第6講立體幾何小題

第6講立體幾何小題【復(fù)習(xí)目錄】一、認(rèn)識(shí)幾何體二、斜二側(cè)畫法三、求簡單幾何體的表面積四、求簡單幾何體的體積五、幾何體的“內(nèi)切”、“外接”球問題六、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系七、求異面直線的夾角八、直線、平面平行的判定與性質(zhì)九、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)十、立體幾何小題綜合【知識(shí)歸納】1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR35．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b6.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b7．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a，b?α))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b8.平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α【題型歸納】題型一、認(rèn)識(shí)幾何體1．（2223高一下·寧夏吳忠·期末）下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是（

）A．一個(gè)斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C．有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐D．平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的矩形【答案】C【分析】根據(jù)直棱柱、正棱錐、棱錐的分類，以及平行六面體的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，斜棱柱的側(cè)面中，可以有的側(cè)面是矩形，所以A不正確；對(duì)于B中，根據(jù)正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；對(duì)于C中，根據(jù)棱錐的分類，可得有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；對(duì)于D中，平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2223高一下·黑龍江牡丹江·期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面 B．斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形C．圓柱的母線平行于軸 D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的性質(zhì)判斷即可.【詳解】由棱柱的性質(zhì)可知A正確，B錯(cuò)誤；由圓柱的性質(zhì)可知C正確；由正棱錐的性質(zhì)可知D正確.故選：B3．（2223高一下·上海楊浦·期末）下面五個(gè)命題：（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（3）四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形；（4）有兩個(gè)側(cè)面是矩形的三棱柱是直三棱柱；（5）有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】空間四邊形也可以滿足兩組對(duì)邊分別相等，故（1）錯(cuò)誤；四邊形一組對(duì)邊平行可知，則由公理可知四邊形共面，故（2）正確；對(duì)四邊形為平面四邊形時(shí)和空間四邊形進(jìn)行討論，可以判斷（3）正確；根據(jù)直線與平面的判定定理，得到這兩個(gè)側(cè)面的交線垂直于底面，故（4）正確；若側(cè)棱與底面兩條平行的兩邊垂直，有兩個(gè)側(cè)面均是矩形，此時(shí)的棱柱不一定是直棱柱，故（5）錯(cuò)誤.【詳解】空間四邊形也可以滿足兩組對(duì)邊分別相等，故（1）錯(cuò)誤；四邊形一組對(duì)邊平行可知，則由公理可知四邊形共面，四邊形為平面四邊形，由平行四邊形判定定理可知：兩組對(duì)邊分別平行的平面四邊形是平行四邊形，故（2）正確；當(dāng)四邊形為平面四邊形時(shí)，根據(jù)矩形的判定可知：四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形；當(dāng)四邊形為空間四邊形時(shí)，假設(shè)存在四個(gè)角都是直角的空間四邊形，則為，的公垂線，為，的公垂線,這與公垂線的性質(zhì)矛盾，故不存在四個(gè)角都是直角的空間四邊形，故命題（3）正確；對(duì)有兩個(gè)側(cè)面是矩形的三棱柱，根據(jù)直線與平面的判定定理，得到這兩個(gè)側(cè)面的交線垂直于底面，故（4）正確；若側(cè)棱與底面兩條平行的兩邊垂直，有兩個(gè)側(cè)面均是矩形，此時(shí)的棱柱不一定是直棱柱，故（5）錯(cuò)誤.故選：C.題型二、斜二側(cè)畫法4．（2223高一下·山東德州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對(duì)角線AC的長度為（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則確定原圖形，利用勾股定理求得長度．【詳解】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，由斜二測(cè)法則知，，所以．故選：C．5．（2223高一下·江西撫州·期末）四邊形直觀圖為如圖矩形，其中，，則四邊形的周長為（

）

A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法結(jié)合題意將直觀圖還原為原四邊形，再求出其邊長即可得答案【詳解】由題意可得四邊形為平行四邊形，如圖所示，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，所以所以四邊形的周長為，故選：C

6．（2223高一下·遼寧沈陽·期末）如圖，一個(gè)水平放置的四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是矩形，，是的中點(diǎn)，則原四邊形的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，，即可得到平面圖形中，的值，即可求出四邊形的面積.【詳解】在直觀圖中為等腰直角三角形，所以，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以在平面圖形中，，所以.

