湖北省黃岡市2025屆高三上學期9月調(diào)研考試（一模）數(shù)學試題（解析版）

黃岡市2024年高三年級9月調(diào)研考試數(shù)學本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號，考場號，座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解二次不等式得出集合，利用函數(shù)的值域得出集合，再由交集的定義得出答案.【詳解】∵，∴，∴，又∵，∴，，∴，即，∴.故選：A2.復數(shù)，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，化簡復數(shù)，進而可求虛部.【詳解】，故的虛部為，故選：B3.若，則（）A. B.43 C. D.【答案】D【解析】【分析】由誘導公式計算出，在代入正切二倍角公式即可.【詳解】原方程可化為，故.故選：D4.若向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】按照投影向量的計算公式求解即可.【詳解】解：因為向量，則向量在向量上的投影向量為:.故選：B5.若，且，則的最小值為（）A.20 B.12 C.16 D.25【答案】D【解析】【分析】利用，結(jié)合基本不等式可求和的最小值.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：D.6.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，即可得到答案.【詳解】要使得有兩組解，則，又，得到，故選：D.7.設是定義在R上的兩個函數(shù)，若，有恒成立，下列四個命題正確的是（）A.若?x是奇函數(shù)，則也一定是奇函數(shù)B.若是偶函數(shù)，則?x也一定是偶函數(shù)C.若?x是周期函數(shù)，則也一定是周期函數(shù)D.若?x是R上的增函數(shù)，則在R上一定是減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，依據(jù)函數(shù)的奇偶性，通過反例，可判斷AB；根據(jù)周期性的定義可判斷C，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷D【詳解】對于A，令，對可得；而此時不是奇函數(shù)，故錯誤；對于B，令，是偶函數(shù)，對可得，此時?x為奇函數(shù)，故錯誤；對于C，設?x的周期為，若，有恒成立，令，，則，因為，所以，所以，所以函數(shù)y=gx對于D，設，?x是R上的增函數(shù)，所以，又即為即為，所以函數(shù)也都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故錯誤.故選：C8.已知向量，且，則與夾角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先得到的夾角為，設，，故，設，由得到，設，設夾角為，表達出，換元后得到，由對勾函數(shù)性質(zhì)得到其值域，從而確定，得到夾角最大值.【詳解】因為，所以，解得，故，設，，則，設，則，則，即，設，設夾角為，則，令，則，則，令，則，則，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得最小值，最小值為，當或3時，取得最大值，最大值為1，故，由于在上單調(diào)遞減，故，與夾角的最大值為.故選：A【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關知識進行求解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】選項ABD，利用不等式性質(zhì)計算即可，選項C，因為可正可負，所以不容易化簡解決，一般當乘或除以一個不知正負的數(shù)，基本上錯誤，我們只需要找反例即可.【詳解】因為，所以，故A正確；因為，所以，故B正確；因為，不妨令，得，此時，故C錯誤；因為，所以，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的圖象過點和，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.當時，函數(shù)值域為 D.函數(shù)有三個零點【答案】AD【解析】【分析】A選項，把代入解析式，得到；B選項，根據(jù)為函數(shù)的最低點及，由勾股定理得到方程，求出，從而得到，把代入解析式，得到；C選項，整體法求出函數(shù)值域；D選項，畫出與的函數(shù)圖象，根據(jù)交點個數(shù)得到零點個數(shù).詳解】A選項，把代入得，，因為，所以，A正確；B選項，為函數(shù)的最低點，，故，解得，負值舍去，則，其中，故，故，，由于，所以，故，解得，B錯誤；C選項，，時，，故，，C錯誤；D選項，畫出與的函數(shù)圖象，如下：兩函數(shù)有3個交點，故有三個零點，D正確.故選：AD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，若有三個零點，則的取值范圍是B.當且時，C.若滿足，則D.若存在極值點，且，其中，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，將代入求導求極值，有三個零點，則令極大值大于零，極小值小于零即可；對于B，利用的性質(zhì)，得到且，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解；對于C，根據(jù)，推斷函數(shù)的對稱性，進而可以求得，即可判斷結(jié)果；對于D，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，得到，進而可得，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案.【詳解】對于選項A，當時，，，由，得到或，由，得到，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，；減區(qū)間為，故在處取到極大值，在處取到極小值，若有三個零點，則，得到，故選項A正確，對于選項B，當時，，又，即，由選項A知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故選項B正確，對于選項C，因為，即，所以關于點中心對稱，又的定義域為，所以，整理得到，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，所以，由題有，即，由，得到，令，則，又，所以，得到，整理得到，又，代入化簡得到，又，，所以，得到，即，所以選項D正確，故選：ABD.