山東省淄博市桓臺第一中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGEPAGE20山東省淄博市桓臺第一中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、選擇題（共12小題；每小題5分，共60分.）(一)單項選擇題：1.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.復數(shù)的實部為3 B.復數(shù)的模為5C.復數(shù)部虛部為 D.復數(shù)的共軛復數(shù)為【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的除法運算法則化簡式子，然后依據(jù)實部、虛部、模以及共軛復數(shù)的概念，可得結果.【詳解】由題可知：復數(shù)的實部為，虛部為，模為復數(shù)的共軛復數(shù)為，所以D正確故選：D【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算法則以及相關概念，重在對概念的理解以及計算，屬基礎題.2.某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的寵愛程度進行調(diào)查，參與調(diào)查的一共有20000人，其中各種看法對應的人數(shù)如表所示:最寵愛寵愛一般不寵愛4800720064001600電視臺為了了解觀眾的具體想法和看法，準備從中抽選出100人進行更為具體的調(diào)查，為此要進行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應抽選出的人數(shù)分別為（）A.24，36，32，8 B.48，72，64，16C.20，40，30，10 D.25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】計算每類人應抽選出的人數(shù)之比，然后依據(jù)所占的比例分別與100相乘，即可得結果.【詳解】每類人中各應抽選出的人數(shù)之比為,所以人數(shù)分別為選A.【點睛】本題考查分層抽樣，關鍵在于每一類所占比例的求取以及對分層抽樣概念的理解，屬基礎題.3.下列事務：①連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②明天下雨；③某人買彩票中獎；④從集合{1,2,3}中任取兩個元素,它們的和大于2；⑤在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰．其中是隨機事務的個數(shù)有A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】試題分析：連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點這一事務可能發(fā)生也可能不發(fā)生，∴①是隨機事務．明天下雨這一事務可能發(fā)生也可能不發(fā)生，∴②是隨機事務某人買彩票中獎這一事務可能發(fā)生也可能不發(fā)生，∴③是隨機事務從集合{1，2，3}中任取兩個元素，它們的和必大于2，∴④是必定事務在標準大氣壓下，水加熱到100℃時才會沸騰，∴⑤是不行能事務考點：隨機事務4.如圖，在直角梯形中，，為邊上一點，，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四邊形法則、三角形法則、向量共線定理可得.【詳解】由圖可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故選B．【點睛】本題考查了向量平行四邊形法則、三角形法則、向量共線定理，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．5.已知cos(x―)=―，則cosx+cos(x―)的值是A.― B.± C.―1 D.±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故選C6.三棱錐的三條側棱兩兩垂直，其長分別為，則該三棱錐的外接球的表面積（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得外接球的直徑等于,所以表面積為,選D.點睛:(1)補形法的應用思路：“補形法”是立體幾何中一種常見的重要方法，在解題時，把幾何體通過“補形”補成一個完整的幾何體或置于一個更熟識的幾何體中，奇妙地破解空間幾何體的體積等問題，常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形，對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”．(2)補形法的應用條件：當某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，且求解的問題干脆求解較難入手時，常用該法．7.調(diào)查機構對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結論中不確定正確的是（）A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)超過總人數(shù)的20%C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80后多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖即可推斷各選項的真假．【詳解】在中，由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占，故正確；在中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術崗位中所占比例為，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)還包括80后，80前，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)超過總人數(shù)的20%，是確定的，故正確；在中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)90后所占比例為56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能推斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)90后比80后多，故錯誤．