故選：A題型三、求簡單幾何體的表面積7．（2023·海南?？凇ひ荒＃┮阎硤A臺(tái)的高為，上底面半徑為1，下底面半徑為2，則其側(cè)面展開圖的面積為（

）A．9π B． C． D．8π【答案】A【分析】求圓臺(tái)的側(cè)面積，直接利用公式求解.【詳解】∵圓臺(tái)的母線長為，∴其側(cè)面展開圖的面積.故選：A.8．（2023·安徽安慶·三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式求解.【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為，故選：C.9．（2223高一下·浙江寧波·期末）已知某圓錐的底面積為，且它的外接球的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由已知求得圓錐的底面半徑和圓錐的外接球的半徑，由勾股定理求圓錐的高，再利用勾股定理求圓錐母線長，代入圓錐的側(cè)面積公式得答案．【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，圓錐的外接球的半徑為R，，；，，設(shè)圓錐底面圓心為，外接球球心為，如圖所示，

則有，即，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓錐的側(cè)面積為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓錐的側(cè)面積為.故選：C題型四、求簡單幾何體的體積10．（2223高一下·安徽六安·期末）在正四棱臺(tái)中，，，則該四棱臺(tái)的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】作出截面，過點(diǎn)作，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得高，再計(jì)算體積即可.【詳解】過，作出截面如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)檎睦馀_(tái)中，又由，所以由勾股定理可得：，，又因，故，故梯形為等腰梯形，所以，故，所以，該四棱臺(tái)的體積為.故選：D.11．（2223高一下·湖南湘西·期末）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則（

）A．該圓錐的體積為； B．該圓錐的側(cè)面積為；C．； D．的面積為2.【答案】D【分析】利用圓錐體積、側(cè)面積公式可判定A、B，利用二面角的概念構(gòu)造其平面角計(jì)算可判定C、D.【詳解】依題意，，，所以易得，，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，，則，，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：D.

12．（2223高一下·寧夏吳忠·期末）用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺(tái)，經(jīng)過正四棱臺(tái)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺(tái)的對(duì)角面．若正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2，4，對(duì)角面面積為，則該棱臺(tái)的體積為（

）A．28 B． C． D．74【答案】A【分析】設(shè)正四棱臺(tái)的高為，根據(jù)對(duì)角面的面積，列出方程，求得，結(jié)合棱臺(tái)的體積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長分別為，所以，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則，可得，正四棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，則該正棱臺(tái)的體積為.故選：A.

題型五、幾何體的“內(nèi)切”、“外接”球問題13．（2223高一下·甘肅臨夏·期末）已知四棱錐的體積為，側(cè)棱底面，且四邊形是邊長為2的正方形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意確定四棱錐的外接球的球心位置，求出外接球半徑，即可求得外接球表面積.【詳解】由題意四棱錐的體積為，側(cè)棱底面，且四邊形是邊長為2的正方形，得,

設(shè)O為PC的中點(diǎn)，E為的交點(diǎn)，連接，則E為的中點(diǎn)，故,且因?yàn)榈酌妫势矫?，平面，故，而四邊形是邊長為2的正方形，故，故,則，又，故，同理求得，即，故O為四棱錐的外接球的球心，則半徑為，則該四棱錐的外接球的表面積為，故選：A14．（2223高一下·遼寧大連·期末）菱形十二面體是由12個(gè)全等的菱形構(gòu)成的，其有24條棱，14個(gè)頂點(diǎn)，它每個(gè)面的兩條對(duì)角線之比為，已知一個(gè)菱形十二面體的棱長為，體積為16，則該菱形十二面體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形十二面體的性質(zhì)，結(jié)合其內(nèi)切球的性質(zhì)，將菱形十二面體分割為十二個(gè)四棱錐，結(jié)合其幾何性質(zhì)，求其高，可得球的半徑，可得體積.【詳解】由題意，設(shè)菱形十二面體內(nèi)切球的球心為，其中一個(gè)面為菱形，過作平面的垂線，以為垂心，連接，可得四棱錐，如下圖所示：

