新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類專題04基本不等式及其應(yīng)用(原卷版+解析)

專題04基本不等式及其應(yīng)用【命題方向目錄】命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用命題方向二：直接法求最值命題方向三：常規(guī)湊配法求最值命題方向四：消參法求最值命題方向五：雙換元求最值命題方向六：“1”的代換求最值命題方向七：齊次化求最值命題方向八：利用基本不等式證明不等式命題方向九：利用基本不等式解決實(shí)際問題命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值命題方向十一：與、和有關(guān)問題的最值命題方向十二：待定系數(shù)法求最值命題方向十三：法求最值【2024年高考預(yù)測】基本不等式作為工具，常結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，如解析幾何、函數(shù)求最值，實(shí)際應(yīng)用等求范圍題型，難度為基礎(chǔ)題或中檔題．【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1、基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．（3）其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平堭數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個(gè)重要的不等式（1）．（2）（同號）．（3）．（4）．以上不等式等號成立的條件均為．3、利用基本不等式求敢值（1）已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值（2）已知x，y都是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積xy有最大值注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．【方法技巧與總結(jié)】1、常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．2、權(quán)方和不等式若，則成立．當(dāng)?shù)臅r(shí)，等號成立．【典例例題】命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用【通性通解總結(jié)】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進(jìn)行驗(yàn)證．例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)在半圓上，且，點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng)．作交半圓于點(diǎn)．設(shè)，，則由可以直接證明的不等式為（

）A． B．C． D．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式的證明過程正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若則D．若，且，則變式2．（2023·全國·高三對口高考）下列結(jié)論正確的是（

）A．有最小值2 B．有最小值2C．時(shí)，有最大值-2 D．時(shí)，有最小值2命題方向二：直接法求最值【通性通解總結(jié)】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．例4．（2023·廣西柳州·柳州高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例6．（2023·云南文山·高三馬關(guān)縣第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足,則的最大值是（

）A． B． C． D．變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（

）．A． B． C． D．1變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，則ab的最小值是（）A．4 B．8 C．16 D．32變式5．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4命題方向三：常規(guī)湊配法求最值【通性通解總結(jié)】1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗(yàn)證取得條件．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．C． D．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．例9．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為___________.命題方向四：消參法求最值【通性通解總結(jié)】消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例10．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，滿足且，則的最小值是______.例11．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考競賽）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則c的最大值為___________.例12．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______．命題方向五：雙換元求最值【通性通解總結(jié)】若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、注意驗(yàn)證取得條件．例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為________．例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則的最小值是__________.命題方向六：“1”的代換求最值【通性通解總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形．1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗(yàn)證取得條件．例15．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.例16．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為__________.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值是___________.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為_______．變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為__________．變式8．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）設(shè)，若，則的最小值是___________.變式9．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.變式11．（2023·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為__________.變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為______.變式13．（2023·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值為___________.變式14．（2023·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.命題方向七：齊次化求最值【通性通解總結(jié)】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．例18．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，則的最大值是______.例19．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8例20．（2023·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為____________．命題方向八：利用基本不等式證明不等式【通性通解總結(jié)】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明．例21．（2023·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．例22．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)若，則；(2).例23．（2023·貴州黔西·校考一模）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：如果、，那么．變式16．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2).命題方向九：利用基本不等式解決實(shí)際問題【通性通解總結(jié)】1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件．3、注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是，第三年比第二年的增長率是，而這兩年的平均增長率為，在為定值的情況下，的最大值為___________（用?表示）例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）蘄春縣內(nèi)有一路段A長325米，在某時(shí)間內(nèi)的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時(shí)間T（秒）＝路段長×，那么在車流量最大時(shí)，路段A的紅燈設(shè)置時(shí)間為___________秒.例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32的矩形空地，并計(jì)劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)（如圖所示）.要求試驗(yàn)區(qū)四周各空0.5，各試驗(yàn)區(qū)之間也空0.5.則每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為___________.變式17．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）某小學(xué)開展勞動(dòng)教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個(gè)2平方米的矩形植物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖．則至少需要___________米柵欄．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)?全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國家的號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為__________萬元.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一扇形的圓心角為（），扇形的周長是一定值（），當(dāng)為______弧度時(shí)，該扇形面積取得最大值.變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)計(jì)用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值【通性通解總結(jié)】若，則成立．當(dāng)?shù)臅r(shí)，等號成立．例27．已知為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為例28．設(shè)，若，則的最小值為（）A．B．6C．D．例29．已知實(shí)數(shù)滿足且，則的最小值是變式21．已知，則的最小值是．變式22．已知，則的最小值是．變式23．已知且，則的最小值是．命題方向十一：與、和有關(guān)問題的最值【通性通解總結(jié)】利用基本不等式變形求解例30．（多選題）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．例31．（多選題）（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）設(shè)，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為例32．（多選題）（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，滿足，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為1變式24．（多選題）（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式一定成立的有（

