專題3-2 三角函數(shù)求w類型及換元?dú)w類（原卷版）

專題3-2三角函數(shù)求w類型及三角換元應(yīng)用歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01平移型求w 1題型02單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性求w 2題型03對稱中心（零點(diǎn)）求w 3題型04對稱軸型求w 4題型05對稱軸及單調(diào)性型求w 5題型06“臨軸”型求w 6題型07“臨心”型求w 7題型08區(qū)間內(nèi)有“心”型求w 8題型09區(qū)間內(nèi)無“心”型求w 9題型10區(qū)間內(nèi)最值點(diǎn)型求w 10題型11多可能性分析型求w 10題型12三角應(yīng)用：三角雙換元 11題型13三角應(yīng)用：無理根號型 12題型14三角應(yīng)用：圓代換型 12題型15三角應(yīng)用：向量型換元 13高考練場 14題型01平移型求w【解題攻略】平移型求w，可以借助代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，或者利用單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合圖形解出值或者范圍?！镜淅?-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后與原函數(shù)圖像重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．9【變式1-1】（2021春·浙江杭州·高三學(xué)軍中學(xué)校考開學(xué)考試）將函數(shù)的圖像向左平移2個(gè)單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2【變式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)校考一模）將函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【變式1-3】（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）將的圖象向左平移個(gè)單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型02單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性求w【解題攻略】正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間（k∈Z）上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間（k∈Z）上都單調(diào)遞減余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上都單調(diào)遞減【典例1-1】（上海市川沙中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是________【典例1-2】（廣西玉林市育才中學(xué)2022屆高三12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，在區(qū)間上單調(diào)，則的值為_____________.【變式1-1】函數(shù),若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),且則的值為（）A． B．或 C． D．或【變式1-2】若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是____________.【變式1-3】（2022-2021學(xué)年度下學(xué)期高三數(shù)學(xué)備考總動員C卷）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.題型03對稱中心（零點(diǎn)）求w【解題攻略】正弦函數(shù)對稱中心(kπ，0)(k∈Z)余弦函數(shù)對稱中心(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)正切函數(shù)對稱中心(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期中）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，周期是的對稱中心，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對稱中心是，則（

）A． B． C．3 D．【變式1-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（

）A． B． C． D．題型04對稱軸型求w【解題攻略】正弦函數(shù)對稱軸（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1余弦函數(shù)對稱軸x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1【典例1-1】（2022秋·山西長治·高三山西省長治市第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對稱軸方程為，則（

）A．3 B．2 C． D．1【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若是函數(shù)圖象的對稱軸，則的最小正周期的最大值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖像的一條對稱軸是（）A． B．C． D．【變式1-2】（“超級全能生”高考全國卷26省9月聯(lián)考乙卷數(shù)學(xué)試題）已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式1-3】已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是A． B．C． D．題型05對稱軸及單調(diào)性型求w【典例1-1】（2021屆重慶市南開中學(xué)高考沖刺二數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為___________.【典例1-2】（2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國Ⅱ卷?數(shù)學(xué)（二）試題）已知函數(shù)的一條對稱軸為，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A． B．3 C． D．【變式1-1】（四川省成都市新都區(qū)2020-2021學(xué)年高三診斷測試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為________．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．【變式1-3】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（

）A．9 B．7 C．11 D．3題型06“臨軸”型求w【解題攻略】若的圖像關(guān)于直線對稱,則或.【典例1-1】（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，且該函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對稱軸之間的最短距離為，直線是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，則該函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023秋·河南洛陽·高三洛寧縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是函數(shù)圖象上兩條相鄰的對稱軸，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023春·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線是函數(shù)圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．題型07“臨心”型求w【解題攻略】函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，由求對稱中心.(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.【典例1-1】（2023春·廣東珠?！じ呷？迹┮阎瘮?shù)的圖象的一個(gè)對稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，的最大值為2，其圖象相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離為，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．將圖象向右平移個(gè)單位與原圖象重合C．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【變式1-1】（2023下·河南焦作·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）的圖象的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【變式1-3】（2021上·四川雅安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，點(diǎn)和是其相鄰的兩個(gè)對稱中心，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則（）A． B． C． D．題型08區(qū)間內(nèi)有“心”型求w【解題攻略】求w的表達(dá)式時(shí)，中不要把寫成k,因?yàn)楹竺孢€有一個(gè)k,中不要把寫成k，否則不好研究w的最小值.它們本身就不一定相等.【典例1-1】（天津市部分區(qū)2020屆高考二模數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)()在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【典例1-2】（2021春?商洛）已知函數(shù)在，上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【變式1-1】（2022?湖北模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【變式1-2】（云南省2020屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)（，）圖象過點(diǎn)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的最值情況為（