由棱形十二面體的性質(zhì)，可知為菱形的中心，即，易知棱形十二面體體積等于十二個(gè)四棱錐的體積，故四棱錐的體積，由題意，可得，，在菱形中，易知，在，由，且，則，，故菱形的面積，在四棱錐中，，由內(nèi)切球的性質(zhì)，可得其半徑為，其體積.故選：C.15．（2223高一下·廣西南寧·期末）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正三棱錐的特征，由勾股定理即可求解半徑，進(jìn)而由體積公式求解.【詳解】由已知可得是正三棱錐，設(shè)PH是正三棱錐的高，易知外接球求心O在PH上，且H為底面正的中心．如圖，設(shè)外接球的半徑為R，由題可知，則．由得，解得，所以外接球的體積為．故選：C．

題型六、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系16．（2223高一下·上海嘉定·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若兩直線、互相平行，則平行于經(jīng)過的任何平面B．若直線與平面平行，則平行于內(nèi)的任何直線C．若兩直線、都與平面平行，則D．若直線平行于平面，直線在平面內(nèi)，則或者與為異面直線【答案】D【分析】根據(jù)已知條件判斷各選項(xiàng)中線線、線面位置關(guān)系，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，記經(jīng)過直線的平面為，若兩直線、互相平行，則或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的直線平行或異面，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若兩直線、都與平面平行，則、平行、相交或異面，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線平行于平面，直線在平面內(nèi)，則或者與為異面直線，D對(duì).故選：D.17．（2223高一下·廣西南寧·期末）已知、m、n表示三條不同的直線，、、表示三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若、m、n兩兩相交且不共點(diǎn)，則、m、n共面；②若，則與內(nèi)的任意一條直線平行；③若，，則；④若，，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對(duì)①，根據(jù)三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一平面判斷即可；對(duì)②③，根據(jù)舉反例判斷即可；對(duì)④，根據(jù)面面垂直的判定判斷即可.【詳解】對(duì)①，由、m、n兩兩相交且不共點(diǎn)，可得分別分別相交于3點(diǎn)，且三點(diǎn)不共線，故該3點(diǎn)能確定一平面，即所在的平面，故①正確；對(duì)②，在正方體中，但與不平行，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③，在正方體中平面平面，平面平面，且平面平面，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，由線面垂直的性質(zhì)可得④正確；綜上有①④正確.故選：C18．（2223高一下·山東淄博·期末）設(shè)，表示不同的直線，，，表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①若，，則

②若，，則③若，，，則

④若，，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系判斷①②④；根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)判斷③.【詳解】若，，則，故①正確；若，，則可能相交，故②錯(cuò)誤；若，，，過直線m做平面γ且α∩γ＝s（s異于l），作平面φ且β∩φ＝t（t異于l），因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，因sβ，tβ中，從而s∥β，因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正確；若，，則可能異面，故④錯(cuò)誤.故選：B.題型七、求異面直線的夾角19．（2223高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）空間四邊形的對(duì)角線，，分別為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，分別連接，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，在中，即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，分別連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，即為或其補(bǔ)角因?yàn)椋?，在中，因?yàn)榍?，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：D

20．（2223高一下·福建福州·期末）如圖，在三棱錐中，，，平面ABC，E為CD的中點(diǎn)，則直線BE與AD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及異面直線所成角的定義，結(jié)合勾股定理及余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面所以，，又，所以兩兩垂直，且，所以，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以直線BE與AD所成角為或其補(bǔ)角，，，，中，根據(jù)余弦定理.故選：A21．（2223高一下·黑龍江·期末）三棱臺(tái)中，兩底面和分別是邊長為2和1的等邊三角形，平面．若，則異面直線與所成角的余弦值為（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】以為鄰邊作平行四邊形，則且，從而可得即為異面直線AC與所成角或其補(bǔ)角，再解即可.【詳解】如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則且，故即為異面直線AC與所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，則，在中，，即異面直線AC與所成角的余弦值為.故選：D.

