專題25誘導(dǎo)公式6種常見考法歸類（53題）

專題25誘導(dǎo)公式6種常見考法歸類（53題）考點(diǎn)一給角求值考點(diǎn)二給值(式)求值考點(diǎn)三利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值考點(diǎn)四化簡(jiǎn)求值考點(diǎn)五三角恒等式的證明考點(diǎn)六誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1：誘導(dǎo)公式二：角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，其中知識(shí)點(diǎn)2：誘導(dǎo)公式三：角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，，其中知識(shí)點(diǎn)3：誘導(dǎo)公式四：角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，，其中知識(shí)點(diǎn)4：誘導(dǎo)公式五：，，其中誘導(dǎo)公式六：，，其中知識(shí)點(diǎn)5：誘導(dǎo)公式拓展注：誘導(dǎo)公式中角α可以是任意角，要注意正切函數(shù)中要求α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.知識(shí)點(diǎn)6：誘導(dǎo)公式口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說角(為常整數(shù))的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).解題策略1、利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化．(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角．(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角．(4)“銳求值”——得到銳角三角函數(shù)后求值．2、用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．3、解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．4、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦、余弦函數(shù)．(3)注意“1”的代換：1＝sin2α＋cos2α＝tan

eq\f(π,4).5、利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值的策略(1)已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)值求解，轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的應(yīng)用．(2)對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意要求的角與已知角之間的關(guān)系，并結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，特別要注意角的范圍．(3)常見的互余的角：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)的角：eq\f(π,6)＋α與eq\f(5π,6)－α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(2π,3)－α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(3π,4)－α等．6、三角恒等式的證明策略對(duì)于三角恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法．常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法．7、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為??；②看角與角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形，平方和差、立方和差公式．考點(diǎn)一給角求值1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）；；【答案】//【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】；．故答案為：；.2.（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.（2）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.（3）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.（4）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.3.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）利用公式求下列三角函數(shù)值：(1)：(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.4．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．(4)；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)即可得到答案.【詳解】（1）（2）（3）（4）.（5）原式.5.（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高三衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）．【答案】【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：．故答案為：.6．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）計(jì)算：＝．【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值求出答案.【詳解】．故答案為：17.（2024·高一專題練習(xí)）計(jì)算：______.【答案】【解析】原式.故答案為：.8.（2024·高一專題練習(xí)）計(jì)算：___________.【答案】0【解析】故答案為：0考點(diǎn)二給值(式)求值9．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知角的終邊過點(diǎn)，則．【答案】【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義可求，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求即可求解．【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，可得所以，故答案為：.10.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榈慕K邊上有一點(diǎn)，所以，，故選：C11.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與射線（）重合，則.【答案】【詳解】由題意，，且，，則由，解得，則.故答案為：.12．（2024·安徽亳州·高二蒙城縣第六中學(xué)校考期中）已知，，則.【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的同角關(guān)系式及誘導(dǎo)公式求解.【詳解】∵，即，又，∴，即，∵，，則，可得，所以．故答案為：.13．（2024·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？计谥校┮阎?，則的值是.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及商式關(guān)系，可得答案.【詳解】.故答案為：.14．（2024·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知是第三象限角，，則.【答案】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，，所以，所以，故答案為?15．（2024·上海浦東新·高三上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）如果，為第三象限角，則．【答案】/【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再求值【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，又且為第三象限角，所以，所以，故答案為：16．（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，求下列各三角函數(shù)的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】利用誘導(dǎo)公式一一計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：；（3）根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：.17.（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）若且是第二象限角，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，又由為第二象限角，所以．故選：B.18.（2023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若，則.【答案】/【詳解】由，得，解得，而，則，所以.故答案為：19.（2023春·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知，則.【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以原式故答案為?20.（2023秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由誘導(dǎo)公式可得，可求的值.【詳解】∵，∴，∴．故選：C考點(diǎn)三利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值21．（2024·上海閔行·高三上海市文來中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：22.（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以故選：D23．（2024·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】，故選：B．24．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：D25．（2024·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為整體，結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.26．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：D.27．（2024·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.28．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三?？茧A段練習(xí)）若，則.【答案】【分析】以為整體，根據(jù)誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：.29.（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知cos＝a(|a|≤1)，則cos＋sin的值是________.【答案】0【解析】∵，，.故答案為：0.考點(diǎn)四化簡(jiǎn)求值30．（2024·上海崇明·高三?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)：.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵，，，，，∴.故答案為：.31．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】利用誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）原式．（2）原式．32．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：.（2）化簡(jiǎn)；（3）化簡(jiǎn)．（4）化簡(jiǎn)；（5）化簡(jiǎn)；（6）已知，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6）【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】（1）原式＝；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）由可得，.33．（2024·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式將式子化簡(jiǎn)可得，再利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系代入計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，由誘導(dǎo)公式可得；顯然，將的分子分母同時(shí)除以可得，即.故答案為：34.（2023春·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎瑒t．【答案】/－0.6【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為：?5．（2024·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則等于（

）A．1 B．－ C． D．－【答案】D【分析】利用三角誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，故選:D.36.（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是第四象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知條件化簡(jiǎn)求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式及弦化切，計(jì)算即可.【詳解】由，解得或．因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以，故．故選：D.37.（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是第三象限角，且，則．【答案】2【詳解】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案為：238.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知為第二象限角，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)闉榈诙笙藿牵瑒t，因此，.故選：A.39.（2023秋·安徽·高二安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，所以原式.故選：B.40．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知．(1)化簡(jiǎn)；(2)若為第三象限角，且，求的值．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式代入計(jì)算即可得；（2）根據(jù)角的范圍將代入計(jì)算即可得.【詳解】（1）即（2）由，可得．因?yàn)闉榈谌笙藿牵虼?，?41.（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以;（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.42.（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由，得，所以；（2）由，得，則.43.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，鈍角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與半徑為的圓相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，．

(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由三角函數(shù)定義知：，又為第二象限角，.（2）.考點(diǎn)五三角恒等式的證明44．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）求證：.【答案】證明見解析【分析】利用切化弦和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可證明等式；【詳解】左邊＝＝右邊．故原式得證．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)符號(hào)的正負(fù).45．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求證：【答案】證明見解析【分析】對(duì)等式左邊用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)證明【詳解】左邊＝＝右邊，所以原等式成立．46．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求證：．【答案】證明見解析.【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式證明.【詳