）A． B． C． D．變式25．（多選題）（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值變式26．（多選題）（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為變式27．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）若，，則（

）A． B． C． D．變式28．（多選題）（2023·湖南·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為1C．的最小值為 D．的最小值為3命題方向十二：待定系數(shù)法求最值例33．（2023·全國·高三競賽）設(shè)，，，是不全為零的實(shí)數(shù)，且滿足.則的最小值是_________.例34．（2023·全國·高三競賽）設(shè)x、y、z是不全是0的實(shí)數(shù).則三元函數(shù)的最大值是_____.例35．（2023·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，則的最大值為_________．變式30．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，，不全為，則的最小值是___，最大值是___．命題方向十三：法求最值例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8例37．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是__________.例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，且的最大值是，則___________.變式31．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________．變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若x，y為實(shí)數(shù)且滿足，試分別求x、y的最值.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．9 D．123．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．105．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．96．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．710．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，則下列說法中正確的有（

）A．有最小值 B．a(chǎn)2+b2有最小值C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln212．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，且.則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為1C． D．三、填空題13．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則的最小值為__________．14．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值是______．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_________．16．（2023·天津·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為________.四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))元．已知這種水果的市場售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為(單位：元)(1)寫單株利潤(元)關(guān)于施用肥料(千克)的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？18．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為2，且，求的最小值．19．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求的最大值;(2)正實(shí)數(shù)滿足，若對任意的恒成立，求的取值范圍.20．（2023·河南·高三洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．21．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)．(1)解不等式；(2)令的最小值為T，正數(shù)滿足，證明：．22．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若對任意，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．專題04基本不等式及其應(yīng)用【命題方向目錄】命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用命題方向二：直接法求最值命題方向三：常規(guī)湊配法求最值命題方向四：消參法求最值命題方向五：雙換元求最值命題方向六：“1”的代換求最值命題方向七：齊次化求最值命題方向八：利用基本不等式證明不等式命題方向九：利用基本不等式解決實(shí)際問題命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值命題方向十一：與、和有關(guān)問題的最值命題方向十二：待定系數(shù)法求最值命題方向十三：法求最值【2024年高考預(yù)測】基本不等式作為工具，常結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，如解析幾何、函數(shù)求最值，實(shí)際應(yīng)用等求范圍題型，難度為基礎(chǔ)題或中檔題．【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1、基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．（3）其中叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平堭數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個(gè)重要的不等式（1）．（2）（同號）．（3）．（4）．以上不等式等號成立的條件均為．3、利用基本不等式求敢值（1）已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值（2）已知x，y都是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積xy有最大值注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．【方法技巧與總結(jié)】1、常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．2、權(quán)方和不等式若，則成立．當(dāng)?shù)臅r(shí)，等號成立．【典例例題】命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用【通性通解總結(jié)】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進(jìn)行驗(yàn)證．例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選：D.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)在半圓上，且，點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng)．作交半圓于點(diǎn)．設(shè)，，則由可以直接證明的不等式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】連接，由題知，，所以，即，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，，所以，，所以所以由可以證明故選：D例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A中，由，因?yàn)椋傻?，因?yàn)椴淮_定，所以A錯(cuò)誤；對于B中，只有當(dāng)不相等時(shí)，才有成立，所以B錯(cuò)誤；對于C中，例如，此時(shí)滿足，但，所以C錯(cuò)誤；對于D中，由不等式的基本性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，可得成立，所以D正確.故選：D變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式的證明過程正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若則D．若，且，則【答案】D【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，如時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，由于，則，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式成立的條件可知D選項(xiàng)正確.故選：D變式2．（2023·全國·高三對口高考）下列結(jié)論正確的是（

