§5.7　第2課時(shí)　三角函數(shù)的應(yīng)用(二)

第2課時(shí)三角函數(shù)的應(yīng)用(二)第五章§5.7三角函數(shù)的應(yīng)用1.通過(guò)構(gòu)建三角函數(shù)模型解決生活中一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.2.體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、三角函數(shù)圖象類問(wèn)題二、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用三、三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用內(nèi)容索引一、三角函數(shù)圖象類問(wèn)題例1

如圖所示，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過(guò)的弧

的長(zhǎng)為l，弦AP的長(zhǎng)為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是√解析設(shè)

所對(duì)的圓心角為α，則α＝l，反思感悟

解決函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題對(duì)應(yīng)問(wèn)題的策略：一般方法是根據(jù)已知所反映出來(lái)的性質(zhì)解決，充分利用圖象中的幾何關(guān)系.此外特殊點(diǎn)也可以作為判斷的好方法.√二、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；所以f(t)在[0,24]上的最大值為12，最小值為8.故實(shí)驗(yàn)室這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？解依題意，得當(dāng)f(t)>11時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.反思感悟

解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟跟蹤訓(xùn)練2

健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120～140mmHg和60～90mmHg.心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.記某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝25sin160πt＋115，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時(shí)間(min)，試回答下列問(wèn)題：(1)求函數(shù)p(t)的周期；(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；即此人每分鐘心跳的次數(shù)為80.(3)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)，并與正常值比較.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收縮壓為140mmHg，舒張壓為90mmHg.此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)為140/90mmHg，在正常值范圍內(nèi).三、三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用例3甲同學(xué)從一個(gè)半徑為r的半圓形鐵板中截取一塊矩形ABCD，記其最大面積為S甲，乙同學(xué)從一個(gè)半徑為R的圓形鐵板中截取一塊矩形EFGH，記其最大面積為S乙，試問(wèn)r和R滿足什么關(guān)系時(shí)，S甲＝S乙？說(shuō)明理由.解甲圖中，O是半圓圓心，設(shè)∠COD＝θ，則CD＝rsinθ，OC＝rcosθ，S矩形ABCD＝2OC·CD＝2rcosθ·rsinθ＝r2sin2θ，乙圖中，設(shè)∠EGF＝α，則EF＝2Rsinα，則FG＝2Rcosα，S矩形EFGH＝EF·FG＝2Rcosα·2Rsinα＝2R2sin2α，反思感悟

利用三角函數(shù)解決幾何問(wèn)題，首先要審清題意，然后要明確角的取值范圍，最后一定要回歸到實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中去.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2)，賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3).又因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,0)，1.知識(shí)清單：(1)三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用.(2)三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū)：選擇三角函數(shù)模型時(shí)，最后結(jié)果忘記回歸實(shí)際生話.課堂小結(jié)隨堂演練1234√1.函數(shù)y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致圖象是12342.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為A.5 B.6 C.8 D.10解析根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.√3.某藝術(shù)展覽館在開(kāi)館時(shí)間段(9：00－16：00)的參觀人數(shù)(單位：千)隨時(shí)間t(單位：時(shí))的變化近似滿足函數(shù)f(t)＝Asin＋5(A>0,9≤t≤16)，且下午兩點(diǎn)整參觀人數(shù)為7千，則開(kāi)館中參觀人數(shù)的最大值為A.1萬(wàn)

B.9千

C.8千

D.7千√12341234解析由題意知當(dāng)t＝14時(shí)，f(t)＝7.12344.某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時(shí)間之間關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)為_(kāi)____________________.解析設(shè)所求函數(shù)為y＝Asin(ωt＋φ)＋b，課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固√12345678910111213141516123456789101112131415162.商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過(guò)入口的人數(shù)，五一某商場(chǎng)的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sin

(t≥0)，則下列時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的是A.[0,5] B.[5,10]

