經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊）課件 第14講3.5利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第14講顧靜相3.5利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)教學(xué)要求

掌握判斷函數(shù)圖形的凹凸性及拐點(diǎn)方法．函數(shù)的凹凸與拐點(diǎn)

在研究函數(shù)圖像的變化狀況時，了解它上升和下降的規(guī)律是有用的，但上升和下降不能完全反映圖像的變化．如圖所示的函數(shù)圖像在區(qū)間內(nèi)始終是上升的，但卻有不同的彎曲狀況.

它從左端點(diǎn)開始，曲線先向上彎曲，通過點(diǎn)P后變?yōu)橄蛳聫澢耍虼耍芯亢瘮?shù)圖像時，考察它的彎曲方向以及改變彎曲方向的點(diǎn)是完全必要的．yxOabPy=f(x)曲線凹凸的定義

定義3.2如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凹的，如圖14-1；

如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凸的，如圖14-2．圖14-1圖14-2曲線凹凸的幾何意義

由圖14-1發(fā)現(xiàn)，對于凹曲線，當(dāng)

x逐漸增加時，其上每一點(diǎn)切線的斜率是逐漸增加的，即導(dǎo)函數(shù)

f

(x)是單調(diào)增加函數(shù)；而圖12-2中的凸曲線，其上每一點(diǎn)切線的斜率是逐漸減少的，從而

f

(x)是單調(diào)減少函數(shù)．圖14-1圖14-2曲線凹凸的判別定理

定理3.8設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，(1)若a<x<b

時，恒有

f

(x)>0，則曲線

y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的；(2)若a<x<b

時，恒有

f

(x)<0，則曲線

y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的．曲線拐點(diǎn)的概念

定義3.3曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).

拐點(diǎn)既然是凹與凸的分界點(diǎn)，那么在拐點(diǎn)的左、右鄰近

f

(x)

必然異號，因而在拐點(diǎn)處有

f

(x)=0或

f

(x)不存在．

與駐點(diǎn)的情形類似，使

f

(x)=0的點(diǎn)只是可能的拐點(diǎn)．究竟它是否為拐點(diǎn)，還要根據(jù)

f

(x)在該點(diǎn)的左、右鄰近是否異號來確定.曲線的凹凸與拐點(diǎn)

求拐點(diǎn)的一般步驟：

（1）求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

f

(x)；

（2）令

f

(x)=0，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

（3）對步驟（2）求出的每一個點(diǎn)，檢查其左、右區(qū)間中

f

(x)的符號，如果異號則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；如果同號則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例1 求曲線

y=x4

-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例1 求曲線

y=x4

-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例1 求曲線

y=x4

-2x3+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．當(dāng)x

(-∞,0)時，f

(x)>0，區(qū)間(-

,0)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)

x

(0,1)時，f

(x)<0，區(qū)間(0,1)為曲線的凸區(qū)間；曲線的凹凸與拐點(diǎn)解

因?yàn)?/p>

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．當(dāng)x

(-∞,0)時，f

(x)>0，區(qū)間(-

,0)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)

x

(0,1)時，f

(x)<0，區(qū)間(0,1)為曲線的凸區(qū)間；當(dāng)

x

(1,+∞)時，f

(x)>0，區(qū)間(1,+

)為曲線的凹區(qū)間；所以，曲線的拐點(diǎn)為(0,1)和(1,0)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例2 求曲線

y=(2x-1)4+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例2 求曲線

y=(2x-1)4+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例2 求曲線

y=(2x-1)4+1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．當(dāng)

x

(-∞,0.5)時，f

(x)>0，區(qū)間

(-

,0.5)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)x

(0.5,+∞)時，f

(x)>0，區(qū)間(0.5,+

)為曲線的凹區(qū)間；所以，曲線的凹區(qū)間為

(-

,+

)，沒有凸區(qū)間，也沒有拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例3 求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例3 求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

，

；當(dāng)

x=4時，y

不存在，且

y

在(-

,+

)內(nèi)沒有使

y

=0的點(diǎn)．曲線的凹凸與拐點(diǎn)例3 求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．解

因?yàn)?/p>

，

；當(dāng)

x=4時，y

不存在，且

y

在(-

,+

)內(nèi)沒有使

y

=0的點(diǎn)．當(dāng)

x

(-∞,4)時，f

(x)>0，區(qū)間

(-∞,4)為曲線的凹區(qū)間；當(dāng)x

(4,+∞)時，f

(x)<0，區(qū)間(4,+

)為曲線的凸區(qū)間；所以，曲線的拐點(diǎn)為(4,2)．曲線的漸近線

有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間，其圖形向無窮遠(yuǎn)延伸，如雙曲線、拋物線等．有這樣特性的、且在向無窮遠(yuǎn)延伸時曲線將接近某一條直線，這樣的直線叫做曲線的漸近線．曲線的漸近線定義

