《高等數(shù)學(xué)》(第三版)教案第六章全

《高等數(shù)學(xué)》（第三版）教案第六章全6.1.1二元函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)： （1）了解二元函數(shù)及其極限與連續(xù)的概念；（2）會(huì)求二元函數(shù)的定義域；（3）了解簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限。教學(xué)重點(diǎn)： （1）二元函數(shù)的概念及幾何意義；（2）二元函數(shù)的定義域及其求法。教學(xué)難點(diǎn)： 二元函數(shù)及其極限與連續(xù)的概念。授課時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注引言介紹本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。教師講授3′1.二元函數(shù)知識(shí)回顧在某個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量和，設(shè)是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集，如果對(duì)于任意，按照確定的法則，變量總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，那么變量叫做變量的函數(shù)，記作．其中叫做自變量，叫做因變量，實(shí)數(shù)集叫這個(gè)函數(shù)的定義域．引導(dǎo)學(xué)生回答8′新知識(shí)設(shè)是平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，如果對(duì)于內(nèi)的任意的點(diǎn)，按照某個(gè)法則，有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱z是的二元函數(shù)，記作（或）．為自變量，z為因變量，點(diǎn)集D叫做函數(shù)的定義域．例如，函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，是某一正數(shù)，點(diǎn)集稱為點(diǎn)的鄰域，記為，即其中，稱為鄰域中心，稱為鄰域半徑．不特別強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑時(shí)，可以將簡(jiǎn)記作．不包含鄰域中心的鄰域叫做去心鄰域，記作．在幾何上，鄰域就是平面上以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓的內(nèi)部．由平面上的一條曲線或幾條曲線所圍成的部分（平面點(diǎn)集）稱為平面區(qū)域．常用表示，圍成區(qū)域的曲線叫做區(qū)域的邊界．包含邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包含邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域．二元函數(shù)的定義域是平面區(qū)域．例如，是閉區(qū)域（圖（1）），是開區(qū)域（圖6－2（2））．（2）（1）（2）（1）圖6－2教師講授20′知識(shí)鞏固例1求二元函數(shù)的定義域．解要使函數(shù)有意義，需．因此，得到函數(shù)的定義域?yàn)?，用圖形表示為直線上方的半平面（圖6－3）．圖6－4圖6－4圖6－3例2求二元函數(shù)的定義域．解要使函數(shù)有意義需，即，由于自變量y沒(méi)有任何約束條件，即．故二元函數(shù)的定義域?yàn)椋?用圖形表示為直線之間的區(qū)域（圖6－4）．在教師引領(lǐng)下共同完成30′新知識(shí)與一元函數(shù)類似，取定義域D中的點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)值叫做函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，記為，，或.集合叫做函數(shù)的值域．教師講授35′知識(shí)鞏固例3設(shè)，求、．解 ， ．在教師引領(lǐng)下共同完成40′新知識(shí)二元函數(shù)的幾何意義是一張空間曲面，其定義域是曲面在平面上的投影．例如，二元函數(shù)表示旋轉(zhuǎn)拋物面；二元函數(shù)表示上半球面．教師講授45′軟件連接利用高級(jí)計(jì)算器（或matlab軟件）可以方便地繪制二元函數(shù)的圖像．在繪圖選項(xiàng)卡中輸入可以得到上半球面（圖6－5）．圖6－5教師演示50′2.二元函數(shù)的極限與連續(xù)知識(shí)回顧一元函數(shù)中，由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合所構(gòu)成，并且能用一個(gè)式子來(lái)表示的函數(shù)叫做初等函數(shù)． 設(shè)在點(diǎn)近旁有意義（在點(diǎn)可以沒(méi)有定義），如果當(dāng)時(shí)，的值無(wú)限趨近于確定的常數(shù)A，則把常數(shù)A叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或）．設(shè)函數(shù)在及其近旁有定義，且，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn)叫做函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)．初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)，且．引導(dǎo)學(xué)生回答56′探究作出二元函數(shù)的圖像，當(dāng)平面的點(diǎn)點(diǎn)沿著不同的路徑無(wú)限趨近于原點(diǎn)時(shí)，觀察二元函數(shù)值變化趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)是無(wú)限趨近于0（圖6－6）．