2024屆河南省焦作市博愛(ài)一中高三（上）12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

焦作市博愛(ài)一中2023—2024學(xué)年高三（上）12月月考數(shù)學(xué)考生注意：1.開(kāi)考前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需要改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再涂選其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題p:aD，命題q:xR，x20a3，若p是q成立的必要不充分00條件，則區(qū)間D可以為()(,4)(0,)(,6][2,)[0]A.C.B.D.(2)1313122242.設(shè)a,bc,,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()355A.abcB.acbπC.cabD.bcaπ23.已知，，且sin2cos21sin，則下列結(jié)論正確的2是()ππA.B.22ππC.D.22,bk,1,kR,a,b的夾角為,若存在實(shí)數(shù)m使得4.已知向量a1,22bcos5m0,則m的取值范圍是()1A.,2512B.D.,C.,21x22y225.已知雙曲線C:的左焦點(diǎn)為1，直線yk0與雙曲線C1ab0ab2π12b2交于P，Q兩點(diǎn)，且PFQC的離心率為()，PFFQ4，則當(dāng)a2取得最小值時(shí)，雙曲線11a23A.3B.3C.2D.26.已知點(diǎn)(,3)，B(2m,m4)，C(m2)，D0)，且直線AB與直線CD平行，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1B.0C.0或2D.0或17.如圖,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,取正六邊形ABCDEF各邊的中點(diǎn)A,B,11111111111122C,D,E,F,作第二個(gè)正六邊形ABCDEF;然后再取正六邊形ABCDEF各2222222222222222邊的中點(diǎn)A,B,C,D,E,F,作第三個(gè)正六邊形ABCDEF;依此方法一直繼續(xù)333333333333下去……,則第2022個(gè)正方形的面積為()3333A.63B.63C.D.6363442218.已知a1tan0.2,b,c,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則()e0.2A.abcB.cabC.bacD.acb二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若存在實(shí)數(shù)a，b，c滿足等式9a可能為()4b8124a2b，9a16bc，則c的值229227298278A.B.C.D.10.甲,乙兩樓相距20m,從乙樓底仰望甲樓頂?shù)难鼋菫?0,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0,則下列說(shuō)法正確的有()A.甲樓的高度為20mB.甲樓的高度為mD.乙樓的高度為m403C.乙樓的高度為m311.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，ABCDABCD是棱長(zhǎng)為1的正方體，則()1111A.平面ABBA的一個(gè)法向量為0)B.平面BCD的一個(gè)法向量為111C.平面BCD的一個(gè)法向量為D.平面ABCD的一個(gè)法向量為1111sinx12.直線xaya0是曲線y的切線,則實(shí)數(shù)a的值可以是()xππA.3πB.πC.D.23三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.有一個(gè)裝有進(jìn)出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)出的水量是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開(kāi)始10分鐘內(nèi)只進(jìn)水，不出水，在隨后的30分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時(shí)間x（分）與水量y（升）之間的關(guān)系如圖所示，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角是以O(shè)為頂點(diǎn)，Ox軸為始邊，若角的終邊過(guò)π4點(diǎn)4，則sin的值等于________.315.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一）,米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.6立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有__________斛.（精確到個(gè)位）2,1,0,5,OC1,2,,點(diǎn)M為線段16.在空間直角坐標(biāo)系中,已知AB的中點(diǎn),則CM________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.π17.（10分）已知函數(shù)f(x)sinxsinx3x.22（1）求f(x)的最小正周期和最大值；π2π63（2）討論f(x)在,上的單調(diào)性.an1,其中S是數(shù)列a的前nn18.（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列a滿足2Snnn項(xiàng)和.