題型八、直線、平面平行的判定與性質(zhì)22．（2223高一下·甘肅蘭州·期末）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中平行垂直關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則與的位置關(guān)系有：平行、相交或直線b在平面α內(nèi)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則∥或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)或∥時(shí)，則，本選項(xiàng)無法確定與的位置關(guān)系，故與不一定垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)平面，因?yàn)椋擅婷嫫叫械呐卸ǘɡ砜傻茫骸?，∥，所以∥，故D正確；故選：D.23．（2223高一下·貴州黔東南·期末）已知平面和直線，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，直線與平面相交，則直線必與平面相交D．若平面內(nèi)有無窮多條直線都與平面平行，則平面與平面平行【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，直線與平面相交，則直線必與平面相交，故C正確；對(duì)于D：若平面內(nèi)有無窮多條直線都與平面平行，則平面與平面平行或相交，故D錯(cuò)誤.故選：C24．（2223高一下·河北石家莊·期末）已知a、b表示兩條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】C【分析】舉例說明判斷ABD；推理判斷C作答.【詳解】在長方體，令平面是平面，

對(duì)于A，若平面為平面，直線為直線，直線為直線，顯然，，，此時(shí)直線是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若平面為平面，直線為直線，直線為直線，顯然，，，此時(shí)平面與相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，若平面為平面，直線為直線，直線為直線，顯然，，，此時(shí)直線相交，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，在直線上取點(diǎn)，過作直線，相交直線確定平面，由知，與相交，令交線為，

顯然，由，，得，而，于是，又，從而，而，所以，C正確.故選：C題型九、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)25．（2223高一下·寧夏吳忠·期末）已知直線與平面，則的充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可以在長方體中取反例,用排除法得到正確選項(xiàng).【詳解】取長方體

由可令為，為,為平面,為平面發(fā)現(xiàn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可令為，為,為平面,為平面發(fā)現(xiàn)不垂直，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，可令為平面,為平面，為平面,發(fā)現(xiàn)不垂直，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.26．（2223高一下·吉林·期末）設(shè)，，表示空間中三條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)直線、平面之間的位置關(guān)系，及線面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不一定有，也可能異面，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)，平行時(shí)，可能不成立，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)定理知，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能相交，所以D錯(cuò)誤.故選：C.27．（2223高一下·江西新余·期末）已知空間中三條不同的直線a，b，c，三個(gè)不同的平面，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則B．若，，則與平行或相交C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中的線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由線面平行判定定理可知A正確；對(duì)于B，，，則與平行或相交，故B正確；對(duì)于C，垂直于同一平面的直線和平面平行或線在面內(nèi)，而，故正確；對(duì)于D，，，，三條交線平行或交于一點(diǎn)，如圖1，正方體兩兩相交的三個(gè)平面ABCD，平面，平面，平面平面，平面平面，平面平面，但AB，AD，不平行，故D錯(cuò)誤，

故選：D．題型十、立體幾何小題綜合28．（2223高一下·湖南岳陽·期末）已知圓臺(tái)上下底面半徑分別為3，4，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45°，且該圓臺(tái)上下底面圓周都在某球面上，則該球的體積為．【答案】【分析】根據(jù)圓臺(tái)軸截面及已知求圓臺(tái)的高，再根據(jù)球體半徑與圓臺(tái)上下底面半徑的幾何關(guān)系列方程求出球體半徑，進(jìn)而求球體的體積．【詳解】由題意，作出圓臺(tái)的軸截面如下圖示,故，

設(shè)球心為，球半徑為，由于，則，可得，所以該球體積為．故答案為：29．（2223高一下·湖南湘西·期末）近期，貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起足球發(fā)燒友、旅游愛好者、社會(huì)名流等的廣泛關(guān)注.足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級(jí)非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗和臣子們蹴鞠的場(chǎng)景.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，連接這四點(diǎn)構(gòu)成三棱錐如圖所示，頂點(diǎn)A在底面的射影落在內(nèi)，它的體積為，其中和都是邊長為6的正三角形，則該“鞠”的表面積為.