圖6－6教師講授演示60′新知識(shí)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義（在點(diǎn)處可以沒(méi)有定義）．為該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，若當(dāng)點(diǎn)沿任意路徑趨近于時(shí)，的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則常數(shù)叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為或．也可記作或當(dāng)時(shí)，．一元函數(shù)的極限中，的途徑只能是在數(shù)軸上．而二元函數(shù)，的途徑是沿著平面中的任意路徑，因此情況要復(fù)雜的多．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．而點(diǎn)叫做函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)．否則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)或間斷，稱點(diǎn)為的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．如果函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)域內(nèi)連續(xù)．與一元函數(shù)相類似，由常數(shù)及兩個(gè)不同的自變量的二元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成，并且能用一個(gè)式子來(lái)表示的函數(shù)叫做二元初等函數(shù)．二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)．因此，對(duì)以定義域中的任意點(diǎn)有．教師講授70′知識(shí)鞏固例4計(jì)算極限．解二元函數(shù)是初等函數(shù)，所以．在教師引領(lǐng)下共同完成75′1.設(shè)，求，．2.已知，求．3.求下列函數(shù)的的定義域 （1）；（2）． 4.計(jì)算下列極限(1)；(2)．學(xué)生課上完成87′小結(jié)新知識(shí)：二元函數(shù)及其極限與連續(xù)等概念。作業(yè)1.通過(guò)對(duì)比一元函數(shù)相應(yīng)的概念，復(fù)習(xí)二元函數(shù)及其極限與連續(xù)等概念，加深對(duì)其內(nèi)涵的理解。2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“”。90′6.1.2二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：（1）理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，了解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）理解二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的概念；（3）掌握一階、二階的偏導(dǎo)數(shù)的求法。教學(xué)重點(diǎn)： 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念及其求法。 教學(xué)難點(diǎn)： 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。授課時(shí)數(shù)：3課時(shí).教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注1.偏導(dǎo)數(shù)的概念知識(shí)回顧函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為=．引導(dǎo)學(xué)生回答5′新知識(shí)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記作，，或．即．（6.1）類似地，函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)記作，，或．即=．（6.2）圖6圖6－7偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖6－7所示．二元函數(shù)的圖像是空間中一個(gè)曲面S，該曲面被平面所截，得到一條曲線,其在平面上的方程為．偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．同樣，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是，曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是的函數(shù)，叫做函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)，記作，，或．即．（6.3）類似地，函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作，，或．即=．（6.4）由偏導(dǎo)數(shù)及偏導(dǎo)函數(shù)的概念可知，函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和就是偏導(dǎo)函數(shù)和分別在點(diǎn)處的函數(shù)值．偏導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)．教師講授30′知識(shí)鞏固例5求的偏導(dǎo)數(shù)．解把看作常數(shù)，得．把看作常數(shù)，得．例6求在點(diǎn)(1，2)處的偏導(dǎo)數(shù)．解，，將(1,2)代入上面的結(jié)果，就得，．在教師引領(lǐng)下共同完成45′軟件連接將一個(gè)變量看做常數(shù)，可以利用微軟高級(jí)計(jì)算器的計(jì)算導(dǎo)數(shù)功能來(lái)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)．