彈性力學(xué)基礎(chǔ)：平衡方程：應(yīng)力與應(yīng)變基礎(chǔ)

彈性力學(xué)基礎(chǔ)：平衡方程：應(yīng)力與應(yīng)變基礎(chǔ)1彈性力學(xué)基礎(chǔ)：緒論1.1彈性力學(xué)的研究對象與意義彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布。其研究對象廣泛，包括各種工程結(jié)構(gòu)和材料，如橋梁、飛機(jī)、建筑物、金屬、陶瓷、復(fù)合材料等。彈性力學(xué)的意義在于，它能夠幫助工程師和科學(xué)家預(yù)測和分析結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、強(qiáng)度和剛度，從而優(yōu)化設(shè)計(jì)，確保安全性和經(jīng)濟(jì)性。1.1.1研究對象工程結(jié)構(gòu)：橋梁、大壩、飛機(jī)機(jī)翼、建筑物等。材料：金屬、陶瓷、復(fù)合材料、橡膠等。1.1.2研究意義設(shè)計(jì)優(yōu)化：通過分析應(yīng)力和應(yīng)變，優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，減少材料使用，降低成本。安全性評(píng)估：預(yù)測結(jié)構(gòu)在極端條件下的行為，評(píng)估其安全性。性能預(yù)測：分析材料的彈性性能，預(yù)測其在不同應(yīng)用中的表現(xiàn)。1.2基本假設(shè)與分類1.2.1基本假設(shè)彈性力學(xué)的分析基于一系列基本假設(shè)，這些假設(shè)簡化了實(shí)際問題，使其數(shù)學(xué)上可解。連續(xù)性假設(shè)：認(rèn)為材料在微觀上是連續(xù)的，沒有空隙或裂紋。均勻性假設(shè)：材料的物理性質(zhì)在所有位置上是相同的。各向同性假設(shè)：材料的物理性質(zhì)在所有方向上是相同的。小變形假設(shè)：變形相對于原始尺寸很小，可以忽略不計(jì)。線性彈性假設(shè)：應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，遵循胡克定律。1.2.2分類根據(jù)問題的復(fù)雜性和求解方法，彈性力學(xué)可以分為以下幾類：一維問題：如桿件的拉伸和壓縮。二維問題：如薄板和殼體的彎曲。三維問題：如復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析，需要考慮所有三個(gè)方向的應(yīng)力和應(yīng)變。1.2.3示例：一維問題-桿件的拉伸假設(shè)有一根長為1米的鋼桿，截面積為0.01平方米，受到1000牛頓的拉力。鋼的彈性模量為200GPa。我們可以通過以下公式計(jì)算桿件的伸長量：Δ其中，ΔL是伸長量，F(xiàn)是外力，L是桿件的原始長度，A是截面積，E1.2.3.1數(shù)據(jù)樣例FLAE1.2.3.2計(jì)算過程Δ因此，桿件在1000牛頓的拉力下，伸長量為0.005毫米。1.2.4示例代碼#定義變量

F=1000#外力，單位：牛頓

L=1#桿件原始長度，單位：米

A=0.01#截面積，單位：平方米

E=200e9#彈性模量，單位：帕斯卡

#計(jì)算伸長量

delta_L=F*L/(A*E)

