參考答案與解析（下）高一年級(jí)訓(xùn)練（一）

2023學(xué)年（下）高一年級(jí)訓(xùn)練（一）（參考答案與解析）1．B【分析】由已知運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意可得，即，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，故選：B.2．B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價(jià)于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因?yàn)?，可得，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無(wú)法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.3．A【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算量，結(jié)合即可求解.【詳解】取中點(diǎn)為，連接，顯然，則.故選：A4．C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，又，所以，則，所以，，所以.故選：C5．C【分析】舉反例可否定ABD，由線面平行性質(zhì)定理、面面垂直判定定理可知C正確.【詳解】對(duì)于A，直線可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線可以平行平面，也可以在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由∥，過(guò)作平面交于直線，即平面直線，由線面平行性質(zhì)定理可知，直線∥直線，又，所以直線，又直線，由面面垂直的判定定理得，故C正確；對(duì)于D，若，直線可與平面平行或在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．C【分析】利用樣本平均數(shù)和樣本方差的定義列式計(jì)算即可.【詳解】由甲同學(xué)的樣本的平均數(shù)，方差分別為，乙同學(xué)的樣本的平均數(shù)，方差分別為，則合在一起后的樣本平均數(shù)，則合在一起后的樣本方差.故選：C.7．B【分析】根據(jù)題意，求出時(shí)，取球的情況，結(jié)合獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.【詳解】由題意，時(shí)，取球的情況為：白白紅，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑紅，黑白白，黑白黑，黑白紅，所以.故選：A.8．D【分析】根據(jù)給定條件，將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，從而求得三棱錐外接球的半徑，從而得解.【詳解】因?yàn)樵谌忮F中，，，，將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體同個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，如圖，