演示55′練習(xí)6.1.21.設(shè)，求，．2.計(jì)算下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) （1）；（2）；（3）；（4）；學(xué)生課上完成75′2.二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)新知識(shí)若二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和都存在，則、仍然是、的函數(shù)，若它們的偏導(dǎo)數(shù)仍然存在，那么這種偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，叫做的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同，函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：，，，．其中和叫做混合偏導(dǎo)數(shù)．教師講授90′知識(shí)鞏固例7設(shè)，求其二階偏導(dǎo)數(shù)．解，，；；；．例8求的二階偏導(dǎo)數(shù)．解，， ；；；．在教師引領(lǐng)下共同完成105′新知識(shí)在例7和例8中，與都是相等的．一般地，如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，那么，在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．即．我們主要研究二元初等函數(shù)，因此兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)一般總是相等的．教師講授110′鏈接軟件可以利用微軟高級(jí)計(jì)算器分步驟計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)．演示115′練習(xí)6.1.23.計(jì)算下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) （1）；（2）．學(xué)生課上完成130′小結(jié)新知識(shí)：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義，二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的概念即求法。作業(yè)1.梳理二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)方法；2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“”。135′6.1.3二元函數(shù)的全微分教學(xué)目標(biāo)：學(xué)習(xí)二元函數(shù)全微分的概念及計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)： 二元函數(shù)全微分的概念及計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)： 二元函數(shù)全微分的概念。授課時(shí)數(shù)：2課時(shí).教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注探究設(shè)有一塊矩形的金屬薄板，長(zhǎng)為，寬為．金屬薄板受熱膨脹，長(zhǎng)增加，寬增加，計(jì)算金屬薄板的面積增加了多少．記金屬薄板的面積為，則．由于金屬薄板的長(zhǎng)、寬分別增加和，故面積的增加量為圖6－8．圖6－8觀察圖6－8并分析的表達(dá)式，第一部分是、的線性函數(shù)，其系數(shù)分別是對(duì)、的偏導(dǎo)數(shù)，即， 第二部分是或的高階無(wú)窮小，也是其對(duì)角線的高階無(wú)窮小．因此可以表示為（當(dāng)，時(shí)）． 因此，金屬薄板面積的增量可以表示為 上式右邊第一部分稱為的線性主部，第二部分是的高階無(wú)窮小，用線性主部去代替時(shí)，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，而且產(chǎn)生的誤差是關(guān)于的高階無(wú)窮?。處熤v授語(yǔ)提問(wèn)相結(jié)合20′新知識(shí)如果函數(shù)兩個(gè)自變量同時(shí)取得增量、，那么函數(shù)取得的增量叫做全增量，記為．即．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且、存在，如果二元函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可以表示為，其中，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分，記作，即．（6.5）此時(shí)也稱函數(shù)在點(diǎn)處可微．如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可微，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微．因?yàn)樽宰兞康脑隽康扔谧宰兞康奈⒎?，即，，所以．全微分通常記為：教師講授35′知識(shí)鞏固例9求函數(shù)的全微分．解因?yàn)椋?，于是全微分為．?0求函數(shù)當(dāng)，時(shí)，在點(diǎn)處的全增量和全微分．解全增量．因?yàn)椋?，所以，，在點(diǎn)處的全微分．在教師引領(lǐng)下完成50′練習(xí)6.1.31.已知函數(shù)，求（1）函數(shù)微分；（2）在點(diǎn)的微分；（3）在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)的微分 2.求下列函數(shù)的全微分（1）；（2）；（3）．3.一圓柱形的無(wú)蓋銅質(zhì)容器，壁的厚度為，底的厚度均為，內(nèi)高為，內(nèi)半徑為，求容器質(zhì)量的近似值（銅的密度）．