在中,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的90后人數(shù)所占比例，故正確；故選．【點睛】本題考查命題真假的推斷，考查餅狀圖、條形圖的性質等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題．8.已知是函數(shù)的最大值，若存在實數(shù)使得對隨意實數(shù)總有成立，則的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換可得，依題意可知的最小值為，從而可得結論.【詳解】，，周期，又存在實數(shù)，對隨意實數(shù)總有成立，，的最小值為，故選B.【點睛】本題主要考查公式三角函數(shù)的圖象和性質以及協(xié)助角公式的應用，屬于難題.利用該公式可以求出:①的周期;②單調(diào)區(qū)間（利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可通過解不等式求得）；③值域：；④對稱軸及對稱中心（由可得對稱軸方程，由可得對稱中心橫坐標.9.下列說法中，正確的是（）A.頻率反映隨機事務的頻繁程度，概率反映隨機事務發(fā)生的可能性大小；B.頻率是不能脫離次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依靠于試驗次數(shù)的理論值；C.做次隨機試驗，事務發(fā)生次，則事務發(fā)生的頻率就是事務的概率；D.頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)頻率、概率的概念，可得結果.【詳解】頻率是在一次試驗中某一事務出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總數(shù)的比值，隨某事務出現(xiàn)的次數(shù)而改變概率指的是某一事務發(fā)生的可能程度，是個確定的理論值故選：ABD【點睛】本題主要考查頻率、概率的概念，屬基礎題.10.設為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下面結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)線線、線面、面面位置關系，對選項逐一分析，由此確定結論正確的選項.【詳解】A選項中，可能異面；B選項中，也可能平行或相交；D選項中，只有相交才可推出.C選項可以理解為兩個相互垂直的平面，它們的法向量相互垂直.故選：C【點睛】本小題主要考查線線、線面和面面位置關系命題真假性推斷，屬于基礎題.11.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點E，則下列推斷正確的是（）A.E為的中點B.平面C.與所成的角為D.三棱錐與四棱錐的體積之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采納解除法，依據(jù)線面平行的性質定理以及線面垂直的判定定理，結合線線角，椎體體積公式的計算，可得結果.【詳解】連接交于點連接，如圖因為四邊形是正方形，所以為的中點又//平面，平面，且平面平面所以//，所以為的中點，故A正確由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正確與所成的角即與所成的角，即故C錯，又，所以，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查立體幾何的綜合應用，嫻熟線線、線面、面面之間的位置關系，審清題意，考驗分析實力，屬基礎題.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是以為最小正周期的周期函數(shù)B.的值域是C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在上有2個零點【答案】BD【解析】【分析】采納數(shù)形結合，并逐一驗證可得結果.【詳解】依據(jù)題意，畫出函數(shù)在的圖象，如圖所示依據(jù)圖像可知，函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)，A錯函數(shù)的值域是，B對在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，C錯函數(shù)在上有2個零點，分別是，D對故選：BD【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質，本題關鍵在于能畫出函數(shù)圖形，形是數(shù)的載體，通俗易懂，形象直觀，屬中檔題.二、填空題（共4小題；共20分.）13.如圖所示，用三類不同的元件接成系統(tǒng)，若元件、、正常工作的概率分別為、、，那么系統(tǒng)正常工作的概率為________________.【答案】【解析】【分析】由元件正常工作，元件、至少有一個正常工作，可得出系統(tǒng)正常工作，結合獨立事務的概率乘法公式可求得所求事務的概率.【詳解】由元件正常工作，元件、至少有一個正常工作，可得出系統(tǒng)正常工作，所以，系統(tǒng)正常工作的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查利用獨立事務的概率乘法公式計算事務的概率，考查計算實力，屬于基礎題.14.已知樣本的平均數(shù)與方差分別是1和4，若，且樣本的平均數(shù)與方差也分別是1和4，則________________.【答案】【解析】【分析】由樣本的平均數(shù)和方差分別是1和4，的平均數(shù)和方差也是1和4,得到a,b的關系式，由此能求出.【詳解】因為樣本的平均數(shù)與方差分別是1和4，的平均數(shù)與方差也分別是1和4，所以，解得或，，故答案為：1【點睛】本題主要考查代數(shù)式求值，考查平均數(shù)、方差的性質，考查運算求解實力，屬于中檔題.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別是.若，，則__，面積的最大值為___.