(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n41111(2)若對(duì)任意nN,且當(dāng)n2時(shí),總有數(shù)的取值范圍.恒成立,求實(shí)41S21S31Sn119.（12分）如圖,四棱錐P的底面為正方形,是側(cè)面PBC上一點(diǎn).平面ABCD,,MPDAD2(1)過(guò)點(diǎn)作一個(gè)截面,使得PA與BC都與平行.作出與四棱錐P表面M的交線,并證明；12125(2)設(shè)BMBCBP,其中[0，].若PB與平面MCD所成角的正弦值為,求的值.20.（12分）如圖，設(shè)P是圓x2y225上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，M54為PD上的一點(diǎn)，且||PD|.5（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；4（2）求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被曲線C截得的線段的長(zhǎng)度.521.（12分）新高考實(shí)行“312”模式,其中“3”為語(yǔ)文,數(shù)學(xué),外語(yǔ)這3門必選科目,“1”由考生在物理,歷史2門首選科目中選擇1門,“2”由考生在政治,地理,化學(xué),生物這4門再選科目中選擇2門.已知武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理,再選科目為化學(xué),生物至少1門.（1）從所有選科組合中任意選取1個(gè),求該選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率;（2）假設(shè)甲,乙,丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的,求這三人中恰好有一人的選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率.62x1x1(a0).22.（12分）已知函數(shù)fxax（1）若函數(shù)fx在區(qū)間上為增函數(shù)，求a的取值范圍；21213232n1nn1n14（2）設(shè)nN*，證明：.n17數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題1.答案：Aq:0R200a3x0a30，02解析：命題a，x，則24(a0，解得a6或a2所以(,6][2,)üD又p是q成立的必要不充分條件，所以(,4)(0,)，所以區(qū)間D可以為.2.答案：C113123254532解析:abc,,,1113222233函數(shù)yx是增函數(shù),,,3535ab,且1ab121245c1ab1,即,又54綜上可得,cab,故選:C.3.答案：A解析：有sin2cos21sin，得2sincos221sin，sincossincos，π2π2π2πsinsin，由于，，所以，2π，故選A.24.答案：C5解析:bcos5m0,則mbcos,a2),51則a12225,abcosab故m,abk?2,255ab2由題意可知,m.55故選:C.5.答案：D解析：不妨設(shè)P位于第一象限，雙曲線C的右焦點(diǎn)為F，連接PF，F(xiàn)Q，222πO為PQ,FF中點(diǎn)，四邊形PFQF為平行四邊形，PFFQ，F(xiàn)；121221123設(shè)PF1m，2nm,n0，則mn2a，π1由PFFQ4得：4，解得：8；111232π在△PFF中，F(xiàn)F2mn2mnmn24a84c，222212123b2c2a22，1b22a22a22a222（當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)取等號(hào)），22a2a22a21b22ba22當(dāng)a2取得最小值時(shí)，雙曲線C的離心率e12.2a故選：D.6.答案：D解析：方法一：當(dāng)m0時(shí)，直線AB與直線CD的斜率都不存在，且不重合，此時(shí)直線m12m12AB與直線CD平行；當(dāng)m0時(shí)，k，k，由，解得m1，且mmmm2兩直線不重合.綜上，m的值為0或1.方法二：直線AB的一個(gè)方向向量為(,m，直線CD的一個(gè)方向向量為(,2)，因?yàn)橹本€AB與直線CD平行，所以AB//，所以DC(0)，即mm,(,m(,2)，所以解得m0或1，且直線AB與CD不重合.m12,7.答案：C解析：由題知第n個(gè)正六邊形的面積組成一個(gè)等比數(shù)列a,nn133其中a63,q,所以,an634143故,634故選：C.8.答案：B解析:a1tan0.2,b10.8,ce,則bc10.8e,令fx1xex1,x,1則fxex1在x上遞減,則,fxf10xbc,所以fx在x0,1上遞增,則fxf10,即則ac1tan0.2e,令gx1tanxex,x,1則gxex在x0,1上遞減,則gxg00,x2所以gx在x0,1上遞減,則gxg00,即ac,故選:B二、多項(xiàng)選擇題9.答案：ACD24b解析：由式9a4b8124a2b，可得a281，a4b9，則a2294b，4b9a，23所以9a22712b，16b3612a，29a216b又9ac216bc，則c，8a2362728b，c，889278a0，b0c，2299278則c的值可能為，，.28故選：ACD.10.答案：AC△AC20m90解析：解：如圖所示,ABC中,,,ABACtan6020m,BC40m,△BCD中,BCD30BC40mCBD30D,,,,BCCD由正弦定理得,sin120sinCBD14040332CDm故選：AC．所以3211.答案：AC解析：由題意，知(0,0,0)，B0)，C0)，D0)，B，C，11D.AD0)，AD平面ABBA，故A正確；111CD(0)，且(0)10不是平面BCD的法向量，故B14不正確；BC，CD(，，0(0，又11BCCDC是平面BCD的一個(gè)法向量，故C正確；1111BC，且，20不是平面ABCD的法向量，故D不111正確.12.