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于選項D，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，得到，進而可得，再通過令，結(jié)合條件得到，再代入，化簡得到，從而解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)“”是“”的充分不必要條件，明確集合，的關系，列不等式求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】由.所以；由.所以.因為“”是“”的充分不必要條件，所以且.所以.故答案為：13.已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù).當時，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的周期，再利用對數(shù)運算計算即可.【詳解】由題意可知，所以，所以的一個正周期為8，即.故答案：14.已知函數(shù)，若關于x的不等式的解集中有且僅有2個正整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】原不等式的解集有且只有兩個整數(shù)解等價于的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，利用導數(shù)討論后者的單調(diào)性后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設，則，而的定義域為，故為上的奇函數(shù)，（不恒為零），故為上的單調(diào)減函數(shù)，又即為：，也就是，故，故的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，若，則當時，，此時不等式的解集中有無數(shù)個正整數(shù)解，不合題意；若，因為，，故的解集中不會有1,2，其解集中的正整數(shù)解必定大于等于3，不妨設，則的解集中有且僅有兩個正整數(shù)，設，，故在上為增函數(shù)，由題設可得，故，故答案為：.【點睛】思路點睛：不等式解集中的正整數(shù)解的個數(shù)問題，可通過參變分離轉(zhuǎn)化水平的動直線與確定函數(shù)圖像的位置關系來處理.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設為數(shù)列的前n項和，滿足.（1）求證：；（2）記，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到時，可得，兩式相減得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得證；（2）由（1）求得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：因為數(shù)列的前n項和，滿足，當時，可得，兩式相減得，即，所以，令，可得，解得，所以數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以的圖象公式為.【小問2詳解】解：由（1）知，可得，所以，則.16.函數(shù)，函數(shù)最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間以及對稱中心；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再向下平移個單位，得到函數(shù)的圖象，在函數(shù)圖象上從左到右依次取點，該點列的橫坐標依次為，其中，，求.【答案】（1）增區(qū)間為，對稱中心為為.（2）【解析】【分析】（1）利用三角變換可得，結(jié)合周期可求，再利用整體法可求單調(diào)增區(qū)間和對稱中心.（2）根據(jù)圖象變換可得，根據(jù)其周期性和特殊角的三角函數(shù)值可求的值.【小問1詳解】，因為的最小正周期為，故，即，所以，令，故，故的增區(qū)間為.令，則，故圖象的對稱中心為.【小問2詳解】由題設有，則的周期為，而，故，而，，故17.已知函數(shù)（1）若曲線在點處的切線方程為，求a和b的值；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1），（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義與斜率關系即可求解；（2）結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關系對的范圍進行分類討論即可求解．【小問1詳解】，則．曲線在點處的切線方程為，則，解得，由，解得，【小問2詳解】，函數(shù)定義域為，則，令，解得或，若，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，若，則當時，，單調(diào)遞減，當和時，，單調(diào)遞增，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，若，則當時，，單調(diào)遞減，當和時，，單調(diào)遞增，綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．18.在中，角所對的邊分別為.（1）證明：；（2）若成等比數(shù)列.（i）設，求q的取值范圍；（ii）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）(i)；(ii)【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關系證明即可；（2）（i）利用三角形三邊關系建立不等式組解不等式即可；（ii）利用第一問及第二問第一小問的結(jié)論，結(jié)合正余弦定理、對勾函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【小問1詳解】易知，所以，則對于，即左側(cè)等式成立，又，兩側(cè)同時除以，所以，即右側(cè)等式成立，證畢；【小問2詳解】（i）由題意，設公比為，知，根據(jù)三角形三邊關系知：，解之得（ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知：，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即取值范圍為.19.已知定義在的兩個函數(shù)，.（1）證明：；（2）若.證明：當時，存在，使得；（3）若恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）當顯然成立，當，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)證明即可；（2）先求得在0,1單調(diào)遞減，且，即可得；（3）與異號，時，顯然成立，只考慮x∈0,1時，，，根據(jù)，分類利用（1）（2）結(jié)論