【答案】【分析】由線面垂直關(guān)系，利用分割法求三棱錐體積，由垂直關(guān)系結(jié)合球心性質(zhì)找到球心位置，再運(yùn)算求解球半徑即可.【詳解】如圖，

取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，又平面，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，同理可證，平面平面，設(shè)和的中心分別為、，在平面內(nèi)，過、分別作的垂線，設(shè)交點(diǎn)為，即，又平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面，同理可得，平面，即球心為，設(shè)“鞠”的半徑為，連接，則，即：，又，，所以，又頂點(diǎn)A在底面的射影落在內(nèi)，則，由，為公共邊，得與全等，則為的角平分線，所以.在中，因?yàn)?，則在中，，，所以該“鞠”的表面積.故答案為：30．（2223高一下·北京豐臺(tái)·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)之間距離的最小值為；②當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為定值；③存在點(diǎn)，，使得平面；④當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得截面的周長為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】②③【分析】對(duì)于①，根據(jù)垂線段最短，結(jié)合等邊三角形圖形特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可；對(duì)于②，根據(jù)三棱錐體積公式進(jìn)行判斷即可；對(duì)于③，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而判斷即可；對(duì)于④，根據(jù)正方體圖形特點(diǎn)找到截面，進(jìn)而求解周長即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接，如圖所示，

則為線段的中點(diǎn)，是邊長為的正三角形，兩點(diǎn)之間距離的最小值為到的垂線段長度，此時(shí)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接，如圖所示，

顯然，到平面的距離為定值，面積為定值，結(jié)合三棱錐體積公式可知，三棱錐的體積為定值，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，如圖所示，

由正方體可知平面，，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，即平面，所以存在點(diǎn)，，使得平面，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，延長交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，

由得四邊形是平行四邊形，所以，由可知，即，所以是中點(diǎn)，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,，所以平面截該正方體所得截面為等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周長為,即當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得截面的周長為，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.【專題強(qiáng)化】一、單選題31．（2223高一下·湖北武漢·期中）如圖，四邊形的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（）A． B．C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為【答案】D【分析】過作交于點(diǎn)，求出，即可判斷B，再還原平面圖，求出相應(yīng)的線段長，即可判斷ACD.【詳解】對(duì)于B：如圖過作交于點(diǎn)，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A：還原平面圖如下圖，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C：過作交于點(diǎn)，則，由勾股定理得，故四邊形的周長為：，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D：四邊形的面積為：，即D正確.故選：D.32．（2223高一下·北京通州·期末）設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】由線面平行，線面垂直，面面平行，面面垂直的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】A：若，，則或相交，故A錯(cuò)誤；B：若，，由線面平行和垂直的性質(zhì)可得，故B正確；C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；D：若，，則或或，故D錯(cuò)誤；故選：B.33．（2223高一下·湖南岳陽·期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑，圓柱體的高，圓錐體的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合組合體特征，分解為圓柱、圓錐兩個(gè)幾何體，利用它們的表面積的計(jì)算方法，計(jì)算出正確答案.【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為，所以陀螺的表面積是.故選：B.34．（2223高一下·新疆喀什·期末）正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則與所成角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，利用幾何法求出異面直線夾角即得.【詳解】正方體中，連接，由分別是的中點(diǎn)，得，四邊形是正方體的對(duì)角面，則四邊形是矩形，于是，即有，因此是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中，，則，所以與所成角為.故選：C35．（2223高一下·天津和平·期末）設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，且，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)空間直線，平面的位置關(guān)系及其性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若，且，根據(jù)線面垂直可知，.故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則可能會(huì)平行、相交或異面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B36．（2223高一下·安徽六安·期末）如圖，是所在平面外一點(diǎn)，，，且面，，則與平面的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由棱錐體積公式可求得，結(jié)合解三角形的知識(shí)可求得，由體積橋可求得點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而得到所求角的正弦值，即可求得結(jié)果.【詳解】，，，；平面，平面，，，又，，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，與平面的夾角為，，解得：，，又，，即直線與平面的夾角為.故選：C.37．（2223高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知直線、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若，，則③若，，且，則④若，，且，則其中正確的命題是（）A．①③ B．①② C．①④ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)線線、線面和面面位置關(guān)系的有關(guān)知識(shí)對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行分析,由此確定正確答案.【詳解】對(duì)于①,若,則分別為一個(gè)法向量，由,所以①正確；對(duì)于②,若,則可能是異面直線，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若,則,由于,所以,所以③正確；對(duì)于④，若，，且,此時(shí)無法判斷是否與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；故④錯(cuò)誤；故選:A.38．（2223高一下·北京密云·期末）如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）

