4.5.2　用二分法求方程的近似解

4.5.2用二分法求方程的近似解第四章

§4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)1.了解二分法的原理及其適用條件.2.掌握二分法的實(shí)施步驟.3.體會(huì)二分法中蘊(yùn)含的逐步逼近與程序化思想.學(xué)習(xí)目標(biāo)一、二分法的概念問(wèn)題1

有16個(gè)大小相同，顏色相同的金幣，其中有15個(gè)金幣是真的，有一個(gè)質(zhì)量稍輕的是假的.用天平稱(chēng)幾次一定可以找出這個(gè)稍輕的假幣？提示4次.第一次，兩端各放8個(gè)金幣，高的那一端一定有假幣；第二次，兩端各放4個(gè)金幣，高的那一端一定有假幣；第三次，兩端各放2個(gè)金幣，高的那一端一定有假幣；第四次，兩端各放1個(gè)金幣，高的那一端一定是假幣.

在這個(gè)過(guò)程中，體現(xiàn)出了“一分為二，逐步逼近”的思想，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“二分法”.知識(shí)梳理二分法：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間

，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)____

，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.注意點(diǎn)：(1)二分法的求解原理是函數(shù)零點(diǎn)存在定理；(2)用二分法只能求變號(hào)零點(diǎn)，即零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號(hào)相反，比如y＝x2，該函數(shù)有零點(diǎn)為0，但不能用二分法求解.f(a)·f(b)<0一分為二逐步逼近零點(diǎn)√√例1

(1)(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是√解析根據(jù)二分法的定義，知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值.對(duì)各圖象分析可知，選項(xiàng)A，B，C都符合條件，而選項(xiàng)D不符合，因?yàn)榱泓c(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值不變號(hào)，所以不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則c的值是A.9 B.8 C.7 D.6√反思感悟

運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷.(2)在該零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào).只有滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1

已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為A.4,4 B.3,4C.5,4 D.4,3√解析圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)的零點(diǎn)有3個(gè)，所以可以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3.二、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解問(wèn)題2按上述思路，你能想辦法求函數(shù)f(x)＝x3－3的近似解嗎？提示由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以確定區(qū)間[1,2]作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：[1.4375,1.5][1.375,1.5][1,1.5]當(dāng)然，我們可以一直重復(fù)下去，這樣的話，也會(huì)使求得的函數(shù)零點(diǎn)更精確，顯然，這可能是一個(gè)無(wú)休止的過(guò)程，即便是計(jì)算機(jī)，也可能被累死機(jī).實(shí)際上，如果我們一開(kāi)始給一個(gè)精確度的話，只要滿(mǎn)足了給出的精確度，我們就可以停止計(jì)算，比如，該問(wèn)題中，我們給出精確度為0.1.由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，所以原函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)可取為1.4375.知識(shí)梳理給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)x0的近似值的步驟1.確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證

.2.求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)

.3.計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時(shí)x0＝c)，則

就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)·f(c)<0(此時(shí)x0∈

)，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時(shí)x0∈

)，則令a＝c.f(a)·f(b)<0cc(a，c)(c，b)4.判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2～4.以上步驟可簡(jiǎn)化為：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來(lái)判斷.注意點(diǎn)：(1)初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)；(2)精確度ε表示當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度小于ε時(shí)停止二分.例2

(多選)用二分法求函數(shù)f(x)＝5x＋7x－2的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：解析已知f(0.09375)<0，f(0.125)>0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為(0.09375,0.125)，所以零點(diǎn)在區(qū)間(0.09375,0.125)上，|0.125－0.09375|＝0.03125<0.05，所以0.09375,0.096,0.125都符合題意.x0.06250.093750.1250.156250.1875f(x)－0.4567－0.18090.09780.37970.6647根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得f(x)＝5x＋7x－2的一個(gè)零點(diǎn)近似值(精確度0.05)為A.0.625 B.0.09375

