邊形中，由，得，過(guò)作交于，由，得，則四邊形是平行四邊形，，而，因此，，在中，由余弦定理得.（2）連接，由，，得，設(shè)，，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理得，其中銳角由確定，顯然，則當(dāng)時(shí)，，即，所以AE的最大值為.4．（2324高一下·福建莆田·期中）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)求；(2)設(shè)，若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，且，求，．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以．?）如圖所示：因?yàn)?，，所以，．又，所以．在中，由余弦定理得，即．①又，即，所以，兩邊平方得，即，所以．②②－①得，所以，代入①得（?fù)值已舍去）．5．（2324高一下·湖北武漢·月考）如圖，的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且．(1)求角；(2)若，求面積的最大值；(3)若，求．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，所以，所以，又，所以，所以，即，又，所以，則.（2）因?yàn)?，所以，所以即，解得，?dāng)且僅當(dāng)即、時(shí)等號(hào)成立.故，當(dāng)且僅當(dāng)即、時(shí)等號(hào)成立.所以面積的最大值為．（3）設(shè)，，則，，在中由正弦定理，即，在中由正弦定理，即，所以，即，即，又，則，即，解得，即.六．角度或三角值的最值范圍1．（2324高一下·貴州貴陽(yáng)·月考）銳角，角的對(duì)邊分別是.已知.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)的取值范圍為.【解析】（1）由正弦定理可得，為的外接圓半徑，所以，所以，可化為，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，即，所以；（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?2．（2223高一下·河南南陽(yáng)·月考）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，分別以為直徑的三個(gè)半圓的面積依次為，已知，．(1)求的面積；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)?，可得，解得，由余弦定理得，解得，所以．?）由正弦定理可得，可得，，所以，又由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為．3．（2324高一下·河南周口·月考）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理，，整理得：，又由正弦定理，，而A為三角形內(nèi)角，故，故，而C為銳角三角形內(nèi)角，故（2）由（1）知，，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，解得：，則，故，所以.故的取值范圍是.4．（2324·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是，解得，在中，，由，得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．5．（2324高一下·福建福州·期中）中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，則的面積為，求，的值；(3)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)直角三角形，理由見(jiàn)解析；(2)；(3)【解析】（1）因?yàn)椋夥ㄒ唬阂驗(yàn)?，可得，且，則，可得，則，可得，且，則，可得，又因?yàn)?，所以；解法二：可得整理得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又因?yàn)?，所以；若，即，且，可得，，所以為直角三角?（2）因?yàn)?，則，解得，由余弦定理可得，即，可得，所以.（3）因?yàn)?因?yàn)?，且三角形是銳角三角形，則，解得，則，可得，則，所以的取值范圍為.七．邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍1．（2324高一下·云南·月考）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C的大??；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理，因，則得，又，故，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理得，所以，，所以.由，得，故，因?yàn)椋?，所以，所以，即的取值范圍?2．（2324高一下·江蘇鹽城·月考）已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，向量，，且.(1)求角C的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1）因?yàn)?，所以，方法一：利用正弦定理角化邊得，又，，則，又為銳角三角形，故.方法二：由和差公式可得，又因?yàn)椋?，又為銳角三角形，故.（2）由正弦定理得，，由于為銳角三角形，則，又，解得，方法一：所以，而，即，，故的取值范圍為.方法二：所以，所以，又，所以，由余弦定理得，記，易知在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍為.3．（2324高一下·福建廈門(mén)·月考）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且，外接圓面積為(1)求A；(2)求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)；(2)9【解析】（1）已知向量，則，則，所以，則，所以，又，故且，所以，又，則；（2）由（1）知：，則，由正弦定理可得：的外接圓半徑為，則，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故三角形周長(zhǎng)的最大值為4．（2324高一下·山西·月考）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大??；(2)若，，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【解析】（1）由正弦定理和得：，故，又，所以，即，又，所以或.（2）若，則,所以由（1），又，所以由正弦定理得，所以，又由上，所以，所以，所以，即周長(zhǎng)的取值范圍為.5．（2324高一下·遼寧·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，.(1)求角B的大??；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)椋?；?）由正弦定理得，所以，由（1）得，故因?yàn)?，所以，故，所以，，故，則.八．面積的最值范圍1．（2324高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)(1)求B；(2)若，試判斷的形狀；(3)若，求銳角的面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)為等邊三角形；(3)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，可得，即，所以.（2）由（1）知，由余弦定理可得：，又因?yàn)?，即，可得，整理得，即，又，所以為等邊三角?（3）因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知且，可得，因?yàn)椋?，由三角形面積公式得，又由正弦定理且，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，即面積的取值范圍為.2．（2324高一下·四川·期中）銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知(1)求角的值；(2)若求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）及正弦定理，，，,即，又，.（2）在中，由正弦定理定理，可得，是銳角三角形，，解得，由，得，所以，于是有，故面積的取值范圍為.3．（2324高一下·新疆烏魯木齊·月考）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，點(diǎn)D在AC上，且，．(1)求角B；(2)求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，整理得，所以，又，所以；?）因?yàn)椋?，故，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以面積的最大值為．4．（2223高一下·福建泉州·期末）在平面四邊形中，點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè)，，，四個(gè)內(nèi)角分別用表示，.(1)求；(2)求與的面積之和的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，由余弦定理得，解得：，，即，.（2）設(shè)，則，，，四點(diǎn)共圓，且為該圓的直徑，，，，，在中，，，.

