3.2.2　第2課時(shí)　奇偶性的應(yīng)用

第2課時(shí)奇偶性的應(yīng)用第三章3.2.2奇偶性一、根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)的解析式例1

(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.解當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2－2x－3.又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.知識(shí)梳理用奇偶性求解析式的步驟：如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間[a，b]上的解析式，求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x).(2)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝

，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式.解∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，延伸探究1.在本例(1)中，把條件“f(x)是定義在R上的奇函數(shù)”改為“f(x)是定義在R上的偶函數(shù)”，其余不變，求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式.解當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3.即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋3.2.在本例(2)中，把條件“f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)”，再求f(x)，g(x)的解析式.解∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，反思感悟(1)已知某區(qū)間上函數(shù)的解析式，求對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)的解析式，應(yīng)設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x，此時(shí)－x成為了已知區(qū)間上的解析式中的變量，通過應(yīng)用奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，適當(dāng)推導(dǎo)，即可得所求區(qū)間上的解析式.(2)已知函數(shù)f(x)，g(x)組合運(yùn)算與奇偶性，則把x換為－x，構(gòu)造方程組求解.提醒：若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f(0)＝0.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2＋x－1，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，求f(x)的解析式.解設(shè)x<0，則－x>0，則f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，又f(x)在R上為偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2－x，求函數(shù)f(x)的解析式.解設(shè)x>0，則－x<0，則f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，∴f(0)＝0，二、利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性比較大小問題想一想奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖象特點(diǎn)，如果奇函數(shù)在(－2，－1)上單調(diào)遞減，那么它在(1,2)上的單調(diào)性如何？如果偶函數(shù)在(－2，－1)上單調(diào)遞減，那么它在(1,2)上的單調(diào)性如何？提示奇函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減，偶函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞增.知識(shí)梳理1.若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上

，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性

.2.若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上

，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性

.3.若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上有最大值為M，則f(x)在[－b，－a]上有最小值為

.4.若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上有最大值為N，則f(x)在[－b，－a]上有最大值為

.以上a，b符號(hào)相同.單調(diào)遞增一致(相同)單調(diào)遞減相反－MN例2

已知f(x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是A.f(－0.5)<f(0)<f(－1) B.f(－1)<f(－0.5)<f(0)C.f(0)<f(－0.5)<f(－1) D.f(－1)<f(0)<f(－0.5)√解析∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(－1)<f(－0.5)<f(0).反思感悟比較大小的求解策略(1)若自變量在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)若自變量不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小.跟蹤訓(xùn)練2

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2) D.f(π)<f(－2)<f(－3)√解析由偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)單調(diào)遞增，則x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，故其圖象的幾何特征是自變量的絕對(duì)值越小，則其函數(shù)值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2).三、利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式例3

設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞減.反思感悟利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，一般有兩類(1)利用圖象解不等式.(2)轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解.①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，去掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡單不等式(組)求解.特別提醒：列不等式(組)時(shí)不要忘掉函數(shù)的定義域.跟蹤訓(xùn)練3

已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增.若f(－3)＝0，則

<0的解集為________________.解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減.∴f(3)＝f(－3)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)<0，解得x>3；當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集為{x|－3<x<0或x>3}.{x|－3<x<0或x>3}1.知識(shí)清單：(1)利用奇偶性求函數(shù)的解析式.(2)利用奇偶性和單調(diào)性比較大小、解不等式.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：解不等式易忽視函數(shù)的定義域.課堂小結(jié)隨堂演練12341.已知偶函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則A.f(1)>f(2) B.f(1)<f(2)C.f(1)＝f(2) D.以上都有可能√解析∵f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(1)>f(2).12342.設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調(diào)遞增，則解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2).√12343.已知函數(shù)f(x)＝

為奇函數(shù)，則a＋b等于A.－1 B.1 C.0D.2解析當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x).即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故a＋b＝0.√12344.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，若f(a)>f(3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.(－3,3)解析由題意可知|a|<3，解得－3<a<3.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.設(shè)函數(shù)f(x)＝

為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a

等于A.－1 B.1C.0 D.－2解析根據(jù)題意，得f(x)＋f(－x)＝0，√變形可得(a＋1)x＝0，則a＝－1.2.若函數(shù)f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A.(－∞，0] B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)12345678910111213141516√解析因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以a＋2＝0，a＝－2，即函數(shù)f(x)＝－2x2＋1，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增.123456789101112131415163.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，－1]上單調(diào)遞增且有最大值5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上A.單調(diào)遞增且最小值為－5 B.單調(diào)遞增且最大值為－5C.單調(diào)遞減且最小值為－5 D.單調(diào)遞減且最大值為－5√解析∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在[1,3]上的單調(diào)性與[－3，－1]上一致且f(1)為最小值，又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5.123456789101112131415164.設(shè)函數(shù)f(x)＝

且f(x)為偶函數(shù)，則g(－2)等于A.6 B.－6 C.2D.－2解析g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.√1234567891011121314155.若奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的解析式為f(x)＝x(1＋x)，則f(x)在(0，＋∞)上有16√123456789101112131415方法二(直接法)當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，16123456789101112131415166.(多選)一個(gè)偶函數(shù)定義在區(qū)間[－7,7]上，它在[0,7]上的圖象如圖所示，下列說法正確的是A.這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間B.這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值－7√√12345678910111213141516解析根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對(duì)稱性，作出函數(shù)在[－7,0]上的圖象，如圖所示，可知這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間；在其定義域內(nèi)有最大值是7；在其定義域內(nèi)最小值不是－7.123456789101112131415167.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函數(shù)，則f(0)，f(1)，f(－2)從小到大的排列是_______________.解析∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為y軸，在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0).f(－2)<f(1)<f(0)12345678910111213141516123456789101112131415169.已知f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.解∵f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x)<f(2x－1).又∵f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，1234567891011121314151610.已知y＝f(x)是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)<0，試問F(x)＝

在(－∞，0)上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減？證明你的結(jié)論.12345678910111213141516解F(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減.證明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，則有－x1>－x2>0.因?yàn)閥＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，

①又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，

②由①②得f(x2)>f(x1)>0.12345678910111213141516即F(x1)>F(x2)，123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.若函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且函數(shù)F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，則函數(shù)y＝F(x)在(－∞，0)上有A.最大值－8 B.最小值－8C.最小值－6 D.最小值－4√12345678910111213141516解析∵y＝f(x)和y＝x都是奇函數(shù)，∴T(x)＝af(x)＋bx也為奇函數(shù).又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴T(x)＝af(x)＋bx在(0，＋∞)上有最大值6，∴T(x)＝af(x)＋bx在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(－∞，0)上有最小值－4.12345678910111213141516√12345678910111213141516∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減且f(1)＝0，∵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴在(－∞，0)上f(x)單調(diào)遞減且f(－1)＝0，綜上，不等式的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞).13.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x＋8)＝f(x)，且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，則A.f(25)<f(－1)<f(80)B.f(25)<f(80)<f(－1)C.f(－1)<f(25)<f(80)D.f(－1)<f(80)<f(25)12345678910111213141516√解析∵f(x＋8)＝f(x)，∴f(25)＝f(17)＝f(9)＝f(1)，同理f(80)＝f(0)，又∵奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上單調(diào)遞增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－1)<f(80)<f(25).123456789101112131415161234567891011121314151614.已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________.(