）A．最小值為，最大值為 B．無最小值，最大值為C．無最小值，最大值為 D．最小值為，最大值為【變式1-3】（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題16-20題）設(shè)函數(shù)，若對于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．題型09區(qū)間內(nèi)無“心”型求w【解題攻略】無“心”型求w，可以采用正難則反的策略把無交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為有交點(diǎn)的問題，利用補(bǔ)集思想得到最終的結(jié)果，對于其他否定性問題經(jīng)常這樣思考.【典例1-1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為_________.【典例1-2】（天津市南開中學(xué)2022屆高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【變式1-1】函數(shù)，且，，若的圖像在內(nèi)與軸無交點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【變式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型10區(qū)間內(nèi)最值點(diǎn)型求w【解題攻略】極值點(diǎn)最大值最小值的問題，可以轉(zhuǎn)化為區(qū)間對稱軸的個(gè)數(shù)，利用對稱軸公式求解?！镜淅?-1】.已知函數(shù)（，），，，在內(nèi)有相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)，且最小值點(diǎn)距離軸近，則的最小正整數(shù)值為（

）A．5 B．7 C．9 D．10【典例1-2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)及直線對稱，且在不存在最值，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題13-16題）已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．【變式1-2】（2022屆湖南省長沙市第一中學(xué)高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-3】（【全國百強(qiáng)?！亢颖焙馑鹁?022屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，兩個(gè)等式：對任意的實(shí)數(shù)均恒成立，且上單調(diào)，則的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4題型11多可能性分析型求w【解題攻略】解決函數(shù)綜合性問題的注意點(diǎn)（1）結(jié)合條件確定參數(shù)的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．（2）解題時(shí)要將看作一個(gè)整體，利用整體代換的方法，并結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．（3）解題時(shí)要注意函數(shù)圖象的運(yùn)用，使解題過程直觀形象化．【典例1-1】.函數(shù)，已知為圖象的一個(gè)對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A． B． C． D．【典例1-2】（北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)，若三個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則正數(shù)的最小值為__________.【變式1-1】（北京市東城區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，則的所有可能值為__________．【變式1-2】（上海市晉元高級中學(xué)2022屆高三數(shù)學(xué)試題）已知，若存在使得集合中恰有3個(gè)元素，則的取值不可能是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2021?淮北二模）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調(diào)，則滿足條件的個(gè)數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．10題型12三角應(yīng)用：三角雙換元【解題攻略】形如，等，均可以用三角換元來解決.在利用三角換元時(shí)，一定要注意角度限制，因?yàn)閷τ谌呛瘮?shù)的值域都是[-1，1]，但其角度有多種形式，于是我們在設(shè)置角度時(shí)要抓住2點(diǎn)：設(shè)置的角度要使三角函數(shù)的范圍為[-1，1]，（2）根號要能直接開出來.就如本題來講，令，此時(shí)，于是.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.【典例1-2】（2020·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若等差數(shù)列滿足，且，求的取值范圍（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，求的取值范圍為（）A． B．C． D．【變式1-2】（江西省撫州市金溪一中等七校2021-2022學(xué)年高三考試數(shù)學(xué)試題（B卷））已知滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．【變式1-3】（浙江省嘉興市2022屆高三試數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是_______．題型13三角應(yīng)用：無理根號型【解題攻略】無理根號型求范圍，可以通過換元求得：1.單根號，一般是齊次關(guān)系。2.雙根號，不僅僅是齊次關(guān)系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“輪換特征”4.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約?！镜淅?-1】.求函數(shù)的值域.【典例1-2】求函數(shù)的值域.【變式1-1】若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式1-2】（新疆莎車縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）函數(shù)y=x?4?【變式1-3】（2020屆安徽省六安市第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬卷（七）數(shù)學(xué)（理）試題）已知，則的最大值為_________.題型14三角應(yīng)用：圓代換型【解題攻略】圓代換型，利用圓的參數(shù)方程，注意盡量代換規(guī)范：余弦對應(yīng)x，正弦對應(yīng)y的參數(shù)方程是：【典例1-1】（上海市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）知點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)P是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)Q，線段AP的中點(diǎn)為，則|MQ|的最大值是______【典例1-2】設(shè)圓O:x2+y2=1上兩點(diǎn)Ax【變式1-1】已知是單位圓（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)）上任一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交單位圓于點(diǎn)，則的最大值為________.【變式1-2】設(shè)圓上兩點(diǎn)，滿足：，則的取值范圍是___________.【變式1-3】（2020·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎c(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的取值范圍.題型15三角應(yīng)用：向量型換元【解題攻略】向量中的三角換元原理之一，就是源于,實(shí)質(zhì)是圓。所以模定值，可以用圓的參數(shù)方程代換。【典例1-1】（2022上·廣東佛山·高三統(tǒng)考）菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則，的最小值為.【典例1-2】（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，，則向量的最小值為.【變式1-1】（2024上·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面向量，，滿足，，則的最大值為.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為.【變式1-3】（2023·上海·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是.高考練場1.（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得的圖象與圖象重合，則（

）A．， B．，C．， D．，2.（湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為__________．3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)(>0)的圖象的一個(gè)對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（

）A． B．C． D．4.（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？家荒＃┮阎本€是函數(shù)（）圖象的一條對稱軸，則在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B