C.[10,15] D.[15,20]√12345678910111213141516得函數(shù)F(t)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，又[10,15]?[3π，5π]，故選C.123456789101112131415163.如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]上的圖象大致為√12345678910111213141516解析如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OP于點(diǎn)D，則由題意可得PM＝sinx，OM＝|cosx|，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知選B.123456789101112131415√1612345678910111213141516√5.如圖是一個(gè)半徑為3米的水輪，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(米)與時(shí)間t(秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝Asin(ωt＋φ)＋2，則123456789101112131415166.(多選)如圖，一個(gè)水輪的半徑為6m，水輪軸心O距離水面的高度為3m，已知水輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)的起始(圖中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)時(shí)，記f(t)為點(diǎn)P距離水面的高度關(guān)于時(shí)間t(s)的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.f(3)＝9B.f(1)＝f(7)C.若f(t)≥6，則t∈[2＋12k,5＋12k](k∈N)D.不論t為何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值√√12345678910111213141516解析如圖，以水輪所在平面為坐標(biāo)平面，以水輪的軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸和y軸分別平行和垂直于水面建立平面直角坐標(biāo)系，1234567891011121314151612345678910111213141516所以f(1)＝f(7)，選項(xiàng)B正確；展開(kāi)整理得f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9為定值，選項(xiàng)D正確.512345678910111213141516123456789101112131415168.如圖表示相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度h(米)在某天0～24時(shí)的變化情況，則水面高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)___________________.12345678910111213141516解析設(shè)h＝Asin(ωt＋φ)，由圖象知A＝6，T＝12，點(diǎn)(6,0)為五點(diǎn)法作圖中的第一點(diǎn)，123456789101112131415169.通常情況下，同一地區(qū)一天的溫度隨時(shí)間變化的曲線接近函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象.某年2月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時(shí)，最高溫度為14℃；最低溫度出現(xiàn)在凌晨2時(shí)，最低溫度為零下2℃.(1)求出該地區(qū)該時(shí)段的溫度函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的解析式；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)29日上午9時(shí)某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10℃，教室就要開(kāi)空調(diào)，請(qǐng)問(wèn)屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開(kāi)空調(diào)嗎？所以屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開(kāi)空調(diào).12345678910111213141516(1)求該地這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差；解當(dāng)x＝14時(shí)函數(shù)取最大值，此時(shí)最高溫度為30℃，當(dāng)x＝6時(shí)函數(shù)取最小值，此時(shí)最低溫度為10℃，所以最大溫差為30℃－10℃＝20℃.12345678910111213141516(2)若有一種細(xì)菌在15℃到25℃之間可以生存，那么在這段時(shí)間內(nèi)，該細(xì)菌最多能生存多長(zhǎng)時(shí)間？12345678910111213141516數(shù)的和表達(dá)，在某一時(shí)刻使這三個(gè)振動(dòng)源同時(shí)開(kāi)始工作，那么，原本平靜的水面將呈現(xiàn)的狀態(tài)是A.仍保持平靜

B.不斷波動(dòng)C.周期性保持平靜

D.周期性保持波動(dòng)11.在一個(gè)圓形波浪實(shí)驗(yàn)水池的中心有三個(gè)振動(dòng)源，假如不計(jì)其他因素，綜合運(yùn)用12345678910111213141516√12345678910111213141516＝sint－sint＝0，∴三個(gè)振動(dòng)源同時(shí)開(kāi)始工作時(shí)，水面仍保持平靜.12.一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中O為輪軸的中心，距地面32m(即OM長(zhǎng))，巨輪的半徑長(zhǎng)為30m，AM＝BP＝2m，巨輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)且每12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.若點(diǎn)M為吊艙P(yáng)的初始位置，經(jīng)過(guò)t分鐘，該吊艙P(yáng)距離地面的高度為h(t)m，則h(t)等于√12345678910111213141516解析如圖，過(guò)點(diǎn)O作地面的平行線作為x軸，過(guò)點(diǎn)O作x軸的垂線作為y軸，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線BN交x軸于N點(diǎn)，1234567891011121314151613.如圖，在熱氣球C正前方有一高為m的建筑物AB，在建筑物底部A測(cè)得C的仰角為60°，同時(shí)在C處測(cè)得建筑物頂部B的俯角為30°，則此時(shí)熱氣球的高度CD為√解析由題意，得∠BCA＝∠BAC＝30°，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A.5：00至5：30 B.5：30至6：00

C.6：00至6：30 D.6：30至7：00拓廣探究1234567891011121314151615.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時(shí)進(jìn)港卸貨，落潮時(shí)出港航行.某船吃水深度(船底與水面距離)為4米，安全間隙(船底與海底距離)為1.5米，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以0.3米/時(shí)的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深如下表所示，若選擇y＝Asin(ωx＋φ)＋K(A>0，ω>0)擬合該港口水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時(shí)間大概控制在(要考慮船只駛