print(f"桿件的伸長量為：{delta_L:.5f}米")這段代碼計(jì)算了上述示例中桿件的伸長量，并輸出結(jié)果。通過調(diào)整變量的值，可以計(jì)算不同條件下的伸長量，這對于工程設(shè)計(jì)和材料選擇非常有用。以上內(nèi)容詳細(xì)介紹了彈性力學(xué)的基礎(chǔ)概念，包括其研究對象、意義以及基本假設(shè)和分類。通過一個(gè)具體的示例，展示了如何應(yīng)用彈性力學(xué)的基本原理來解決實(shí)際問題。這不僅加深了對彈性力學(xué)理論的理解，也為實(shí)際工程應(yīng)用提供了指導(dǎo)。2彈性力學(xué)基礎(chǔ)：應(yīng)力基礎(chǔ)2.1應(yīng)力的概念與分類在彈性力學(xué)中，應(yīng)力（Stress）是描述物體內(nèi)部各點(diǎn)受力狀態(tài)的物理量，它表示單位面積上的內(nèi)力。應(yīng)力可以分為兩大類：正應(yīng)力和剪應(yīng)力。2.1.1正應(yīng)力正應(yīng)力（NormalStress）是垂直于物體表面的應(yīng)力，通常用符號(hào)σ表示。正應(yīng)力可以是拉應(yīng)力（TensileStress），當(dāng)物體受到拉伸時(shí)產(chǎn)生；也可以是壓應(yīng)力（CompressiveStress），當(dāng)物體受到壓縮時(shí)產(chǎn)生。2.1.2剪應(yīng)力剪應(yīng)力（ShearStress）是平行于物體表面的應(yīng)力，用符號(hào)τ表示。剪應(yīng)力導(dǎo)致物體內(nèi)部的相對滑動(dòng)，是材料在剪切力作用下變形的主要原因。2.2正應(yīng)力與剪應(yīng)力正應(yīng)力和剪應(yīng)力在工程應(yīng)用中極為重要，它們的計(jì)算和分析是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和材料選擇的基礎(chǔ)。2.2.1正應(yīng)力計(jì)算正應(yīng)力的計(jì)算公式為：σ其中，F(xiàn)是作用在物體上的力，A是力作用的面積。2.2.2剪應(yīng)力計(jì)算剪應(yīng)力的計(jì)算公式為：τ其中，V是剪切力，A是剪切力作用的面積。2.2.3示例假設(shè)有一根直徑為10mm的圓柱形鋼桿，受到1000N的拉力作用。#計(jì)算正應(yīng)力的示例代碼

importmath

#定義參數(shù)

diameter=10e-3#直徑，單位：米

force=1000#力，單位：牛頓

#計(jì)算面積

area=math.pi*(diameter/2)**2

#計(jì)算正應(yīng)力

normal_stress=force/area

print(f"正應(yīng)力為：{normal_stress:.2f}Pa")這段代碼計(jì)算了鋼桿在1000N拉力作用下的正應(yīng)力，結(jié)果以帕斯卡（Pa）為單位。2.3應(yīng)力張量的定義與性質(zhì)在三維空間中，應(yīng)力狀態(tài)不能僅用正應(yīng)力和剪應(yīng)力來完全描述，需要引入應(yīng)力張量（StressTensor）的概念。2.3.1應(yīng)力張量定義應(yīng)力張量是一個(gè)二階張量，它在每個(gè)方向上都有一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力。在直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量可以表示為一個(gè)3x3的矩陣。2.3.2應(yīng)力張量性質(zhì)對稱性：在無外力矩作用下，應(yīng)力張量是關(guān)于主對角線對稱的。平衡條件：應(yīng)力張量滿足靜力學(xué)平衡方程，即在任意方向上的力的分量之和為零。2.3.3示例假設(shè)一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如下：σ#應(yīng)力張量示例代碼

importnumpyasnp

#定義應(yīng)力張量

stress_tensor=np.array([[100,50,0],

[50,150,0],

[0,0,200]])

#計(jì)算主應(yīng)力

eigenvalues,_=np.linalg.eig(stress_tensor)