A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使得平面C．是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為D．對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面【答案】C【分析】對(duì)于A，由得平面，從而點(diǎn)到平面的距離為，再由，由此能求出三棱錐的體積；對(duì)于B，若存在點(diǎn)，使得平面，由平面，得，可得，與矛盾；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，利用線面垂直的判定定理可證得平面；對(duì)于C，推導(dǎo)出，由余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求出結(jié)果；對(duì)于D，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，無論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交.【詳解】對(duì)于A，如圖，在棱長為1的正方體中，平面平面，平面，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，又，三棱錐的體積，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若存在點(diǎn)，使得平面，由平面，得，則為正方形，，與矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)題意，過點(diǎn)的截面與棱分別交于，可得為平行四邊形，如圖，正方體中，平面，平面，，設(shè)，則，又，則中，，，則該截面面積，，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，無論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交，故D錯(cuò)誤；故選：C．二、多選題39．（2223高一下·陜西西安·期末）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中正確的序號(hào)是（

）A．直線與直線相交；B．直線與直線平行；C．直線BM與直線是異面直線；D．直線與直線成角.【答案】CD【分析】將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體，根據(jù)異面直線的定義，可判定A、B不正確；C正確；再結(jié)合異面直線所成的角的定義與求解，可判定D正確.【詳解】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體，對(duì)于A中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以A不正確；對(duì)于B中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以B不正確；對(duì)于C中，平面平面，平面，平面，所以直線與不相交，連接，則，而與相交，所以與不平行，否則，不合題意，所以直線與是異面直線，所以C正確；對(duì)于D中，連接，則為正三角形，可得，又由，則為直線與直線所成的角，即直線與直線所成的角為，所以D正確.故選：CD.40．（2223高一下·湖南湘西·期末）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的有（

）A．該圓臺(tái)軸截面面積為B．與的夾角C．該圓臺(tái)的體積為D．沿著該圓臺(tái)側(cè)面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為【答案】AD【分析】對(duì)于A，根據(jù)已知條件求出圓臺(tái)的下底面半徑和高，利用梯形的面積公式即可求解；對(duì)于B，根據(jù)已知條件及圖形，結(jié)合向量夾角的定義即可求解；對(duì)于C，利用圓臺(tái)的體積公式即可求解；對(duì)于D，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，得到展開圖，求得圓心，利用勾股定理即可求解.【詳解】對(duì)于A，由，且，得，圓臺(tái)高為，∴圓臺(tái)軸截面面積為，故A正確；對(duì)于B，由已知及題圖知，且，∴，與的夾角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中，且為中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐體側(cè)面（一半）展開為扇形，且，∵，∴在中，，即到中點(diǎn)的最短距離為，故D正確.故選：AD41．（2223高一下·遼寧大連·期末）設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】AD【分析】根據(jù)平行公理以及面面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合長方體的幾何性質(zhì)，利用反例，可得答案.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)平行的傳遞公理，可得A正確；對(duì)于B，由題意，作長方體，連接，如下圖所示：

設(shè)為平面，為平面，，，顯然，，，但與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意，作長方體，連接，如下圖所示：

設(shè)為平面，，，顯然，，但與為異面直線，不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得，D正確.故選：AD.42．（2223高一下·甘肅定西·期末）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與平面的交線為，則下列說法正確的是（