C.0.125

D.0.096√√√反思感悟

二分法求函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)注點(diǎn)(1)驗(yàn)證零點(diǎn)所在的區(qū)間是否符合精確度要求.(2)區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都可以作為零點(diǎn)的近似解，一般取端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似解.跟蹤訓(xùn)練2用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1,3)內(nèi)的近似解，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0＝2，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是______.解析設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，∵f(1)·f(2)<0，∴f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0下一個(gè)有根的區(qū)間是(1,2).(1,2)隨堂演練1.觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是1234√解析A，B，C項(xiàng)均可用解方程求其根，D項(xiàng)不能用解方程求其根，只能用二分法求零點(diǎn).√12342.下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點(diǎn)的是12343.用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)√解析f(－2)f(－1)＝－12<0，所以可以取的初始區(qū)間是(－2，－1).1234解析∵f(1.4065)<0，f(1.438)>0，∴f(1.4065)·f(1.438)<0，∴該方程的根在區(qū)間(1.4065,1.438)內(nèi)，又∵|1.4065－1.438|＝0.0315<0.05，∴方程的近似根可以是1.438.4.若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如右表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.4065)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根(精確度0.05)為A.1.5 B.1.375

C.1.438 D.1.25√三、二分法的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題3現(xiàn)在你能猜出手機(jī)的大概價(jià)格了嗎？解如圖，可首先從中點(diǎn)C開(kāi)始查起，用隨身攜帶的工具檢查，若發(fā)現(xiàn)AC段正常，則斷定故障在BC段；再到BC段的中點(diǎn)D檢查，若CD段正常，則故障在BD段；再到BD段的中點(diǎn)E檢查，如此，每檢查一次就可以將待查的線路長(zhǎng)度縮短一半，經(jīng)過(guò)7次查找，即可將故障范圍縮小到50m～100m之間，即可迅速找到故障所在.例3某市A地到B地的電話線路發(fā)生故障，這是一條10km長(zhǎng)的線路，每隔50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？反思感悟

二分法的思想在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛，二分法不僅可用于線路、水管、煤氣管道故障的排查，還能用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢(xún)、資金分配等.跟蹤訓(xùn)練3一塊電路板的AB線段之間有60個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn)，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測(cè)出哪處焊口脫落，至少需要檢測(cè)A.4次

B.6次

C.8次

D.30次解析第一次，可去掉30個(gè)結(jié)果，從剩余的30個(gè)中繼續(xù)二分法；第二次，可去掉15個(gè)結(jié)果，從剩余的15個(gè)中繼續(xù)二分法；第三次，可去掉7或8個(gè)結(jié)果，考慮至多的情況，所以去掉7個(gè)結(jié)果，從剩余的8個(gè)中繼續(xù)二分法；第四次，可去掉4個(gè)結(jié)果，從剩余的4個(gè)中繼續(xù)二分法；第五次，可去掉2個(gè)結(jié)果，從剩余的2個(gè)中繼續(xù)二分法；第六次，可去掉1個(gè)結(jié)果，得到最終結(jié)果，所以至少需要檢測(cè)六次.√1.知識(shí)清單：(1)二分法的定義.(2)利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)、方程的近似解.(3)二分法在實(shí)際生活中的應(yīng)用.2.方法歸納：化歸、逼近.3.常見(jiàn)誤區(qū)：二分法并不適用于所有零點(diǎn)，只能求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，且函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)的.課堂小結(jié)課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2,4]上的唯一零點(diǎn)的近似值時(shí)，驗(yàn)證f(2)·f(4)<0，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x1＝

＝3，計(jì)算得f(2)·f(x1)<0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間是A.(2,4) B.(2,3)

C.(3,4) D.無(wú)法確定16√2.已知函數(shù)y＝f(x)為[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函數(shù)零點(diǎn)，要求近似值的精確度達(dá)到0.1，則需對(duì)區(qū)間至少二分的次數(shù)為A.2 B.3 C.4 D.512345678910111213141516√1234567891011121314153.用二分法求如圖所示的函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是A.x1