#輸出主應(yīng)力

print(f"主應(yīng)力為：{eigenvalues}")這段代碼使用了NumPy庫來計(jì)算給定應(yīng)力張量的主應(yīng)力，即應(yīng)力張量的特征值。通過以上內(nèi)容，我們了解了應(yīng)力的基礎(chǔ)概念，包括正應(yīng)力、剪應(yīng)力以及應(yīng)力張量的定義和性質(zhì)。這些知識(shí)是深入學(xué)習(xí)彈性力學(xué)和進(jìn)行工程設(shè)計(jì)的基石。3彈性力學(xué)基礎(chǔ)：應(yīng)變基礎(chǔ)3.1應(yīng)變的概念與分類在彈性力學(xué)中，應(yīng)變（Strain）是描述物體在受力作用下形狀和尺寸變化的物理量。它分為兩大類：線應(yīng)變和剪應(yīng)變。3.1.1線應(yīng)變線應(yīng)變（LinearStrain）是物體在某一方向上的長度變化與原長度的比值。對于一維情況，線應(yīng)變定義為：?其中，ΔL是長度變化量，L3.1.2剪應(yīng)變剪應(yīng)變（ShearStrain）描述的是物體在受剪切力作用下，其形狀的改變。剪應(yīng)變定義為：γ其中，θ是剪切變形角。3.2線應(yīng)變與剪應(yīng)變3.2.1線應(yīng)變線應(yīng)變可以進(jìn)一步分為正應(yīng)變和負(fù)應(yīng)變。正應(yīng)變表示物體在受力方向上伸長，而負(fù)應(yīng)變表示物體在受力方向上縮短。3.2.1.1示例假設(shè)有一根長度為10?cm的金屬棒，在受力后長度變?yōu)?3.2.2剪應(yīng)變剪應(yīng)變通常發(fā)生在物體受到平行于其表面的力作用時(shí)，導(dǎo)致物體的形狀發(fā)生扭曲。3.2.2.1示例考慮一個(gè)正方形物體，邊長為1?m，在受到剪切力作用后，其一個(gè)角的剪切變形角為γ3.3應(yīng)變張量的定義與性質(zhì)在三維空間中，物體的應(yīng)變狀態(tài)不能僅用線應(yīng)變和剪應(yīng)變來完全描述，需要引入應(yīng)變張量（StrainTensor）的概念。應(yīng)變張量是一個(gè)二階張量，可以完全描述物體在任意方向上的應(yīng)變狀態(tài)。3.3.1定義應(yīng)變張量εijε其中，ui和uj分別是位移分量在i和j方向上的變化，xi和3.3.2性質(zhì)對稱性：應(yīng)變張量是關(guān)于其下標(biāo)對稱的，即εi跡：應(yīng)變張量的跡（即主對角線元素之和）表示體積應(yīng)變。無旋性：應(yīng)變張量描述的是無旋的變形，即不包含物體的旋轉(zhuǎn)。3.3.3示例：計(jì)算應(yīng)變張量假設(shè)物體在三維空間中的位移分量為ux,y,zimportsympyassp

#定義坐標(biāo)變量

x,y,z=sp.symbols('xyz')

#定義位移分量

u=x**2+y**2+z**2

v=x*y+y*z+z*x

w=x*y*z

#計(jì)算應(yīng)變張量

epsilon_xx=sp.diff(u,x)

epsilon_yy=sp.diff(v,y)

epsilon_zz=sp.diff(w,z)

epsilon_xy=(sp.diff(u,y)+sp.diff(v,x))/2

epsilon_yz=(sp.diff(v,z)+sp.diff(w,y))/2

epsilon_zx=(sp.diff(w,x)+sp.diff(u,z))/2

#輸出應(yīng)變張量的元素

print("epsilon_xx:",epsilon_xx)

print("epsilon_yy:",epsilon_yy)

print("epsilon_zz:",epsilon_zz)

print("epsilon_xy:",epsilon_xy)

print("epsilon_yz:",epsilon_yz)

print("epsilon_zx:",epsilon_zx)運(yùn)行上述代碼，我們可以得到應(yīng)變張量的各個(gè)元素。需要注意的是，這個(gè)例子中的位移分量是理想化的，實(shí)際應(yīng)用中位移分量會(huì)更復(fù)雜，可能需要通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或數(shù)值模擬來確定。通過理解和掌握應(yīng)變的基礎(chǔ)概念，我們可以更深入地分析和解決彈性力學(xué)中的問題，特別是在工程設(shè)計(jì)和材料科學(xué)領(lǐng)域。應(yīng)變張量的引入，使得我們能夠全面地描述物體在三維空間中的變形狀態(tài)，為后續(xù)的應(yīng)力分析和平衡方程的建立提供了基礎(chǔ)。4彈性力學(xué)基礎(chǔ)：應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系4.1胡克定律簡介胡克定律是描述材料在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之間關(guān)系的基本定律。它表明，在材料的彈性極限內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系。胡克定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：σ其中，σ是應(yīng)力，?是應(yīng)變，E是材料的彈性模量。彈性模量是一個(gè)材料屬性，表示材料抵抗彈性變形的能力。4.1.1示例假設(shè)我們有一根鋼棒，其彈性模量E=200?GPa#胡克定律計(jì)算應(yīng)變

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

sigma=100e6#應(yīng)力，單位：Pa

#計(jì)算應(yīng)變

epsilon=sigma/E

print(f"應(yīng)變：{epsilon:.6f}")4.2彈性模量與泊松比彈性模量和泊松比是描述材料彈性行為的兩個(gè)重要參數(shù)。彈性模量E表示材料抵抗拉伸或壓縮變形的能力，而泊松比ν描述了材料在橫向方向上的收縮與縱向伸長的比值。4.2.1示例對于一個(gè)立方體材料，當(dāng)它在x方向上受到應(yīng)力時(shí)，y和z方向上的應(yīng)變可以通過泊松比計(jì)算：#計(jì)算泊松比影響下的橫向應(yīng)變

