黑龍江省牡丹江市海林市朝鮮族中學2024-2025學年高三上學期9月月考數(shù)學試卷（解析版）

2024-2025學年度第一學期高三年級數(shù)學學科第1次考試（導數(shù)、三角函數(shù)）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知的終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.－1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦值的定義可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式求解即可【詳解】由題得，所以.故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式、兩角差的正弦公式求得正確選項.【詳解】.故選：B3.已知函數(shù)在處取得極值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極值點處導函數(shù)為零可求解.【詳解】因為，則，由題意可知.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由誘導公式即可求出.【詳解】，.故選：C.5.將函數(shù)的圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，則函數(shù)gx的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)周期變換求解出第一步變換后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)平移變換得到gx【詳解】解：將圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得，再向左平移個單位長度后得，故選：D.6.函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A.1 B.3 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】在上是增函數(shù)，且的零點個數(shù)為.故選：A.【點睛】本題考查判零點個數(shù)，重點考查導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎題型.函數(shù)的零點的判斷方法有三種：一、直接求零點：令，如果能求出解，有幾個解就有幾個零點；二、零點存在性定理：函數(shù)在連續(xù)的區(qū)間上有定義且，則函數(shù)在上存在零點；三、先把所求的函數(shù)分解成兩個簡單的函數(shù)，再由兩函數(shù)圖象看交點個數(shù)，交點橫坐標即為函數(shù)的零點.7.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量，，共線，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形C.有一個內(nèi)角是的直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】由向量，共線可得，利用正弦定理結合倍角公式分析可得，同理可得，即可判斷結果.【詳解】因為向量，共線，則，由正弦定理可得，則，因為，則，可知均不為0，可得，則，即；同理由向量，共線可得；綜上所述：.所以的形狀為等邊三角形.故選：A.8.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域都為R，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知結合函數(shù)的奇偶性及周期性求值，根據(jù)復合函數(shù)導數(shù)法則求導，然后根據(jù)導函數(shù)的對稱行和周期性即可求解.【詳解】為偶函數(shù)，，，為奇函數(shù)，，，即，，，即函數(shù)的周期為4，，，，，，即，由得，，.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的定義域為C.的圖象關于點對稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得的最小正周期為，所以A不正確；令，解得，即函數(shù)的定義域為，所以B正確；令，解得，當時，可得，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，所以C正確；由，可得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D正確.故選：BCD.10.如圖所示是導函數(shù)的圖象，則下列結論中正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.是的極小值點C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.是的極小值點【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可判斷AC；根據(jù)極小值點的定義可判斷BD.【詳解】由圖象知，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；當時，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；當時，當時，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值點，是的極大值點，故B正確，D錯誤.故選：ABC11.下面比較大小正確的有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意可構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，運用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】根據(jù)題意可構造函數(shù)，則，由于函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，且，從而，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以，，，即，，，，故，選項A錯；，選項B正確；，選項C正確；，選項D錯.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______.【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)小于0，即可求得答案.【詳解】由題意得：，令，解得，由于，故，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為：13.已知中，已知，的面積，則邊長的值為_____．【答案】5【解析】分析】利用三角形面積公式可得，然后利用余弦定理即得.【詳解】設中三角所對邊為，則，∵，∴，由余弦定理可得，，解得，即.故答案為：5.14.已知實數(shù)成等比數(shù)列，且當時函數(shù)取得極大值，則___.【答案】【解析】【分析】通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極大值和極大值點，再利用等比數(shù)列求出即得.【詳解】由可知其定義域為，求導得，，由可得，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.故當時，取得極大值.又實數(shù)成等比數(shù)列，即，代入解得，，又由解得,故故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國傳統(tǒng)的樓閣式建筑.蜚英塔坐北朝南，磚石結構，平面呈六邊形，是江西省省級重點保護文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地.如圖，某學生為測量蜚英塔的高度，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米，，求蜚英塔的高度.【答案】35米【解析】【分析】設由圖中角的關系得到，，再由余弦定理求解即可；【詳解】設米，在中，，則米.在中，，則米.因為，所以由余弦定理得，整理得，得.所以蜚英塔的高度為35米.16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式整理可得，進而可得最小正周期；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，結合正弦函數(shù)最值分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，所以的最小正周期.【小問2詳解】由（1）可知：，令，解得，所以當，取到最小值為.17.的內(nèi)角的對邊分別為,若,，,求的面積.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和得到關于的方程，與條件等式聯(lián)立求得，代入三角形面積公式計算即得.【詳解】由余弦定理得，即，又,聯(lián)立解得，，故面積為：.18.已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)可判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可求出值域；（2）將代入不等式，分離參數(shù)，得在上恒成立，令，利用導數(shù)求出在上的最大值即可得解.【小問1詳解】當時，，，定義域，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時，取到最小值，，而，，，，因此函數(shù)值域為.【小問2詳解】由，得，即在上恒成立，設，，則，∵，∴，，∴當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當時，，因此，即的取值范圍是．19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導，求確定斜率，求確定切點坐標，利用點斜式即可求切線方程.（2）根據(jù)，確定