5.5數(shù)學(xué)歸納法課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

*5.5數(shù)學(xué)歸納法第五章人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.3.提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法1.震撼的多米諾骨牌效應(yīng)大不列顛哥倫比亞大學(xué)物理學(xué)家A.懷特海德曾經(jīng)制作了一組骨牌,共13塊,第一塊最小,長9.53mm,寬4.76mm,厚1.19mm,還不如小手指甲大.以后每塊體積都擴(kuò)大了1.5倍,依次類推,最大的第13塊長61mm,寬30.5mm,厚7.6mm,牌面大小接近于撲克牌,厚度相當(dāng)于撲克牌的20倍.把這套骨牌按適當(dāng)間距排好,輕輕推倒第一塊,必然會波及第13塊.第13塊骨牌倒下時釋放的能量比第一塊牌倒下時整整要擴(kuò)大20多億倍.因為多米諾骨牌效應(yīng)的能量是按指數(shù)形式增長的.若推倒第一塊骨牌要用0.024微焦,倒下的第13塊骨牌釋放的能量達(dá)到51焦.不過A.懷德特畢竟沒有制作第32塊骨牌,因為它將高達(dá)415m.假如真有人制作這樣的一套骨牌,207米高的大廈會在一指之力下被轟然推倒!你能體會其中蘊含的物理原理嗎?提示:多米諾骨牌效應(yīng)的物理原理是:骨牌豎著時,重心較高,倒下時重心下降,倒下過程中,將其重力勢能轉(zhuǎn)化成動能,倒在第二塊牌中,動能就轉(zhuǎn)移到第二塊牌上,第二塊牌將第一塊牌轉(zhuǎn)移來的動能和自己倒下過程中由本身具有的重力勢能轉(zhuǎn)化來的動能之和,再傳到第三塊牌上,……所以每塊牌倒下的時候,具有的動能都比前一塊牌大,因此速度一個比一個快,也就是說,依次推倒的能量一個比一個大.2.(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一個與自然數(shù)有關(guān)的命題,如果①當(dāng)n=n0時,命題成立;②在假設(shè)n=k(其中k≥n0)時命題成立的前提下,能夠推出n=k+1時命題也成立.那么,這個命題對大于等于n0的所有自然數(shù)都成立.(2)數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示3.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步驗證(

)A.n=1 B.n=2

C.n=3 D.n=4解析:由題知,n的最小值為3,因此第一步驗證n=3是否成立.答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步是驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立.(×)(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.(×)(3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由n=k到n=k+1時,項數(shù)都增加了一項.(×)(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗證n=1時,左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.(√)合作探究釋疑解惑探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】

用數(shù)學(xué)歸納法證明,對任意的正整數(shù)n,都有1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2.證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1×4=4,右邊=1×22=4,左邊=右邊,所以此時等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.則1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,所以,此時n=k+1也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任意正整數(shù)都成立.數(shù)學(xué)歸納法證題中,利用假設(shè)是核心.在第二步證明n=k+1成立時,一定要利用歸納假設(shè),即必須把歸納假設(shè)“當(dāng)n=k時命題成立”作為條件來導(dǎo)出“n=k+1時命題也成立”.反思感悟此時當(dāng)n=k+1時等式成立.由(1)(2)可知,對于n∈N+等式都成立.探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大些,方法更靈活些,用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步,即已知f(k)>g(k),求證f(k+1)>g(k+1)時應(yīng)注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法).具體證明過程中要注意以下兩點:(1)先湊假設(shè),作等價變換;(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時的遞推目標(biāo),有目的地放縮、分析,直到“湊”出結(jié)論.反思感悟證明:(

1

)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=2.左邊<右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N+)時,不等式成立,因此當(dāng)n=k+1時,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式對任意n∈N+都成立.探究三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題【例3】

已知n個平面都過同一點,但其中任何三個平面都不經(jīng)過同一直線,求證:這n個平面把空間分成f(n)=n(n-1)+2部分.證明:(1)當(dāng)n=1時,1個平面把空間分成2部分,而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命題正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,命題成立,即k個符合條件的平面把空間分為f(k)=k(k-1)+2(部分),當(dāng)n=k+1時,第k+1個平面和其他每一個平面相交,使其所分成的空間都增加2部分,所以共增加2k部分,故f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),即當(dāng)n=k+1時,命題也成立.根據(jù)(1)(2),知n個符合條件的平面把空間分成f(n)=n(n-1)+2部分.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”,即幾何元素從k增加到k+1時,所證的幾何量增加多少,同時要善于利用幾何圖形的直觀性,建立k與k+1之間的遞推關(guān)系.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

在平面內(nèi)有n條直線,其中每兩條直線相交于一點,并且每三條直線都不相交于同一點.求證:這n條直線將它們所在的平面分成

個區(qū)域.證明:(1)當(dāng)n=2時,兩條直線相交把平面分成4個區(qū)域,命題成立.域,直線l與其余k條直線相交,得到k個不同的交點,這k個點將l分成k+1段,每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分,故新增區(qū)域為k+1個.所以當(dāng)n=k+1時命題也成立.由(1)(2)可知,原命題成立.探究四歸納—猜想—證明(1)求a2,a3.(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并證明.即當(dāng)n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知命題對任何n∈N+都成立.1.本題中在由“n=k成立”證明“n=k+1成立”時,利用ak+1=Sk+1-Sk來尋找ak+1與ak的關(guān)系是證明的關(guān)鍵.2.在證明與數(shù)列有關(guān)的問題時,一般要用到ak+1與ak或Sk+1與Sk的關(guān)系,在尋找它們之間的關(guān)系時,往往要用到已知條件和ak+1=Sk+1-Sk來建立等量關(guān)系.反思感悟

(1)解:∵數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=-2nan+2,n=1,2,3,…,∴a2=9-2×1×3+2=5,a3=25-2×2×5+2=7.由此猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1.(2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:(1)當(dāng)n=1時,a1=2×1+1=3,成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時成立,即ak=2k+1,則ak+1=-2kak+2=(2k+1)2-2k(2k+1)+2=2k+3=2(k+1)+1,成立,由(1)(2),得數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1.【易錯辨析】

未應(yīng)用歸納假設(shè)而致誤

即當(dāng)n=k+1時,等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知等式對任意n∈N+都成立.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯誤的原因在第二步,直接利用等比數(shù)列的求和公式求出了當(dāng)n=k+1即當(dāng)n=k+1時,等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N+都成立.數(shù)學(xué)歸納法的第二步是在證明一個遞推關(guān)系,即當(dāng)n=k成立時,n=k+1時也成立.因此在證明當(dāng)n=k+1成立時,要用上歸納假設(shè)才能說明“當(dāng)n=k成立時,n=k+1也成立”.防范措施【變式訓(xùn)練】

已知n∈N+,求證1×22-2×32+…+(2n-1)×(2n)2-2n×(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=4-18=-14=-1×2×7=右邊.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時成立,即1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).則當(dāng)n=k+1時,1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+2)·(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],即當(dāng)n=k+1時成立.由(1)(2)可知,對一切n∈N+結(jié)論成立.隨堂練習(xí)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明,在驗證當(dāng)n=1成立時,左邊計算所得的項是(

)A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:當(dāng)n=1時,左邊=1+a+a1+1=1+a+a2.故C正確.答案:C2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為

條時,第一步驗證n等于(

)