定義3.4如果曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無窮時，該點(diǎn)與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線．曲線的漸近線1．水平漸近線

設(shè)曲線y=f(x)，如果

，則稱直線

y=c為曲線

y=f(x)的水平漸近線．

如果極限

不存在，那么曲線無水平漸近線．曲線的漸近線2．鉛垂?jié)u近線

如果曲線

y=f(x)在點(diǎn)

x0

處間斷，且

，則稱直線

x=x0

為曲線

y=f(x)的鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線例4求曲線

的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線例4求曲線

的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線．

解

因?yàn)?/p>

，所以直線

y=1是曲線的水平漸進(jìn)線．

又因?yàn)?/p>

2是

的間斷點(diǎn)，且

，所以直線

x=2是曲線的鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線3．斜漸近線

設(shè)曲線y=f(x)，如果有=0成立，則稱直線

y=ax+b為曲線

y=f(x)的斜漸近線．其中

，

．曲線的漸近線例5求曲線

的漸近線．

曲線的漸近線例5求曲線

的漸近線．

解

因?yàn)?/p>

不存在，所以曲線無水平漸近線.

因?yàn)?/p>

x=-1是

的間斷點(diǎn)，且

，所以直線

x=-1是曲線的鉛垂?jié)u近線．

曲線的漸近線又因?yàn)?/p>

，

所以直線

y=x

-1

是曲線的斜漸近線．，

函數(shù)作圖

利用一、二階導(dǎo)數(shù)可以獲得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)等，利用極限可以獲得函數(shù)的漸近線．這樣就可以較準(zhǔn)確地繪出函數(shù)的圖形，看出因變量

y是如何依賴于自變量

x的變化而變化的狀況．

函數(shù)作圖

利用導(dǎo)數(shù)和極限描繪函數(shù)

y=f(x)的圖形，一般包括下列幾步：

（1）確定函數(shù)的定義域，討論函數(shù)的周期性、有界性、對稱性（奇或偶）等；函數(shù)作圖

利用導(dǎo)數(shù)和極限描繪函數(shù)

y=f(x)的圖形，一般包括下列幾步：

（1）確定函數(shù)的定義域，討論函數(shù)的周期性、有界性、對稱性（奇或偶）等；

（2）通過一階導(dǎo)數(shù)獲得函數(shù)圖形的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，通過二階導(dǎo)數(shù)獲得函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)；

（3）通過求漸近線獲得動點(diǎn)沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時的性態(tài)；

函數(shù)作圖

（3）通過求漸近線獲得動點(diǎn)沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時的性態(tài)；

（4）適當(dāng)補(bǔ)充一些點(diǎn)，如曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

（5）根據(jù)上述結(jié)果描出函數(shù)的圖形.

函數(shù)作圖例6作出函數(shù)

的圖形．

函數(shù)作圖例6作出函數(shù)

的圖形．

解

（1）定義域?yàn)?-

,-1)∪(-1,+

)；

（2）

由

，

解得駐點(diǎn)

x=1；

由

，

解得

x=2．當(dāng)x

(-

,-1)時，y

<0，y

(x)<0，故(-

,-1)是函數(shù)的單調(diào)減少、凸區(qū)間；當(dāng)

x

(-1,1)時，y

>0，y

(x)<0，故(-1,1)是函數(shù)的單調(diào)增加、凸區(qū)間；

函數(shù)作圖當(dāng)

x

(1,2)時，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函數(shù)的單調(diào)減少、凸區(qū)間，且

x=1是函數(shù)

y(x)的極大值點(diǎn)，極大值是

；函數(shù)作圖當(dāng)

x

(1,2)時，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函數(shù)的單調(diào)減少、凸區(qū)間，且

x=1是函數(shù)

y(x)的極大值點(diǎn)，極大值是

；當(dāng)x

(2,+

)時，f

(x)<0，y

(x)>0，故(2,+

)是函數(shù)的單調(diào)減少、凹區(qū)間，且

是函數(shù)

y(x)的拐點(diǎn)．函數(shù)作圖當(dāng)

x

(1,2)時，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函數(shù)的單調(diào)減少、凸區(qū)間，且

x=1是函數(shù)

y