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

sigma_x=100e6#x方向上的應(yīng)力，單位：Pa

#計(jì)算y和z方向上的應(yīng)變

epsilon_y=-nu*sigma_x/E

epsilon_z=-nu*sigma_x/E

print(f"y方向上的應(yīng)變：{epsilon_y:.6f}")

print(f"z方向上的應(yīng)變：{epsilon_z:.6f}")4.3廣義胡克定律廣義胡克定律適用于三維應(yīng)力狀態(tài)，它描述了在多軸應(yīng)力作用下材料的應(yīng)變。在三維情況下，胡克定律可以表示為應(yīng)變張量與應(yīng)力張量之間的關(guān)系：?其中，?ij和σij分別是應(yīng)變和應(yīng)力張量的分量，4.3.1示例假設(shè)一個(gè)材料在三維應(yīng)力狀態(tài)下，其應(yīng)力張量為：σ我們可以使用廣義胡克定律計(jì)算應(yīng)變張量：importnumpyasnp

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義應(yīng)力張量

sigma=np.array([[100e6,20e6,30e6],

[20e6,50e6,40e6],

[30e6,40e6,60e6]])

#計(jì)算體積應(yīng)力

sigma_v=np.trace(sigma)/3

#計(jì)算應(yīng)變張量

epsilon=(1/E)*(sigma-nu*sigma_v*np.eye(3))

print("應(yīng)變張量：")

print(epsilon)在上述代碼中，我們首先定義了材料的彈性模量和泊松比。然后，我們創(chuàng)建了一個(gè)三維應(yīng)力張量，并計(jì)算了體積應(yīng)力。最后，我們使用廣義胡克定律計(jì)算了應(yīng)變張量，并打印了結(jié)果。通過這些示例，我們可以看到胡克定律、彈性模量、泊松比以及廣義胡克定律在計(jì)算材料應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系中的應(yīng)用。這些概念和計(jì)算方法是彈性力學(xué)分析的基礎(chǔ)，對于理解材料在不同載荷條件下的行為至關(guān)重要。5彈性力學(xué)基礎(chǔ)：平衡方程：應(yīng)力與應(yīng)變基礎(chǔ)5.1平衡方程5.1.1靜力學(xué)平衡方程的推導(dǎo)在彈性力學(xué)中，靜力學(xué)平衡方程描述了在沒有外力作用時(shí)，彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布。為了推導(dǎo)這些方程，我們考慮一個(gè)微小的體積元，其尺寸為dx、dy和dz。在這個(gè)體積元上，作用有應(yīng)力分量σx、σy、σz、τxy、τy5.1.1.1平衡條件對于x方向的力平衡，我們有：?對于y和z方向，類似的方程為：??其中，fx、fy和5.1.2彈性體的平衡條件彈性體的平衡條件不僅包括靜力學(xué)平衡，還涉及到材料的變形和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。在沒有外力作用時(shí)，彈性體內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變必須滿足平衡條件，即：σ這意味著應(yīng)力張量是對稱的。此外，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系由胡克定律給出：σ其中，Cijk5.1.3平衡方程在不同坐標(biāo)系下的表達(dá)平衡方程在直角坐標(biāo)系中已經(jīng)給出，但在處理復(fù)雜幾何形狀時(shí)，使用極坐標(biāo)系或柱坐標(biāo)系可能更為方便。平衡方程在柱坐標(biāo)系r,???在極坐標(biāo)系中，平衡方程的推導(dǎo)與柱坐標(biāo)系類似，但需要考慮到極坐標(biāo)系的特殊性質(zhì)，如徑向和切向的坐標(biāo)變化。5.1.3.1示例：在Python中使用NumPy求解直角坐標(biāo)系下的平衡方程importnumpyasnp

#定義應(yīng)力分量

sigma_x=np.zeros((10,10,10))

sigma_y=np.zeros((10,10,10))

sigma_z=np.zeros((10,10,10))

tau_xy=np.zeros((10,10,10))

tau_yx=np.zeros((10,10,10))

tau_xz=np.zeros((10,10,10))

tau_zx=np.zeros((10,10,10))

tau_yz=np.zeros((10,10,10))

tau_zy=np.zeros((10,10,10))