B.x2 C.x3 D.x4√解析能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須滿(mǎn)足在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0.而x3左右兩側(cè)的函數(shù)值都小于零，不滿(mǎn)足區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相異的條件.161234567891011121314154.用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精確度為0.001，則結(jié)束計(jì)算的條件是A.|a－b|<0.1 B.|a－b|<0.001C.|a－b|>0.001 D.|a－b|＝0.001解析據(jù)二分法的步驟知當(dāng)|b－a|小于精確度ε時(shí)，便可結(jié)束計(jì)算.√165.在用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，則函數(shù)的一個(gè)精確度為0.05的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值不可以為A.0.68 B.0.72

C.0.7

D.0.6123456789101112131415√16解析已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為(0.64,0.72)，所以零點(diǎn)在區(qū)間(0.68,0.72)上，|0.72－0.68|＝0.04<0.05，所以0.68,0.7,0.72都符合.1234567891011121314156.(多選)在用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，則函數(shù)的一個(gè)精確度為0.05的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值可以為A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6√16√解析已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為(0.64,0.72)，√所以零點(diǎn)在區(qū)間(0.68,0.72)上，|0.72－0.68|＝0.04<0.05，所以0.68,0.7,0.72都符合.7.用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間(2,4)上的實(shí)數(shù)根時(shí)，取中點(diǎn)x1＝3，則下一個(gè)有根區(qū)間是_____.123456789101112131415解析設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，∴下一個(gè)有根區(qū)間是(2,3).16(2,3)1234567891011121314158.在12枚嶄新的硬幣中，有一枚外表與真幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點(diǎn))，現(xiàn)在只有一臺(tái)天平，則應(yīng)用二分法的思想，最多稱(chēng)___次就可以發(fā)現(xiàn)假幣.解析將12枚硬幣平均分成兩份，放在天平上，假幣在輕的那6枚硬幣里面；將這6枚平均分成兩份，則假幣一定在輕的那3枚硬幣里面；將這3枚硬幣任拿出2枚放在天平上，若平衡，則剩下的那一枚即是假幣；若不平衡，則輕的那一枚即是假幣，依據(jù)上述分析，最多稱(chēng)3次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣.1631234567891011121314159.判斷函數(shù)f(x)＝2x3－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并用二分法求零點(diǎn)的近似值.(精確度0.1)16123456789101112131415解f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x0∈(0,1).取區(qū)間(0,1)的中點(diǎn)x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1).取區(qū)間(0.5,1)的中點(diǎn)x2＝0.75，f(0.75)＝－0.15625<0，∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75,1).16123456789101112131415取區(qū)間(0.75,1)的中點(diǎn)x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0，即x0∈(0.75,0.875).取區(qū)間(0.75,0.875)的中點(diǎn)x4＝0.8125，f(0.8125)≈0.073>0.∴f(0.75)·f(0.8125)<0，即x0∈(0.75,0.8125)，又|0.8125－0.75|<0.1.∴f(x)的零點(diǎn)的近似值可取為0.75.16123456789101112131415解先檢查中間的1個(gè)接點(diǎn)，若正常，則可斷定故障在其另一側(cè)的7個(gè)接點(diǎn)中；然后檢查這一段中間的1個(gè)接點(diǎn)，若仍正常，則可斷定故障在其另一側(cè)的3個(gè)接點(diǎn)中；最后只需檢查這3個(gè)接點(diǎn)中間的1個(gè)，即可找出故障所在.故一般最多只需檢查3個(gè)接點(diǎn).1610.從A地到B地的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)某一個(gè)接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為了盡快找出故障的發(fā)生點(diǎn)，一般最多需要檢查多少個(gè)接點(diǎn)？綜合運(yùn)用A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)√12345678910111213141516√12345678910111213141516√解析真實(shí)零點(diǎn)離近似值x0最遠(yuǎn)即靠近a或b，1234567891011121314151614.某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精確度為0.1)”時(shí)，設(shè)f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下過(guò)程中，他用“二分法”又取了4個(gè)x的值，計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出判斷：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4個(gè)值依次是______________________.123456789101112131415161.5,1.75,1.875,1.8125解析第一次用二分法計(jì)算得區(qū)間(1.5,2)，第二次得區(qū)間(1.75,2)，第三次得區(qū)間(1.75,1.875)，第四次得區(qū)間(1.75,1.8125).拓廣探究1234567891011121314151615.用二分法求方程ln