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文檔簡(jiǎn)介
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第19講顧靜相4.5微分方程初步教學(xué)要求
了解微分方程的概念,會(huì)解簡(jiǎn)單的一階微分方程.基本概念
定義4.3含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程,稱為常微分方程.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)
(或微分)的最高階數(shù),稱為微分方程的階.基本概念
一階微分方程的一般形式為
.例如
,都是一階微分方程.
定義4.3含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程,稱為常微分方程.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)
(或微分)的最高階數(shù),稱為微分方程的階.基本概念
定義4.4如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后,使得方程兩端恒等,則此函數(shù)稱為該微分方程的解.基本概念
定義4.4如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后,使得方程兩端恒等,則此函數(shù)稱為該微分方程的解.
例如,y=x3+C,y=x3-1都是微分方程
y
=3x2的解.其中,
y=x3+C含有一個(gè)任意常數(shù),它稱為該微分方程的通解,而
y=x3-1是
C=1時(shí),該微分方程的解,它稱為該微分方程的特解.基本概念
為了確定通解中任意常數(shù)的值,通常需給出
x=x0
時(shí)未知函數(shù)對(duì)應(yīng)的值
y=y0,記作
y(x0)
=y0或
.這一條件稱為初始條件.可分離變量的微分方程
如果一階微分方程
F(x,y,y
)=0可以化為
g(y)dy=f
(x)dx(19.1)的形式,則
F(x,y,y
)=0稱為可分離變量微分方程.微分方程(19.1)稱為變量已分離的微分方程.可分離變量的微分方程
如果一階微分方程
F(x,y,y
)=0可以化為
g(y)dy=f
(x)dx(19.1)的形式,則
F(x,y,y
)=0稱為可分離變量微分方程.微分方程(19.1)稱為變量已分離的微分方程.
對(duì)變量已分離的微分方程(19.1),可直接求得其通解.實(shí)際上,在(19.1)式兩邊積分,得
,(19.2)其中
C是任意常數(shù).(19.2)就是微分方程(19.1)的通解表達(dá)式.可分離變量的微分方程注意:不定積分
,
分別表示g(y)
和
f
(x)的一個(gè)原函數(shù),任意常數(shù)
C要單獨(dú)寫出來.例1解微分方程
.可分離變量的微分方程例1解微分方程
.解將原方程改寫為:
;分離變量,得:
;兩邊積分,得:
,即
.可分離變量的微分方程記
,則方程的通解為:
.解將原方程改寫為:
;分離變量,得:
;兩邊積分,得:
,即
.可分離變量的微分方程例2解微分方程
.可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程例2解微分方程
.解分離變量,原微分方程化為:
,兩邊積分,得:
,即
.由上式解得方程的通解:
.可分離變量的微分方程例3
求微分方程
滿足初始條件
的特解.可分離變量的微分方程例3
求微分方程
滿足初始條件
的特解.解將原方程化為:
.
分離變量,得:
,兩邊積分,得:
,
所以,原方程的通解為:
y=Csinx.可分離變量的微分方程由初始條件
,可得
C=3.故所求特解為:
y=3sinx.解將原方程化為:
.
分離變量,得:
,兩邊積分,得:
,
所以,原方程的通解為:
y=Csinx.一階線性微分方程
未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程,稱為一階線性微分方程.一階線性微分方程的一般形式為y′+p(x)y=q(x).
(19.3)如果q(x)0,(19.3)式化為y′+p(x)y=0.
(19.4)稱為一階線性齊次微分方程.當(dāng)q(x)0時(shí),(19.3)式稱為一階線性非齊次微分方程.一階線性齊次微分方程的通解
方程
(19.4)
是可分離變量的微分方程.分離變量后,(19.4)式可化為:
,
兩邊積分,得:
.所以方程
(19.4)
的通解為:
.
(19.5)一階線性齊次微分方程例4
求下列一階線性齊次微分方程的通解:
.一階線性齊次微分方程例5
求一階線性齊次微分方程=
0
滿足初始條件
y(1)
=
1的特解.一階線性齊次微分方程例4
求下列一階線性齊次微分方程的通解:
.解
分離變量,得:
,兩邊積分,得:
,于是,得通解:
.一階線性齊次微分方程例5
求一階線性齊次微分方程=
0
滿足初始條件
y(1)
=
1的特解.解
分離變量,得:
,
兩邊積分,得:
,于是,得通解:
.一階線性齊次微分方程例5
求一階線性齊次微分方程=
0
滿足初始條件
y(1)
=
1的特解.解
分離變量,得:
,
兩邊積分,得:
,于是,得通解:
.由初始條件
y(1)
=1,可得
C=1.故所求特解為:
.一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法
一階線性非齊次微分方程(19.3)的通解可以利用“常數(shù)變易法”得到.
首先求得微分方程
(19.3)
對(duì)應(yīng)的一階線性齊次方程y′+p(x)y=0
的通解
(19.5),然后將公式
(19.5)
式中的任意常數(shù)
C換為待定的函數(shù)
C=C(x),即設(shè)方程(19.3)
的通解為:
.
(19.6)一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法通過推導(dǎo),得:(C是任意常數(shù)),將上式代入(19.6)式,得:
.(19.7)
可以驗(yàn)證,公式(19.7)就是一階線性非齊次方程(10.3)的通解,稱其為通解公式.
一階線性非齊次微分方程例6
求微分方程
的通解.一階線性非齊次微分方程例6
求微分方程
的通解.解先求對(duì)應(yīng)的一階線性齊次方程:y+2xy=0的通解,得:
.運(yùn)用“常數(shù)變易法”,令原方程的通解為:
,則
.
將
y和
y
代入原方程,得
,即
,積分,得:
.一階線性非齊次微分方程解先求對(duì)應(yīng)的一階線性齊次方程:y+2xy=0的通解,得:
.運(yùn)用“常數(shù)變易法”,令原方程的通解為:
,則
.
將
y和
y
代入原方程,得
,即
,積分,得:
.于是原方程的通解為:
.一階線性非齊次微分方程例7
求微分方程
y
-ycotx=
2xsinx的通解.一階線性非齊次微分方程例7
求微分方程
y
-ycotx=
2xsinx的通解.解法1
利用“常數(shù)變易法”求之,請(qǐng)大家課后練習(xí).解法2用通解公式
(19.7)
求方程的通解,由于
,得
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