#定義體力分量

f_x=np.zeros((10,10,10))

f_y=np.zeros((10,10,10))

f_z=np.zeros((10,10,10))

#使用NumPy的梯度函數(shù)計(jì)算應(yīng)力分量的偏導(dǎo)數(shù)

grad_sigma_x=np.gradient(sigma_x)

grad_sigma_y=np.gradient(sigma_y)

grad_sigma_z=np.gradient(sigma_z)

grad_tau_xy=np.gradient(tau_xy)

grad_tau_yx=np.gradient(tau_yx)

grad_tau_xz=np.gradient(tau_xz)

grad_tau_zx=np.gradient(tau_zx)

grad_tau_yz=np.gradient(tau_yz)

grad_tau_zy=np.gradient(tau_zy)

#計(jì)算x方向的力平衡

balance_x=grad_sigma_x[0]+grad_tau_yx[1]+grad_tau_zx[2]+f_x

#計(jì)算y和z方向的力平衡

balance_y=grad_tau_xy[0]+grad_sigma_y[1]+grad_tau_zy[2]+f_y

balance_z=grad_tau_xz[0]+grad_tau_yz[1]+grad_sigma_z[2]+f_z

#檢查平衡條件是否滿足

ifnp.allclose(balance_x,0)andnp.allclose(balance_y,0)andnp.allclose(balance_z,0):

print("平衡條件滿足")

else:

print("平衡條件不滿足")在這個(gè)示例中，我們首先定義了應(yīng)力和體力的分量，然后使用NumPy的gradient函數(shù)來計(jì)算這些分量的偏導(dǎo)數(shù)。最后，我們檢查了x、y和z方向的力平衡條件是否滿足。5.1.3.2結(jié)論平衡方程是彈性力學(xué)中的核心概念，它們描述了在給定的應(yīng)力和應(yīng)變條件下，彈性體如何保持平衡。通過在不同的坐標(biāo)系中表達(dá)這些方程，我們可以更靈活地分析和解決各種工程問題。在實(shí)際應(yīng)用中，這些方程通常與材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系結(jié)合使用，以預(yù)測材料在不同載荷下的行為。6邊界條件與載荷6.1邊界條件的類型邊界條件在彈性力學(xué)中至關(guān)重要，它們定義了結(jié)構(gòu)的約束和自由度。邊界條件主要分為以下幾種類型：位移邊界條件：指定結(jié)構(gòu)在邊界上的位移或變形。例如，固定端的邊界條件通常表示為所有方向的位移為零。應(yīng)力邊界條件：也稱為載荷邊界條件，指定作用在結(jié)構(gòu)邊界上的外力或應(yīng)力。這可以是面力（如壓力）或線力（如集中力）?；旌线吔鐥l件：在結(jié)構(gòu)的某些邊界上同時(shí)指定位移和應(yīng)力條件。這種條件在實(shí)際工程問題中較為常見。自然邊界條件：在彈性力學(xué)的弱形式中自動(dòng)滿足的邊界條件，通常與虛擬功原理相關(guān)聯(lián)。6.2載荷的分類與作用載荷是作用在結(jié)構(gòu)上的外力，可以分為以下幾類：體積力：作用在整個(gè)物體體積上的力，如重力。面力：作用在結(jié)構(gòu)表面的力，如壓力或風(fēng)力。線力：作用在結(jié)構(gòu)邊緣的力，如集中力或彎矩。點(diǎn)力：作用在結(jié)構(gòu)上特定點(diǎn)的力，如懸掛物體的重力。載荷的作用可以改變結(jié)構(gòu)的形狀和應(yīng)力分布，是彈性力學(xué)分析中的關(guān)鍵輸入。6.3如何確定邊界條件與載荷確定邊界條件和載荷是進(jìn)行彈性力學(xué)分析的第一步，這通?；诮Y(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和使用條件。以下是一些確定步驟：分析結(jié)構(gòu)的功能：確定結(jié)構(gòu)在使用中需要承受的力和約束。參考設(shè)計(jì)規(guī)范：根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)或設(shè)計(jì)規(guī)范，確定必須滿足的邊界條件。使用工程判斷：基于經(jīng)驗(yàn)，判斷哪些邊界條件和載荷對結(jié)構(gòu)的性能最為關(guān)鍵。數(shù)值模擬：使用有限元分析等數(shù)值方法，模擬不同邊界條件和載荷下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，以優(yōu)化設(shè)計(jì)。6.3.1示例：確定一個(gè)懸臂梁的邊界條件和載荷假設(shè)我們有一個(gè)懸臂梁，一端固定，另一端自由，且在自由端受到一個(gè)垂直向下的集中力。我們可以這樣確定邊界條件和載荷：邊界條件：固定端的邊界條件為所有方向的位移為零（ux載荷：自由端受到的集中力為Fy在有限元分析軟件中，這可能通過以下偽代碼實(shí)現(xiàn)：#定義邊界條件