答案：AB解析：設(shè)切點(diǎn)為Px,y,直線xaya0恒過(guò)定點(diǎn)0,1,00sin001xcosxsinxxxsinx,y000x20x20sinxxxxsinx2sinxx1x,00000000x0,可取x2kπkZ,00sin01由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,00sin001,=x20asin2k1π2k1π2kπ111,則,則2a2k1π22kπa2k1π,所以a2k1πkZ當(dāng)時(shí),aπ;當(dāng),,故A,B正確,C,D不正確.故選：AB.2aπk1k三、填空題2x,0x1013.答案：y150xx4033解析：當(dāng)0x10時(shí)，直線段過(guò)點(diǎn)O0,0，A20，20k2此時(shí)方程為y2x.10302013當(dāng)10x40時(shí)，直線段過(guò)點(diǎn)A20，B30，k，401011503此時(shí)方程為y20x10.即yx.3352x,0x10故答案為：y.150xx40332114.答案：/210104535的終邊過(guò)點(diǎn)4，則sin，cos，π442322sin.5252102故答案為：.1015.答案：解析：根據(jù)可設(shè)四分之一圓錐的底面圓半徑為r,1即2r8,可得r尺；4π11根據(jù)錐體的體積公式可得四分之一圓錐的為Vr32025立方尺；343π3201又1斛米的體積約為1.6立方尺,所以共22斛.3π1.6故答案為：.16.答案：2,1,0,5,點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),解析:因?yàn)?所以O(shè)A3,2,所以CM4所以2242,CM26故答案為:.四、解答題317.（10分）答案：（1）最小正周期為π，最大值為126π5π65π2π3（2）在,單調(diào)遞增，在,單調(diào)遞減π2解析：（1）f(x)sinxsinx32xsinxx3x2112xsin2x322π33sin2x，22π則f(x)的最小正周期為Tπ，5π2ππ3當(dāng)2x2π,kZ，即xπ,kZ時(shí)，f(x)取得最大值為1；32122π2π63π（2）當(dāng)x,時(shí)，2xπ，3ππ2π5π612則當(dāng)2x，即x,時(shí)，fx為增函數(shù)；3ππ25π2π123當(dāng)2x,π時(shí)，即x,時(shí)，fx為減函數(shù)，3π5π65π2π3在fx單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.,,18.（12分）答案：(1)an2n1(2).2an21解析：（1）2Sa1,Snnn2121當(dāng)n1時(shí),當(dāng)n2時(shí),,解得11.1122n21an11,nSnSn12n1nn12即n0,nn10aa20,,nn17數(shù)列n是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,an2n1.（2）因?yàn)閍n2n1,所以n12n1Snn22111111當(dāng)時(shí),,n21n21nn2n1n1Sn111141S1S1Sn12311111111111n2nn1n114232435111112n1111,2nn12nn142,1實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.（12分）答案：(1)答案和證明見(jiàn)解析1(2)4解析：（1）過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線,分別交PB,PC于點(diǎn)E,F,過(guò)E作PA的平行線,交AB于點(diǎn)N,過(guò)N作BC的平行線交CD于點(diǎn)Q,則截面EFQN為所求截面,證明如下：因?yàn)镻A//EN,PA截面,EN截面,所以PA//截面,因?yàn)锽C//NQ,截面,NQ截面,所以//截面.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD,DA,平面ABCD,所以,PDDA且,所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,為x,y,z軸建系如圖,DADP8則D(0,0),C(0,0),B(2,0),P2)所以(0)(2)DC(0,0),,1所以BMBCBP(2,0,0)((2,2又因?yàn)?所以M2,2設(shè)平面MCD的法向量為,m(x,y,z)m2y0x1,y0,z1所以令m2)xyz0所以,m2設(shè)PB與平面MCD所成角為,則sinBP,mBPm2215,BPm34224511整理得210,解得（舍）,.8224x2y220.（12分）答案：（1）141（2）554解析：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是x,y，因?yàn)镻是圓x2y25上的動(dòng)點(diǎn)，2254所以x2y25，x2y2所以點(diǎn)M的軌跡C的方程是1.44(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率k的直線l:y(x，552設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)Ax,y，Bx,y，112x2(x2將直線l與曲線C的方程聯(lián)立，消去y得1，2525化簡(jiǎn)得x3x80，29341341解得1，2，2241所以|1k2xx，125415即截得的線段的長(zhǎng)度是.521.（12分）答案：（1）12245（2）576解析:（1）用a,b分別表示“選擇物理”,“選擇歷史”,用c,d,e,f分別表示選擇“選擇化學(xué)”,“選擇生物”,“選擇政治”,“選擇地理”,則所有選課組合的樣本空間為,,