則，所以，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐外接球的直徑，所以三棱錐外接球的直徑為，半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：D.9．ABC【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)即可判斷A，結(jié)合正弦定理代入計(jì)算即可得到，從而判斷B，由余弦定理代入計(jì)算即可判斷D，再由三角形的面積公式即可判斷C【詳解】因?yàn)?，所以，且、、為三角形的?nèi)角，所以，則，所以，即，故A正確；由可得，由正弦定理可得，即，所以，即，且，則，所以，故B正確；由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍），故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，故C正確；故選：ABC10．ABC【分析】棱上取點(diǎn)，利用線線平行可得截面為四邊形，進(jìn)而求面積判斷A，利用等體積法判斷B，利用線面平行的判定定理判斷C，假設(shè)存在，利用面面垂直的性質(zhì)定理判斷D.【詳解】由題意知點(diǎn)在棱上，且，在棱上取點(diǎn)，上取點(diǎn)，使得，所以，平面截正方體所得的截面為四邊形，又因?yàn)?，，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，所以，所以四邊形的面積,A說(shuō)法正確；連接，三棱錐的體積，由上面知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，解得，B說(shuō)法正確；延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，所以，解得，在上取點(diǎn)，使得，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，C說(shuō)法正確；假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，又平面平面，平面平?可得平面，又平面，所以，與矛盾，所以在上不存在點(diǎn)，使得平面，D說(shuō)法錯(cuò)誤，故選：ABC11．ACD【分析】對(duì)于A，由已知將四棱錐P?ABCD補(bǔ)形為正方體，即可求得外接球的半徑，進(jìn)而求出表面積，判斷A；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，可以證得平面PDC，由，可得與平面不平行，判斷B；對(duì)于C，由已知條件可得，得點(diǎn)Q的軌跡為線段的中垂線，則可求出BQ長(zhǎng)度的最大值，判斷C；對(duì)于D，由已知可得點(diǎn)M的軌跡為以D為圓心，2為半徑的個(gè)圓弧，則當(dāng)M在中點(diǎn)時(shí)四棱錐P?AMCD的體積最大，進(jìn)而求出四棱錐P?AMCD的體積的最大值，判斷D.【詳解】對(duì)于A，由已知將四棱錐P?ABCD補(bǔ)形為正方體，則該四棱錐的外接球的半徑即為棱長(zhǎng)為2的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，所以，則，所以外接球表面積為，故A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC，又，所以共面，由，所以與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由已知，，得，所以，則點(diǎn)Q的軌跡為線段的中垂線，當(dāng)Q為中點(diǎn)時(shí)，BQ最大，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，由已知，點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)（不含邊界），，所以點(diǎn)M的軌跡為以D為圓心，2為半徑的個(gè)圓弧，要使四棱錐P?AMCD的體積最大，則需四邊形的面積最大，當(dāng)M在中點(diǎn)時(shí)四邊形的面積最大，此時(shí)，所以四棱錐P?AMCD的體積的最大值為,故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求一些幾何體的外接、內(nèi)切球面積或體積的問(wèn)題，主要是求出球的半徑，要合理的利用補(bǔ)形，利用長(zhǎng)方體或正方體模型；幾何體中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，求線段、面積、體積等最值問(wèn)題，主要是找到取得最值時(shí)的動(dòng)點(diǎn)的位置.12．【分析】由數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，且與的夾角為，所以，所以.故答案為：13．84.55【分析】利用第70百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可.【詳解】由題意得，解得，因?yàn)榍?組數(shù)據(jù)的頻率之和為，前5組數(shù)據(jù)的頻率之和為，則分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)分位數(shù)為x，則，解得，所以分位數(shù)約為.故答案為：14．23【分析】空1：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由線面平行的性質(zhì)，可得到，從而得到，進(jìn)而得解；空2：取中點(diǎn),找到平面，所以或其補(bǔ)角為直線GB與平面所成角，進(jìn)而得解.【詳解】如圖所示：空1：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為中點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)G為的重心，所以,所以.空2：取中點(diǎn),連接，則,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，因?yàn)?，，所以，又則為中點(diǎn)，所以，中，,同理可得，，因?yàn)?，所以，又，所以平面，則為在平面內(nèi)的投影，所以或其補(bǔ)角為直線GB與平面所成角，中，，，故答案為：2；3.15．(1)，；(2)，最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出，再根據(jù)第二個(gè)圖求出的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,故，所以在區(qū)間的最小值為．16．(1)(2)【分析】（1）列出所有基本事件，根據(jù)古典概型及對(duì)立事件求解；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的和的概率公式及對(duì)立事件求解即可.【詳解】（1）從這5人中隨機(jī)采訪3人，有（小紅、小東、小軍），（小紅、小東、小英），（小紅、小東、小青），（小紅、小軍、小英），（小紅、小軍、小青），（小紅、小英、小青），（小東、小軍、小英），（小東、小軍、小青），（小東、小英、小青），（小軍、小英、小青）共10種情況，其中至少有1人是通訊專業(yè)的，對(duì)立事件是沒(méi)有通訊專業(yè)的，即（小紅、小東、小青），所以至少有1人是通訊專業(yè)的概率為.（2）設(shè)“小紅應(yīng)聘成功”，“小軍應(yīng)聘成功”，“小青應(yīng)聘成功”，則至少有2人應(yīng)聘成功的概率.17．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）取的中點(diǎn)，連接，在和中，分別利用余弦定理表示，結(jié)合化簡(jiǎn)求出，再利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1），由余弦定理得，化簡(jiǎn)得．；（2）由（1）可得①，又②，取的中點(diǎn)，連接，在中，③，由②③得④，由①④得，解得或（舍去），，.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)線面平行證明線線平行，（2）利用空間向量的方法解決角度問(wèn)題，.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，.在中，，分別是，的中點(diǎn)，所以，且.在正方形中，，且，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且.所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因?yàn)槭菆A的直徑，是的中點(diǎn)，且，所以，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依題意，，，，，，，.所以，，.設(shè)是平面的法向量，則即取，得，，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的法向量，則即取，得，，所以是平面的一個(gè)法向量.所以.設(shè)二面角的大小為，據(jù)圖可知，，所以二面角的余弦值為.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接，即可證明平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明即可；（2）設(shè)，連接，設(shè)，連接，即可得到截面即為平面，再根據(jù)錐體、柱體的體積公式計(jì)算可得；（3）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、，即可證明平面平面，則在線段上，從而得到當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)最小，令，連接，則球心在上，設(shè)球心為，連接、、，利用勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）連接，因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所?

（2）在正方形中，直線與直線相交，設(shè)，連接，設(shè)，連接，由為的中點(diǎn)，得為的中點(diǎn)，，所以平面即為平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以平面將正方體分成兩部分，其中一部分是三棱臺(tái)，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，另一部分幾何體的體積，兩部分的體積．（3）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、，顯然，，所以，平面，平面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，