學(xué)生課上完成85′小結(jié)新知識(shí)：二元函數(shù)全微分的概念及計(jì)算。作業(yè)完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“”。90′6.1.4二元函數(shù)的極值教學(xué)目標(biāo)：（1）理解二元函數(shù)極值的概念；（2）學(xué)會(huì)求二元函數(shù)的極值；（2）會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大最小值的應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)： 二元函數(shù)極值的概念及其計(jì)算。 教學(xué)難點(diǎn)： 二元函數(shù)最大最小值的應(yīng)用問(wèn)題。授課時(shí)數(shù)：3課時(shí).教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注探究圖6－9觀察二元函數(shù)的圖像，點(diǎn)是開口向上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)（圖6－9）．函數(shù)的定義域?yàn)槊鎯?nèi)的平面點(diǎn)集．在面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，點(diǎn)任一鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，其函數(shù)值都大于．所以，點(diǎn)的函數(shù)值比其周圍近旁點(diǎn)的函數(shù)值都小，是函數(shù)的極小值．圖6－9圖圖6－10教師講授10′新知識(shí)一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)如果都滿足不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值；如果滿足不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值．極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．例如，函數(shù)在點(diǎn)處有極大值，因?yàn)樵邳c(diǎn)附近任意的，都有 從幾何上看是顯然的，函數(shù)的圖形是上半球面，而點(diǎn)是球面的最高點(diǎn)（圖6－10）．可以證明，若函數(shù)在點(diǎn)可微，且在點(diǎn)處有極值，則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零．即，．與一元函數(shù)類似，使，同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)．從上面可知，可微函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)．反之，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？通常依據(jù)下面的結(jié)論．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，令，，．則在點(diǎn)處的極值情況如下：（1）當(dāng)時(shí)取得極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；（2）當(dāng)時(shí)沒(méi)有極值；（3）當(dāng)時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論．由此得到求函數(shù)的極值的一般步驟為：（1）解方程組；求得一切實(shí)數(shù)解，即求得一切駐點(diǎn)；（2）對(duì)于每個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值、和；（3）求出，按極值存在的充分條件判定是否為極值，是極大值還是極小值．教師講授30′知識(shí)鞏固例12求函數(shù)的極值．解，．解方程組求得駐點(diǎn)為和．因?yàn)?，，．列表判定如下結(jié)論0－30不是極值點(diǎn)6－36極小值點(diǎn)即函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，且極小值為．例13求函數(shù)的極值．解，解方程組得駐點(diǎn)為和．因?yàn)?，，．列表判定如下結(jié)論不是極值點(diǎn)極小值點(diǎn)即函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，且極小值為．在教師引領(lǐng)下完成50′練習(xí)6.1.41.求下列函數(shù)的極值．（1）； （2）；學(xué)生課上完成75′新知識(shí)實(shí)際問(wèn)題中的二元函數(shù)極值問(wèn)題比較復(fù)雜，如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)特點(diǎn)，知道其最大值（或最小值）一定在定義域的內(nèi)部取得，并且函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么該駐點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值（或最小值）．教師講授85′知識(shí)鞏固例14本章開始的問(wèn)題：要做一個(gè)容積為32立方米的長(zhǎng)方體的無(wú)蓋水箱，如何設(shè)計(jì)，才能用材料最省？解設(shè)底面長(zhǎng)為米，寬為米，則高為米，于是所用材料的面積為，則，解方程組得唯一駐點(diǎn)．由于駐點(diǎn)唯一，且由問(wèn)題的實(shí)際意義可知最小值一定存在，故這唯一的駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)．所以當(dāng)長(zhǎng)、寬都為米，高為米時(shí)，用料最?。诮處熞I(lǐng)下完成100′練習(xí)6.1.42.建造一個(gè)長(zhǎng)方形水池，其底和壁的總面積為，問(wèn)水池的尺寸如何設(shè)計(jì)時(shí)，其容積最大？