重慶市2025屆高三上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

重慶市2025屆高三9月考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．31 D．322.若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3.已知且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．84.已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5.已知α，，且，，則（

）A． B． C． D．6.命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7.某校高三數(shù)學(xué)老師共有20人，他們的年齡分布如下表所示，下列說法正確的是（

）年齡人數(shù)126542A．這20人年齡的分位數(shù)的估計(jì)值是46.5B．這20人年齡的中位數(shù)的估計(jì)值是41C．這20人年齡的極差的估計(jì)值是55D．這20人年齡的眾數(shù)的估計(jì)值是358.已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.某學(xué)校有甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)，人數(shù)分別為、、，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，進(jìn)行某項(xiàng)興趣調(diào)查．已知抽出的人中有人對(duì)此感興趣，有人不感興趣，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人做進(jìn)一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（

）A．從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為人、人、人B．隨機(jī)變量C．隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為D．若事件“抽取的3人都感興趣”，則10.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．C．直線截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為D．陰影區(qū)域的面積大于411.已知直線，A是之間的一定點(diǎn)并且點(diǎn)A到的距離分別為1，2，B是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使AC與直線交于點(diǎn)C，，則（

）A．面積的最小值為B．點(diǎn)到直線的距離為定值C．當(dāng)時(shí)，的外接圓半徑為D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)詞典里包含個(gè)不同的單詞，其中有個(gè)以字母“”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇個(gè)單詞組成一個(gè)新的子集，其中至少包含兩個(gè)“”開頭，一共有_______個(gè)這樣的子集.（要求用數(shù)字作答）13.在的展開式中，若的系數(shù)為，則_______.14.已知函數(shù)，若函數(shù)，當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍為_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，三棱錐中，，，是的中點(diǎn).（1）求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）點(diǎn)在棱上，且，求直線與平面所成角的大小.16.（15分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.（1）求角；（2）若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.17.（15分）夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會(huì)在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是，若在前一天選擇綠豆湯的條件下，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復(fù)．（提示：設(shè)表示第天選擇綠豆湯）（1）求該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率（2）求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；（3）記該同學(xué)第天選擇綠豆湯的概率為，求出的通項(xiàng)公式.18.（17分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，公比.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其中.①求數(shù)列的前2024項(xiàng)和；②求.19.（17分）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，漸近線方程為.（1）求的方程；（2）若互相垂直的兩條直線均過點(diǎn)，且，直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，設(shè).①求；②記，，求.名校方案重慶市2025屆高三9月考試數(shù)學(xué)答案題號(hào)1234567891011答案ACDBAABDACDABDABD1．A【試題解析】，，三個(gè)元素，真子集個(gè)數(shù)為.2．C【試題解析】因?yàn)?，所?3．D【試題解析】且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.4．B【試題解析】，故在方向上的投影向量為.5．A【試題解析】由，，則，則.則，由，則，，.6．A【試題解析】要在上單調(diào)遞減，則，解得，在為增函數(shù)，則，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹拭}是命題的充分不必要條件.7．B【試題解析】因?yàn)?，?0%分位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)其估計(jì)值為m，則，解得，A錯(cuò)；因?yàn)?，所以中位?shù)（50%分位數(shù)）落在區(qū)間，設(shè)其估計(jì)值為n，則，解得，B正確；有表格中數(shù)據(jù)可知極差不超過，C錯(cuò)；因?yàn)楸绢}無法確定年齡的具體數(shù)值，故無法判斷眾數(shù)的值.8．D【試題解析】令，則.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，即，符合題意.9．ACD【試題解析】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)分別需抽取人，則，所以，，，所以從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為人、人、人，A正確；隨機(jī)變量的取值有，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：所以B錯(cuò)誤；由期望公式可得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，C正確；因?yàn)?，所以D正確.10．ABD【試題解析】由題，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對(duì)稱性，可得,故，即B正確；對(duì)于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點(diǎn),由解得，由解得，,即得,則弦長(zhǎng)為：，由圖知，直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最大值4，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設(shè)，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線與直線平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,因,則點(diǎn)到直線的距離為，于是,由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.11．ABD【試題解析】對(duì)于A，過作的垂線，分別交于點(diǎn)，則，設(shè)，則在中，，因?yàn)?，所以在中，，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以面積的最小值為，所以A正確，對(duì)于B，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，是定值，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得，所以，即的外接圓半徑為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以D正確，12．【試題解析】從含有個(gè)以字母“”開頭的個(gè)不同的單詞選擇個(gè)單詞，其中至少包含兩個(gè)“”開頭的選法可分為類，第一類：所選個(gè)單詞中，有且只有兩個(gè)“”開頭的單詞，符合要求選法有；第二類：所選個(gè)單詞中，有且只有三個(gè)“”開頭的單詞，符合要求選法有；第三類：所選個(gè)單詞中，有且只有四個(gè)“”開頭的單詞，符合要求選法有；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，符合要求的子集共有個(gè).13．【試題解析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得第，令，可得的系數(shù)為，所以，則，則.14．【試題解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，令，即，由圖可知，或，則或，當(dāng)，函數(shù)無解；當(dāng)或，函數(shù)只有一個(gè)解；當(dāng)或，函數(shù)有兩個(gè)解；當(dāng)，函數(shù)有三個(gè)解；當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或或或或或或或或或，解得.15．（1）（6分）如圖：因?yàn)槔@旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為以為底面圓半徑的圓錐，由，，所以，所以，所以，又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，所以，所以，且，所以平面，所以繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為以為底面圓半徑，以為高的圓錐，所以.（2）（7分）如圖：可知：平面，又，，所以，所以，為等腰直角三角形，又由點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，所以，又有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以.16．（1）（6分）因?yàn)?，所以由正弦定理得，化?jiǎn)可得，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，所以.（2）（9分）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故其外接圓半徑為，因?yàn)?，所以由正弦定理可得故，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.17．（1）（2分）該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率為；（2）（5分）設(shè)表示第1天選擇綠豆湯，表示第2天選擇綠豆湯，則表示第1天選擇銀耳羹，根據(jù)題意得，，所以．（3）（8分）設(shè)表示第天選擇綠豆湯，則，根據(jù)題意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，所以..18．（1）（5分）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，顯然符合上式，所以，由題意，所以.（2）①（6分）易知，即數(shù)列的前2024項(xiàng)中有項(xiàng)分別為，其余項(xiàng)均為1，故數(shù)列的