boundary_conditions={

'fixed_end':{'u_x':0,'u_y':0},

'free_end':{}

}

#定義載荷

loads={

'free_end':{'F_y':-1000}

}

#應(yīng)用邊界條件和載荷

apply_boundary_conditions(model,boundary_conditions)

apply_loads(model,loads)這里的model是有限元分析模型的實(shí)例，apply_boundary_conditions和apply_loads是應(yīng)用邊界條件和載荷的函數(shù)。通過這種方式，我們可以確保模型正確反映了實(shí)際的工程問題。6.3.2結(jié)論邊界條件和載荷的確定是彈性力學(xué)分析的基礎(chǔ)，它們直接影響到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和設(shè)計(jì)的合理性。通過仔細(xì)分析和合理設(shè)定，可以確保分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。7彈性力學(xué)問題的求解7.1解析解法簡介在彈性力學(xué)中，解析解法是一種基于數(shù)學(xué)理論來直接求解彈性體在各種載荷作用下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的方法。這種方法通常適用于形狀規(guī)則、邊界條件簡單、載荷分布均勻的理想化問題。解析解法依賴于微分方程的求解，特別是彈性力學(xué)的基本方程，如平衡方程、幾何方程和物理方程。7.1.1平衡方程平衡方程描述了彈性體內(nèi)部的力平衡條件，即在任意點(diǎn)上，作用于該點(diǎn)的應(yīng)力分量的合力為零。在直角坐標(biāo)系中，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz7.1.2幾何方程幾何方程描述了應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中，幾何方程可以表示為：???γγγ其中，u,v,w是位移分量，?x7.1.3物理方程物理方程，也稱為本構(gòu)方程，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對于線彈性材料，物理方程可以表示為胡克定律：σ其中，σij是應(yīng)力張量，?kl7.1.4示例：解析解法求解一維拉伸問題假設(shè)有一根無限長的均勻圓柱形桿，沿軸向受到均勻拉伸力F。桿的橫截面積為A，長度為L，彈性模量為E，泊松比為ν。求解桿的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變。7.1.4.1解析步驟根據(jù)胡克定律，軸向應(yīng)力σx與軸向應(yīng)變?x的關(guān)系為：根據(jù)平衡方程，軸向應(yīng)力的變化率為零，即?σ因此，軸向應(yīng)力σx為常數(shù)，等于拉伸力F除以橫截面積A：σ將軸向應(yīng)力代入胡克定律，得到軸向應(yīng)變：?x7.2數(shù)值解法：有限元法有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值解法，用于求解復(fù)雜的彈性力學(xué)問題。它將連續(xù)的彈性體離散為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)來表示。在每個(gè)單元內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變被假設(shè)為節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，通過求解節(jié)點(diǎn)位移來間接求解應(yīng)力和應(yīng)變。7.2.1有限元法的基本步驟離散化：將彈性體劃分為有限數(shù)量的單元。選擇位移函數(shù)：在每個(gè)單元內(nèi)，選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示位移。建立單元?jiǎng)偠染仃嚕焊鶕?jù)物理方程和幾何方程，建立每個(gè)單元的剛度矩陣。組裝整體剛度矩陣：將所有單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣。施加邊界條件：根據(jù)問題的邊界條件，修改整體剛度矩陣和載荷向量。求解位移：求解整體剛度矩陣方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變：根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變。7.2.2示例：使用Python和FEniCS求解二維彈性力學(xué)問題假設(shè)有一個(gè)矩形彈性體，長為L，寬為W，受到均勻的面力作用。使用Python和FEniCS庫來求解該問題。7.2.2.1Python代碼示例fromfenicsimport*

#定義網(wǎng)格和函數(shù)空間

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(L,W),100,50)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義變量

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

#定義材料屬性

E=1e3

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義面力

f=Constant((0,-100))

#定義弱形式

F=inner(sigma(u),grad(v)