）

A． B．平面C．三棱錐的體積為 D．直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用線面平行的判定與性質(zhì)定理判斷即可；對(duì)于B，利用線面垂直的判定定理判斷即可；對(duì)于C，利用等體積法即可判斷；對(duì)于D，利用異面直線所成角的定義與勾股定理即可判斷.【詳解】因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，又平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，故B正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又平面，所以平面，又是的中點(diǎn)，所以到面的距離為，而，所以，故C正確；因?yàn)樵谡叫沃?，，又，則，所以與所成角為（或補(bǔ)角），因?yàn)槠矫妫矫?，所以，故，在中，，在中，，，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用線面平行的性質(zhì)定理證得，從而將ABD選項(xiàng)中的相關(guān)的結(jié)論轉(zhuǎn)化為與的相關(guān)結(jié)論，從而得解.43．（2223高一下·黑龍江大慶·期末）在平面凸四邊形中，，，，現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，設(shè)二面角的平面角為，若，當(dāng)則三棱錐的外接球的表面積可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可知四頂點(diǎn)共圓，過圓心作圓面的垂線，過圓心翻折對(duì)應(yīng)點(diǎn)作折后平面的垂線，兩者的交點(diǎn)即為外接球的球心，則結(jié)合圖形可求球的半徑范圍，繼而可求三棱錐的外接球的表面積的范圍.【詳解】平面凸四邊形中，，，平面凸四邊形中，四頂點(diǎn)共圓，令平面凸四邊形所在圓的圓心為,沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，取中點(diǎn),連接,過點(diǎn)作平面的垂線，過點(diǎn)作平面的垂線，令兩條垂線的交點(diǎn)為,

在中由正弦定理可得的直徑,由垂徑定理可得,由翻折對(duì)稱可知,平面,平面,,同理,又，,,,又二面角的平面角,即,,,中,外接求得半徑,三棱錐的外接球的表面積,故選：BCD.三、填空題44．（2223高一下·天津和平·期末）在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【分析】利用三棱錐與長方體的外接球求法求解.【詳解】

由題意可知，可將該三棱錐在長方體中作出，所以三棱錐的外接球即為長方體的外接球，為外接球的直徑，所以,所以外接球的半徑為,所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為:.45．（2223高一下·甘肅臨夏·期末）如圖，圓錐的底面半徑為3，母線長為4，是圓錐的高，點(diǎn)C是底面直徑所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線上的點(diǎn)，，則直線與平面所成的角的正切值為．

【答案】/【分析】作出直線與平面所成的角，求出OD的長，解直角三角形即可求得答案.【詳解】連接，

因?yàn)槭菆A錐的高，故平面，平面，故，又點(diǎn)C是底面直徑所對(duì)弧的中點(diǎn)，則，平面，故平面，則即為直線與平面所成的角，因?yàn)閳A錐的底面半徑為3，母線長為4，故，，則,故,在中，,即直線與平面所成的角的正切值為，故答案為：46．（2223高一下·山東威海·期末）已知三棱錐中，平面，，，.在此棱錐表面上，從點(diǎn)經(jīng)過棱上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的路徑中，最短路徑的長度為，則該棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)幾何體的線面關(guān)系可將其放進(jìn)一個(gè)長方體，外接球直徑就是體對(duì)角線長，此時(shí)需要長方體的長寬高數(shù)據(jù)，根據(jù)題干中的最短路徑數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化成平面問題列余弦定理方程求解.【詳解】

由于平面，，可將三棱錐放在一個(gè)如上圖的長方體里，長方體的外接球直徑就是三棱錐的外接球，就是體對(duì)角線的長，下將翻折到和共面的狀態(tài)，如下圖：

由平面，平面，故，在上圖長方體中，顯然平面，又平面，故，在中，，則，于是，由題意，點(diǎn)經(jīng)過棱上一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的路徑中，最短路徑的長度為，則平面圖中的，設(shè)，在中，由余弦定理，，整理得，解得（負(fù)值舍去）.故長方體中，，則，即為外接球直徑，故外接球的表面積是.故答案為：47．（2223高一下·黑龍江大慶·期末）現(xiàn)有甲乙兩個(gè)形狀完全相同的四棱臺(tái)容器如圖所示，已知，，現(xiàn)按一定的速度勻速往甲容器里注水，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)7分鐘，如果按照相同的速度勻速往乙容器里注水，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)分鐘．

【答案】19【分析】根據(jù)