，，，，當(dāng)，即時(shí)，，故與的面積和的最大值為.

5．（2223高一下·安徽合肥·月考）已知為銳角三角形，角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求的取值范圍；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，則，所以或，即或，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，可得，即，解得：，所以，，，故的取值范圍為.（2）在中，由正弦定理可得，又，，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的面積最小，最小值為.綜上所述，三角形面積的最小值為.九．三角形的外接圓與內(nèi)切圓1．（2324·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意得，即，，故．（2）因?yàn)?，為?nèi)切圓半徑，所以．設(shè)，則，又因?yàn)?，，，，所以三角形?nèi)切圓半徑的取值范圍為．2．（2324高一下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A(2)若，求內(nèi)切圓周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由已知，由正弦定理可得.又，，得，上式化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)椋?；?）由余弦定理可得，得到，所以.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，，所以，又，又，，且，則，，，所以，故內(nèi)切圓周長(zhǎng)為，最大值為.3．（2324·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角，，的對(duì)邊分別是，，，．(1)求角的大?。?2)若，外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的最小值．【答案】(1)；(2)2【解析】（1）由及正弦定理，得，故，即，即．由，則，故，即．因?yàn)椋裕?）由（1）和余弦定理可得，，故，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故．由利用等面積法求得的最大值，易知，故，故，利用正弦定理，所以的最小值為2．4．（2223高一下·河南平頂山·期末）如圖所示，四邊形的外接圓為圓.(1)求；(2)若，求的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，可得.設(shè)，在中，由余弦定理得，即，解得（舍去）或，由正弦定理得.（2），由已知得，設(shè).在中，由余弦定理得，，即..5．（2324高一下·湖北·月考）如圖所示，圓內(nèi)接四邊形中，，為圓周上一動(dòng)點(diǎn)，.(1)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值;(2)若，求AC的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【解析】（1）方法1、連接BD，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，解得，設(shè)，則，再在中，由正弦定理得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最大值為.方法2、連接BD，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，可得，在中，由余弦定理得所以，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以周長(zhǎng)的最大值為.（2）依題意得，設(shè)，在中由余弦定理得，可得，所以，解得，所以，可得，所以，在中，由正弦定理，所以，則，在中，由余弦定理得，所以.十．解三角形新定義問(wèn)題1．（2324高一下·安徽·月考）已知在任意一個(gè)三角形的三條邊上分別向外做出三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的中心也構(gòu)成一個(gè)等邊三角形;我們稱(chēng)由這三個(gè)等邊三角形中心構(gòu)成的三角形為其外拿破侖三角形．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為且，以的邊分別向外作的三個(gè)等邊三角形的中心分別記為，且的面積為，記為的外接圓半徑．(1)若，求;(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，連接，如圖所示，由等邊三角形中心的位置可知，故，又，則，且，同理，由得，又，則，.（2）因?yàn)?，即，又，所以，則，則，由，，得，由，有，為銳角三角形，得，所以，得，所以．2．（2324高一下·安徽安慶·月考）著名的費(fèi)馬問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601－1665）于1643年提出的平面幾何極值問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”費(fèi)馬問(wèn)題中的所求點(diǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，且．若是的“費(fèi)馬點(diǎn)”，．(1)求角；(2)若，求的周長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，設(shè)，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)．【解析】（1）由已知，得，由正弦定理，得，即，即，由于，所以，所以.（2）設(shè)，則．所以，由得：，即，由余弦定理得，，即，即，又，聯(lián)立解得．所以的周長(zhǎng)為.（3）設(shè)，由（2）在中，由余弦定理得，聯(lián)立求解可得，所以，所以，，即，令，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，所以．即的取值范圍為．3．（2324高一下·山東·月考）克羅狄斯托勒密（約90168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.他一生有很多發(fā)明和貢獻(xiàn)，其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等式內(nèi)容如下：在凸四邊形中，兩組對(duì)邊乘積的和大于等于兩對(duì)角線(xiàn)的乘積，即，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立.已知凸四邊形中，.(1)當(dāng)為