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】由正弦定理，結合，，可求出；由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，所以;所以，當，即時，三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點睛】本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎題型.16.已知四邊形為矩形,,為的中點,將沿折起,得到四棱錐,設的中點為,在翻折過程中,得到如下有三個命題:①平面，且的長度為定值；②三棱錐的最大體積為；③在翻折過程中，存在某個位置，使得.其中正確命題的序號為__________．（寫出全部正確結論的序號）【答案】①②【解析】【分析】取中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得出，可推斷出命題①的正誤；由為的中點，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，并由平面平面，得出三棱錐體積的最大值，可推斷出命題②的正誤；取的中點，連接，由，結合得出平面，推出得出沖突，可推斷出命題③的正誤.【詳解】如下圖所示：對于命題①，取的中點，連接、，則，，，由勾股定理得，易知，且，、分別為、的中點，所以，，四邊形為平行四邊形，，，平面，平面，平面，命題①正確；對于命題②，由為的中點，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，當平面平面時，三棱錐體積取最大值，取的中點，則，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面積為，所以，三棱錐的體積的最大值為，則三棱錐的體積的最大值為，命題②正確；對于命題③，，為的中點，所以，，若，且，平面，由于平面，，事實上，易得，，，由勾股定理可得，這與沖突，命題③錯誤故答案為①②.【點睛】本題考查直線與平面平行、錐體體積的計算以及異面直線垂直的判定，推斷這些命題時依據(jù)相關的判定定理以及性質定理，在計算三棱錐體積時，須要找到合適的底面與高來計算，考查空間想象實力，考查邏輯推理實力，屬于難題.三、解答題（共6小題，17題10分，其余各題12分，共70分.）17.己知向量是同一平面內(nèi)的三個向量，其中（Ⅰ）若，且，求向量的坐標；（Ⅱ）若是單位向量，且，求與的夾角.【答案】(Ⅰ)，或;(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）設向量的坐標為,運用向量模的公式和向量共線的坐標表示，解方程即可得到向量的坐標；（Ⅱ）運用向量垂直的條件：數(shù)量積為，可求得，由向量的夾角公式，計算即可得到所求夾角.【詳解】（Ⅰ）設，由，且可得所以或故，或（Ⅱ）因為，且，所以，即，所以，故，.18.已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，當[,]時，求的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最小正周期為.（Ⅱ）時，取最大值；時，取最小值.【解析】(I)先通過三角恒等變換公式把f(x)轉化成,再求周期.(2)依據(jù)左加右減，上加下減的原則先確定,再求特定區(qū)間上的最值即可.（Ⅰ）,所以函數(shù)的最小正周期為.（Ⅱ）依題意,[]因為，所以.當，即時，取最大值；當，即時，取最小值.19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，將邊化角，利用兩角和的正弦公式，簡潔計算即可得結果.（2）依據(jù)（1）條件，運用面積公式，可得，然后運用余弦定理可得，進一步可得結果.【詳解】(1)由已知及正弦定理得,，即，故.可得，所以.（2）由已知.又，所以.由已知及余弦定理得，故，從而.所以的周長為【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟記公式，細心計算，屬基礎題.20.某校從參與高三模擬考試的學生中隨機抽取名學生，將其數(shù)學成果（均為整數(shù)）分成六段后得到如下部分頻率分布直方圖．視察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分數(shù)在內(nèi)的頻率，補全這個頻率分布直方圖，并據(jù)此估計本次考試的平均分；（2）用分層抽樣的方法，在分數(shù)段為的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，求至多有1人在分數(shù)段內(nèi)的概率【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）首先可以計算出除了之外的其他分數(shù)段的頻率，然后計算出分數(shù)在內(nèi)的頻率，再用頻率除以組距即可，然后用每一分數(shù)段的中間數(shù)乘以每一分數(shù)段的概率再相加即可得出平均分；（2）首先算出在以及兩個分數(shù)段中抽取的人數(shù)，然后列出從中任取2個的全部可能的事務，并找出滿意題目要求的事務，即可得出結果．【詳解】（1）分數(shù)在內(nèi)的頻率為，（直方圖略），平均分為：，（2）由題意，分數(shù)段的人數(shù)為：人，分數(shù)段的人數(shù)為：人，因為用分層抽樣的方法在分數(shù)段為的學生中抽取一個容量為的樣本，抽樣比，所以需在分數(shù)段內(nèi)抽取人，并分別記為；在分數(shù)段內(nèi)抽取人并分別記為；設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段內(nèi)”為事務A，則基本領件有：共15種．事務A包含的基本領件有：（共種，所以．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖以及概率，在計算頻率分布直方圖類的題目時要留意圖表中所供應的信息，留意縱坐標是“頻率除以組距”，考查計算實力與推理實力，是中檔題．21.如圖，在三棱錐中，平面平面，，．設，分別為，中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）試問在線段上是否存在點，使得過三點，，的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．【答案】（1）