）A．有最小值2 B．有最小值2C．時(shí)，有最大值-2 D．時(shí)，有最小值2【答案】C【解析】對于A，沒有說是正數(shù)，所以可以取到負(fù)值，故A錯(cuò)誤；對于B，要取到最小值2，需滿足，此時(shí)，不可能成立，故B錯(cuò)誤；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤．故選;C.命題方向二：直接法求最值【通性通解總結(jié)】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．例4．（2023·廣西柳州·柳州高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由已知可得.因?yàn)椋?，由基本不等式知，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以，所以，所以，所以的最小值為2.故選：D.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，即，所以，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立.故選：A例6．（2023·云南文山·高三馬關(guān)縣第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足,則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由題知,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以．故選:C．變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（

）．A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號，所以的最大值是.故選：A變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，則ab的最小值是（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，化簡可得2，∴ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)等號成立，故ab的最小值是8，故選：B．變式5．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：C.命題方向三：常規(guī)湊配法求最值【通性通解總結(jié)】1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗(yàn)證取得條件．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以函數(shù)的最小值是.故選：D.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】因，且，則，即有，同理，由得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：D例9．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】3【解析】由題意，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以函數(shù)的最小值為3.故答案為：3.命題方向四：消參法求最值【通性通解總結(jié)】消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例10．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，滿足且，則的最小值是______.【答案】【解析】由，可得，，，解不等式可得，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)上式取等號，的最小值是，故答案為．例11．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考競賽）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則c的最大值為___________.【答案】【解析】由，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；又由可得，由可得，則，則c的最大值為.故答案為：.例12．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______．【答案】【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足b+3a＝2ab，所以a＝，則＝＝＝﹣2（）2+，當(dāng)，即b＝2時(shí)取得最大值．故答案為：．命題方向五：雙換元求最值【通性通解總結(jié)】若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、注意驗(yàn)證取得條件．例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為________．【答案】．【解析】令，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最小值是．例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則的最小值是__________.【答案】【解析】令，，則，，因?yàn)椋瑒t有，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則分別等于時(shí)，的最小值是.故答案為：.命題方向六：“1”的代換求最值【通性通解總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形．1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗(yàn)證取得條件．例15．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?，由，，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.例16．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立,所以的最小值為.故答案為:.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值是___________.【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)，，且，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為.故答案為：.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為_______．【答案】【解析】由①，由①得，②，故由①和②，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即時(shí)，的最小值為.故答案為：變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為__________．【答案】/【解析】因?yàn)槎际钦龜?shù)，且，則,則,當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即，時(shí)取等號，故答案為：變式8．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）設(shè)，若，則的最小值是___________.【答案】/【解析】∵，若，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即，時(shí)等號成立，故答案為：．變式9．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.【答案】/0.5【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.故答案為：.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】/6.25【解析】，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即的最小值為.故答案為：.變式11．（2023·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為__________.【答案】/1.6【解析】因?yàn)?，所?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故的最小值為.故答案為:.變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為______.【答案】/【解析】依題意為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號成立.故答案為：變式13．（2023·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號成立，所以，則的最小值為.故答案為：.變式14．（2023·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為，故答案為：.命題方向七：齊次化求最值【通性通解總結(jié)】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．例18．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，則的最大值是______.【答案】【解析】由題意，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，又由在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即，所以，所以的最大值是.故答案為：.例19．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【答案】A【解析】由，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以的最小值為：12，故選：A.例20．（2023·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為____________．【答案】/0.25【解析】由，得，∵正實(shí)數(shù)a，b，c∴則則，當(dāng)且僅當(dāng)，且a，b>0，即a=3b時(shí)，等號成立則所以，的最大值為.故答案為：.命題方向八：利用基本不等式證明不等式【通性通解總結(jié)】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明．例21．（2023·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【解析】（1）（2）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，即的最小值是2．（2）證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．例22．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)若，則；(2).【解析】（1），，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，，即；（2）∵a，b，c均為正數(shù)，且，由柯西不等式得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．例23．（2023·貴州黔西·校考一模）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【解析】（1）由，得，又由基本不等式可知當(dāng)，，均為正數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；（2）因?yàn)?，，均為正?shù)，所以若證，即證，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號均成立，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：如果、，那么．