學(xué)生課上完成130′小結(jié)新知識(shí)：二元函數(shù)極值的概念及其計(jì)算，求解較簡(jiǎn)單的二元函數(shù)最大最小值的應(yīng)用問(wèn)題。作業(yè)1.梳理求二元函數(shù)極值和最大最小值應(yīng)用問(wèn)題的方法及步驟。2.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“”。135′6.2.1二重積分的概念教學(xué)目標(biāo)：（1）理解二重積分的概念及幾何意義；（2）了解二重積分的性質(zhì)；（3）學(xué)會(huì)用二重積分表示曲頂柱體的體積。教學(xué)重點(diǎn)： 二重積分的概念、性質(zhì)、幾何意義。教學(xué)難點(diǎn)： 二重積分的概念的理解。授課時(shí)數(shù)：2課時(shí).教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注知識(shí)回顧在第3章中，我們通過(guò)“分割→替換→求和→取極限”的過(guò)程，計(jì)算曲邊梯形的面積，從而研究了定積分．教師講授探究我們來(lái)研究下面兩個(gè)問(wèn)題問(wèn)題1.求曲頂柱體的體積．圖6－11圖6－12設(shè)有一幾何體，它的底是平面上的有界閉區(qū)域，它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于鈾的柱面，它的頂是曲面，這里，且在上連續(xù)（圖6－11所示）．這種幾何體稱為曲頂柱體．現(xiàn)在我們來(lái)討論它的體積．圖6－11圖6－12關(guān)于曲頂柱體，當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域上變動(dòng)時(shí)，高是個(gè)變量，因此，它的體積不能直接用平頂柱體體積公式來(lái)計(jì)算．不難想到，用求曲邊梯形面積的方法，即分割、近似代替、求和、取極限的手段來(lái)解這個(gè)問(wèn)題．（1）分割：我們用一曲線網(wǎng)把區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域，，…，，小區(qū)域的面積也記作．以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于軸的柱面，這些柱面把原來(lái)的曲項(xiàng)柱體分為個(gè)小曲頂柱體．它們的體積分別記作，，…，．（2）近似代替：對(duì)于任意一個(gè)小區(qū)域，當(dāng)直徑很小時(shí)，由于連續(xù)，在中的變化很小，因此可以近似地看作常數(shù)，即若任意取點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有，從而以為底的小曲頂柱體可近似地看作以為高的平頂柱體（圖6－12所示），于是（）．（3）求和：把這些小曲頂柱體體積的近似值累加起來(lái)，就得到所求的曲頂柱體體積的近似值，即（4）取極限：很顯然，如果區(qū)域分得越細(xì)，則上述和式就越接近于曲頂柱體體積，當(dāng)把區(qū)域無(wú)限細(xì)分時(shí)，即當(dāng)所有小區(qū)域的最大直徑（區(qū)間內(nèi)，最遠(yuǎn)端兩點(diǎn)間的距離，稱為該區(qū)間的直徑）時(shí)，則和式的極限就是所求的曲頂柱體的體積，即．問(wèn)題2.求非均勻平面薄板的質(zhì)量設(shè)平面薄片的形狀為閉域（圖6－13所示），其面密度是點(diǎn)的函數(shù)，即在上為正的連續(xù)函數(shù)．當(dāng)質(zhì)量分布是均勻時(shí)，即為常數(shù)，則質(zhì)量等于面密度乘以薄片的面積．當(dāng)質(zhì)量分布不均勻時(shí)，是隨點(diǎn)而變化，如何求質(zhì)量呢？我們采用與曲頂柱體的體積相類似的思路和方法，求薄片的質(zhì)量．圖6－13（1）分割：把區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域圖6－13，，…，小區(qū)域的面積也記作．該薄板就相應(yīng)地分成個(gè)小塊薄板．它們的質(zhì)量分別記作，，…，．（2）近似代替：對(duì)于一個(gè)小區(qū)域，當(dāng)直徑很小時(shí)，由于連續(xù)，在中的變化很小，可以近似地看作常數(shù)．即若任意取點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有，從而上薄板的質(zhì)量可近似地看作以為面密度的均勻薄板，于是（）．（3）求和：把這些小薄板質(zhì)量的近似值累加起來(lái)，就得到所求的整塊薄板質(zhì)量的近似值，即．（4）取極限：很明顯，如果區(qū)域分得越細(xì)，則上述和式就越接近于非均勻平面薄板的質(zhì)量，當(dāng)把區(qū)域無(wú)限細(xì)分時(shí)，即當(dāng)所有小區(qū)域的最大直徑時(shí)，則和式的極限就是所求的非均勻平面薄板的質(zhì)量，即．動(dòng)畫演示圖6-12曲頂柱體體積的求法總結(jié)求解步驟在教師引領(lǐng)下共同完成40′新知識(shí)上面兩個(gè)問(wèn)題，雖然實(shí)際意義不同，但解決問(wèn)題的方法完全相同，都是計(jì)算一種二元函數(shù)和式的極限．一般的，設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上有定義，將任意分成個(gè)小區(qū)域，，…，，其中表示第個(gè)小區(qū)域，也表示它的面積．在每個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)，作乘積（），并作和式.如果當(dāng)各小區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，此和式的極限存在，且極限值與區(qū)域的分法無(wú)關(guān)，也與每個(gè)小區(qū)域中點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)．