一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布問題題型一：在R上根的分布情況1、方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根2、方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3、方程沒有實(shí)數(shù)根若下列兩個(gè)方程：，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】或.【詳解】有實(shí)根，則，解得或，有實(shí)根，則，解得或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或或.故答案為：或.設(shè)k為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.【答案】.【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根∴∴，解得.故答案為：.若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為：，則方程有唯一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，由方程有兩個(gè)不等實(shí)根得：，解得：，；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.設(shè)命題：方程有兩個(gè)不相等的正根；命題：方程無(wú)實(shí)根．若與中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】當(dāng)命題p為真時(shí)，有，解得．當(dāng)命題q為真時(shí)，有，即，解得．由題意，p與q中有且只有一個(gè)是真命題，分兩種情況：若p真q假，則，解得；若p假q真，則，解得．所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．已知，，則的取值范圍為.【答案】【分析】確定，得到，，根據(jù)方程根的關(guān)系得到，解得答案.【詳解】，故，，，將看成方程的兩根，則，即，故，解得.故答案為：

題型二：兩根與K的大小比較結(jié)論結(jié)論結(jié)論

已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．或【答案】D【詳解】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等正實(shí)根，設(shè)兩根為，則等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不相等且大于0的零點(diǎn)，所以或，故選：D關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)方程的根為負(fù)根；當(dāng)時(shí)，方程，當(dāng)，即時(shí)，方程只有一根為，滿足題意，當(dāng)方程有二個(gè)負(fù)根時(shí)，則有，當(dāng)方程有一個(gè)負(fù)根一個(gè)正根時(shí)，則有，綜上所述：當(dāng)關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根時(shí)，有，即關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是.故選：D.已知方程有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】一元二次方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．則，兩根同號(hào)則，解不等式組可得；【詳解】由題意得即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；關(guān)于的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是.【答案】或.【詳解】設(shè)、是方程的兩根，令由題意知，且，即解得或.故答案為：或.若一元二次方程的兩不等實(shí)根都是負(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】或【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合韋達(dá)定理與判別式求解即可．【詳解】首先，設(shè)方程的兩根為，則，所以，，又，解得或．故答案為：或．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲.布勞威爾（L.E.J.Brouwer）.簡(jiǎn)單地講就是：對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，實(shí)數(shù)為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，即在區(qū)間上恰有兩個(gè)解，即在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得：或，故選：C已知二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，則可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布情況，結(jié)合一元二次不等式的求解，列式計(jì)算即可.【詳解】令，則，由題可知，，且，即，解得，故所有選項(xiàng)中滿足題意的的值是：.故選：B.已知關(guān)于的方程至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)的范圍為.【答案】【詳解】設(shè)．方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：①有兩個(gè)正根，此時(shí)可得，即②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得，得．③有一個(gè)正根，另一根為，此時(shí)可得綜上所述，得．若存在正實(shí)數(shù)，使得，則的最大值為.【答案】/【分析】依題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有正實(shí)數(shù)根，分類討論，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，列出關(guān)于的不等式組，即可得出答案．【詳解】存在正實(shí)數(shù)，使得，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有正實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程有正實(shí)數(shù)根，所以，，解得或，則的最大值為，故答案為：．方程的兩根都大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】解：由題意，方程的兩根都大于，令，可得，即，解得．故答案為：.若方程在上僅有一個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是.【答案】【詳解】方程中，，因此方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，不妨令，則，要使在上僅有一個(gè)實(shí)根，則有，解得，所以的取值范圍是.故答案為：函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使得在上的值域也是，則稱為高斯函數(shù).若是高斯函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在上單調(diào)遞增，則所以是方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根，令，則，所以在上有兩個(gè)不等實(shí)根，令，對(duì)稱軸，則，即，解得．故選：B．已知函數(shù)，若存在，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的取值范圍．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口朝上且對(duì)稱軸為，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，兩式相減化簡(jiǎn)得，將代入可得，同理，所以是方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又函數(shù)的圖象開口朝上，對(duì)稱軸為，所以且當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.已知二次函數(shù)的解集為.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及，即可求解.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為方程的兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的分布情況，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，因?yàn)榈慕饧癁?，且，即是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，則.（2）解：因?yàn)榈慕饧癁?，且，即是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又因?yàn)椋捶匠痰膬蓚€(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則滿足，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

題型三：根的區(qū)間分布分布情況大致圖像結(jié)論在區(qū)間內(nèi)無(wú)實(shí)根或或在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根一根在區(qū)間內(nèi)，一根在區(qū)間內(nèi)若關(guān)于x的方程恰有一根在上，則m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．或【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí),不符合題意；所以，記對(duì)稱軸為①當(dāng)，即時(shí)，方程有唯一解為，滿足題意；②當(dāng)，即或時(shí)，要使方程恰有一根在，則解得.綜上所述，或．故選：D.設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，由方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解可得，即或，解得，故選：C方程在區(qū)間和各有一個(gè)根的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)橐辉畏匠淘趨^(qū)間和各有一個(gè)根，令，則由題意可得，即，解得，則方程在區(qū)間和各有一個(gè)根的充要條件是.故選：B.若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】【詳解】由方程等價(jià)于，設(shè)，可得，即方程等價(jià)于在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根小于，另一個(gè)根大于1，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特征，滿足，即得a的取值范圍.【詳解】設(shè)，開口向上，由題意知，即，解得，所以．故答案為：．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得到，再根據(jù)一元二次方程根的分布列出不等式組，計(jì)算可得答案.【詳解】?jī)绾瘮?shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，在