【解析】不妨設(shè)，則，且，由切比雪夫不等式的推論1可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；故原不等式正確．變式16．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2).【解析】（1）證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，，所以，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故成立；（2）證明：因?yàn)椋?，由柯西不等式可得：，即?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以有，將代入有得證.命題方向九：利用基本不等式解決實(shí)際問題【通性通解總結(jié)】1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件．3、注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是，第三年比第二年的增長率是，而這兩年的平均增長率為，在為定值的情況下，的最大值為___________（用?表示）【答案】【解析】設(shè)第一年的產(chǎn)值為，則第二年的產(chǎn)值為，第三年的產(chǎn)值為，又這兩年的平均增長率為，所以，因?yàn)闉槎ㄖ担?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，所以，所以的最大值為.故答案為：例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）蘄春縣內(nèi)有一路段A長325米，在某時(shí)間內(nèi)的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時(shí)間T（秒）＝路段長×，那么在車流量最大時(shí)，路段A的紅燈設(shè)置時(shí)間為___________秒.【答案】87.75/【解析】不妨設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.千米/小時(shí)米/秒此時(shí)紅燈設(shè)置時(shí)間為秒.故答案為：例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32的矩形空地，并計(jì)劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)（如圖所示）.要求試驗(yàn)區(qū)四周各空0.5，各試驗(yàn)區(qū)之間也空0.5.則每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為___________.【答案】6【解析】設(shè)矩形空地的長為m，則寬為m，依題意可得，試驗(yàn)區(qū)的總面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為.故答案為：6變式17．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）某小學(xué)開展勞動(dòng)教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個(gè)2平方米的矩形植物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖．則至少需要___________米柵欄．【答案】【解析】設(shè)矩形植物種植園的寬、長為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等.故至少需要米柵欄．故答案為：．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)?全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國家的號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為__________萬元.【答案】1000【解析】由題意得，銷售收入為萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，利潤；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，利潤.所以利潤因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.又，故當(dāng)時(shí)，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.故答案為：1000變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一扇形的圓心角為（），扇形的周長是一定值（），當(dāng)為______弧度時(shí)，該扇形面積取得最大值.【答案】2【解析】設(shè)扇形半徑為，由題有，則扇形面積為：.則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故答案為：2變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)計(jì)用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【解析】設(shè)長方體車廂的長為xm，高為hm，則，即，∴，即，解得，∴．∴車廂的容積為．當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號成立．∴車廂容積的最大值為．選B．命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值【通性通解總結(jié)】若，則成立．當(dāng)?shù)臅r(shí)，等號成立．例27．已知為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為【答案】【解析】．當(dāng)時(shí)，即時(shí)有的最小值．例28．設(shè)，若，則的最小值為（）A．B．6C．D．【答案】A【解析】．當(dāng)時(shí)，時(shí)取等號．例29．已知實(shí)數(shù)滿足且，則的最小值是【答案】【解析】．當(dāng)時(shí)，取等號．變式21．已知，則的最小值是．【答案】8【解析】，當(dāng)時(shí)，即，兩個(gè)等號同時(shí)成立．變式22．已知，則的最小值是．【答案】【解析】．即當(dāng)時(shí)，即，有的最小值為．變式23．已知且，則的最小值是．【答案】8【解析】，當(dāng)時(shí)，即：時(shí)等號成立．命題方向十一：與、和有關(guān)問題的最值【通性通解總結(jié)】利用基本不等式變形求解例30．（多選題）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，則，選項(xiàng)A，，故正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，且，所以，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)椋蔇正確，故選：ABD．例31．（多選題）（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）設(shè)，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，A對；對于B選項(xiàng)，由可得，解得，所以，，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為，C對；對于D選項(xiàng)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為，D對.故選：ACD.例32．（多選題）（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，滿足，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)b的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為1【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，則的最大值為，故A正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，所以的最小值為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，取最小值為，故C正確；因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：AC.變式24．（多選題）（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式一定成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，且，所以由基本不等式可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，則，B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，令，，則，則，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，結(jié)合，即“=”成立，故D正確，故選：ABD.變式25．（多選題）（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】AD【解析】由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，對于A,，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，故A正確，對于B,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B錯(cuò)誤，對于C，設(shè)由于，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故C錯(cuò)誤，對于D,，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，故D正確，故選:AD變式26．（多選題）（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AC【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，A正確；對于B，，即，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，C正確；對于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，所以，此時(shí)，不能同時(shí)取等號，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.變式27．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】對于A：由題意得，所以，即，故A正確；對于B：取，，滿足，但，故B錯(cuò)誤；對于C：易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故C正確；對于D：由，得，因?yàn)椋?，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD變式28．（多選題）（2023·湖南·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為1C．的最小值為 D．的最小值為3【答案】AC【解析】.對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故正確；對于，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，，但是當(dāng)時(shí)，不符合題意，故等號不成立，故錯(cuò)誤.故選：AC.命題方向十二：待定系數(shù)法求最值例33．（2023·全國·高三競賽）設(shè)，，，是不全為零的實(shí)數(shù)，且滿足.則的最小值是_________.【答案】【解析】引進(jìn)參數(shù)，由，，三式相加得.令