則稱此極限值為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記作，即．其中叫做二重積分號(hào)，叫做被積函數(shù)，叫被積表達(dá)式，叫做面積元素，與叫做積分變量，叫做積分區(qū)域．關(guān)于二重積分的幾點(diǎn)說(shuō)明：1.二重積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)，而與積分變量所用符號(hào)無(wú)關(guān)．即有2.如果被積函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分存在，則稱在上可積．在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，在上一定可積．以后總假定在連續(xù)．3.二重積分的幾何意義是：當(dāng)時(shí)，二重積分就表示曲頂柱體的體積（圖6－14（1））；若，二重積分就表示曲頂柱體的體積的負(fù)值（圖6－14（2））；當(dāng)在上的符號(hào)有正、有負(fù)時(shí)，二重積分就等于這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和（圖6－14（3））．（1）（1）（2）（3）圖6－14與定積分的性質(zhì)相類似，二重積分有如下的性質(zhì)．假設(shè)二元函數(shù)，在平面內(nèi)的積分區(qū)域上都連續(xù)，因而它們?cè)谏系亩胤e分都是存在的．性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面，即．性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各個(gè)函數(shù)二重積分的代數(shù)和，即．性質(zhì)3如果把積分區(qū)域分成兩個(gè)閉子域與，即，則．性質(zhì)4如果在上，，的面積為，則．教師講授60′練習(xí)6.2.11.用二重積分表示下列曲頂柱體的體積（1），為矩形區(qū)域：，；（2），為圓形區(qū)域：．2.根據(jù)二重積分的幾何意義，說(shuō)明下列積分值大于零、小于零、還是等于零．（1）；（2）；（3）．3.利用二重積分的幾何意義計(jì)算二重積分：（1），：；（2），：．教師引導(dǎo)學(xué)生課上完成85′小結(jié)新知識(shí)：二重積分的概念及幾何意義，二重積分的性質(zhì)，用二重積分表示曲頂柱體的體積。作業(yè)完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)”。90′

6.2.2二重積分的計(jì)算教學(xué)目標(biāo)：（1）學(xué)會(huì)將二重積分化為兩種不同次序的二次積分的方法；（2）掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)： 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)： 將二重積分化為兩種不同次序的二次積分的方法。授課時(shí)數(shù)：4課時(shí).教學(xué)過(guò)程過(guò)程備注知識(shí)回顧牛頓——萊布尼茲公式（其中）將定積分轉(zhuǎn)化為不定積分來(lái)計(jì)算．提問(wèn)2′新知識(shí)二重積分計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為兩次定積分進(jìn)行計(jì)算，這種方法稱為二次積分（或累次積分）．由二重積分的概念可知，如果二重積分存在，它的值與區(qū)域的分法無(wú)關(guān)，其面積元素象征著和式極限中的．在直角坐標(biāo)系下，我們可以采用便于計(jì)算的分割方法：用與坐標(biāo)軸平行的兩組直線把劃分成各邊平行于坐標(biāo)軸的一些小矩形（圖6－15所示），于是，小矩形的面積，因此在直角坐標(biāo)系下，面積元素為．于是二重積分可寫成．圖6－15下面根據(jù)二重積分的幾何意義，結(jié)合積分區(qū)域的種形狀特點(diǎn)，介紹二重積分的計(jì)算方法．1.積分區(qū)域?yàn)樾陀蚍e分區(qū)域?yàn)椋?，，稱為型域（或上下結(jié)構(gòu)），其中函數(shù)，在上連續(xù)（圖6－16所示）．圖圖6－16不妨設(shè)，由二重積分的幾何意義知，表示以為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積（圖6－17（2））．（1）（2）圖6－17選取為積分變量，在上任取一個(gè)小區(qū)間,設(shè)表示過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的平面與曲頂柱體相交的截面的面積，得曲頂柱體體積的微元為，所以．又因?yàn)榻孛媸且詤^(qū)間為底，以曲線（是固定的）為曲邊的曲邊梯形，所以．于是．上式右端是一個(gè)先對(duì)、再對(duì)的二次積分（累次積分）．就是說(shuō)，先把看作常數(shù)，把只看作的函數(shù)，并對(duì)計(jì)算從到的定積分，然后把所得的結(jié)果（是的函數(shù)）再對(duì)計(jì)算從到的定積分．這個(gè)先對(duì)、再對(duì)的二次積分常記作.因此將二重積分化為先對(duì)，再對(duì)的二次積分的計(jì)算公式寫作．在上述討論中，我們假定了．但實(shí)際上公式的成立并不受此條件限制．教師講授20′知識(shí)鞏固例2計(jì)算二重積分，其中為矩形區(qū)域：，．解矩形區(qū)域是型域，（圖6－18所示），所以，選取先對(duì)積分，后對(duì)積分的順序．即圖6－18圖6－18．圖6－18教師講授30′新知識(shí)2.積分區(qū)域?yàn)樾陀蚍e分區(qū)域?yàn)椋?，，稱為型域（或左右結(jié)構(gòu)），其中函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)（圖6－19所示）．圖6－19圖6－19仿照“型域”的計(jì)算方法，有“型域”的計(jì)算方法．這就是把二重積分化為先對(duì)、再對(duì)的二次積分的公式．注意如果積分區(qū)域不能表示成上面兩種形式中的任何一種，那么，可將分割，使其各部分符合第一種類型或第二種類型．