.由此解得.于是，.又當(dāng)，時(shí)，上式的等號成立，所以，的最小值為.例34．（2023·全國·高三競賽）設(shè)x、y、z是不全是0的實(shí)數(shù).則三元函數(shù)的最大值是_____.【答案】【解析】引入正參數(shù)λ、μ.因?yàn)椋?，所以，?兩式相加得.令，得，故.因此，的最大值為.例35．（2023·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】【解析】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，即最大值為.故答案為：.變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，則的最大值為_________．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號），的最大值為.故答案為：.變式30．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，，不全為，則的最小值是___，最大值是___．【答案】【解析】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；又，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立.故答案為：，.命題方向十三：法求最值例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【解析】設(shè)，，，時(shí)，，時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．例37．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是__________.【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以，且.令，則，所以，代入，則有，所以關(guān)于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此時(shí)，關(guān)于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號，只需，解得.綜上所述：.即的最小值是（此時(shí)，解得：）.故答案為：.例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，且的最大值是，則___________.【答案】4【解析】令=d，由消去a得：，即，而，，則，，，依題意，解得.故答案為：4變式31．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】令，則，即，因此，解得：，當(dāng)時(shí)，，因此的最大值為故答案為：變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若x，y為實(shí)數(shù)且滿足，試分別求x、y的最值.【解析】由已知變形得，，則，即有，于是，即，即；同理可得，，，則，即有，于是，即，.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），得，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號成立.所以的最小值為.故選：B.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】由題意得，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立.故選：C.3．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：A.4．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由題意可得：該設(shè)備年平均費(fèi)用，∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為9.故選：C.5．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】方法一：因?yàn)?，故，解得，?當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.方法二：因?yàn)?，則，且，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.故選：C.6．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】D【解析】當(dāng)與為負(fù)數(shù)時(shí)，顯然不成立，選項(xiàng)A不正確；因?yàn)閤不一定為正數(shù)，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，顯然不成立，選項(xiàng)B不正確；令，所以的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，選項(xiàng)C不正確；，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，選項(xiàng)D正確．故選：D．7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，，，均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號，則的最大值為．故選：B．8．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，∵，∴等號不成立，故；，∵，∴等號不成立，故，綜上，.故選：A.二、多選題9．（2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】BCD【解析】由，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，又因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)B、C、D符合題意.故選：BCD.10．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．