6.4.3余弦定理正弦定理（第4課時）課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第六章平面向量及其應(yīng)用

余弦定理、正弦定理第4課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.能夠運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決與距離、高度、角度有關(guān)的“不能到達(dá)”類的實(shí)際問題.2.體會數(shù)學(xué)建模的一般步驟.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

測量問題中的常用概念1.基線(1)定義:在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的

叫做基線.

(2)性質(zhì):為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的

.一般來說,基線越長,測量的精確度越

.

線段基線長度高2.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角中,目標(biāo)視線在水平視線上方時叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時叫做俯角(如圖所示).3.視角觀察物體的兩端,視線張開的夾角叫做視角,如圖所示.4.方位角與方向角(1)方位角從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.如點(diǎn)B的方位角為α,如圖①所示.(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角.如南偏西60°,指以正南方向?yàn)槭歼?順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°,如圖②所示.圖①

圖②

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)基線選擇不同,同一個量的測量結(jié)果可能不同.(

)(2)北偏東45°的方向就是東北方向.(

)(3)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為α+β=180°.(

)√√×2.(1)若P在Q的北偏東37°方向上,則Q在P的(

)A.東偏北53°方向上 B.北偏東37°方向上C.南偏西37°方向上 D.南偏西53°方向上C解析

如圖所示,Q在P的南偏西37°的方向上.(2)下圖中,兩個方向?qū)?yīng)的方位角分別等于

.

30°,240°解析

左題圖中方向?qū)?yīng)的方位角等于30°,右題圖中方向?qū)?yīng)的方位角等于240°.知識點(diǎn)2

解決實(shí)際測量問題的思路和步驟1.基本思路2.一般步驟(1)分析:理解題意,弄清已知與未知,畫出示意圖;(2)建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中,建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;(4)檢驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題,從而得出實(shí)際問題的解.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)運(yùn)用正弦定理和余弦定理測量“不可到達(dá)”類的距離問題一般是借助測量的方位角構(gòu)造已知兩角和一邊的三角形進(jìn)行求解.(

)(2)運(yùn)用正弦定理和余弦定理測量“不可到達(dá)”類的高度問題一般是借助測量的仰(俯)角構(gòu)造已知兩角和一邊的三角形進(jìn)行求解.(

)√√2.海上有A,B兩個小島相距10海里,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B,C島間的距離是(

)D重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一測量距離問題【例1】

如圖,一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊筆直行走,開始在A處,經(jīng)觀察,在河的對岸有一參照物C,與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角,學(xué)生前進(jìn)200m后到達(dá)點(diǎn)B,測得該參照物與前進(jìn)方向成75°角.(1)求點(diǎn)A與參照物C的距離;(2)求河的寬度.規(guī)律方法

三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略(1)解決與距離有關(guān)的問題,若所求的線段在一個三角形中,則直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個三角形中,要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?再利用正弦定理、余弦定理求解.(2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊,分析所解三角形中已知哪些元素,還需要求出哪些元素,靈活應(yīng)用正弦定理、余弦定理來解決.變式訓(xùn)練1[蘇教版教材例題]如圖,為了測量河對岸A,B兩點(diǎn)之間的距離,在河岸這邊取點(diǎn)C,D,測得∠ADC=85°,∠BDC=60°,∠ACD=47°,∠BCD=72°,CD=100m.設(shè)A,B,C,D在同一平面內(nèi),試求A,B兩點(diǎn)之間的距離(精確到1m).探究點(diǎn)二測量高度問題【例2】

如圖,在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ,沿BE方向前進(jìn)30m到點(diǎn)C處,測得頂端A的仰角為2θ,再繼續(xù)前進(jìn)10m至點(diǎn)D處,測得仰角為4θ,求θ的大小和建筑物AE的高度.規(guī)律方法

測量高度問題的求解策略(1)在測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度時,可以借助正弦定理或余弦定理,構(gòu)造兩角(兩個仰角或兩個俯角)和一邊或三角(兩個方向角和仰角)和一邊,如圖所示.(2)解決測量高度問題的一般步驟是:變式訓(xùn)練2如圖,山腳下有一小塔AB,在塔底B測得山頂C的仰角為60°,在山頂C測得塔頂A的俯角為45°,已知塔高AB=20m,求山高CD.解

如圖,過點(diǎn)C作CE∥DB,延長BA交CE于點(diǎn)E,設(shè)CD=x

m,則AE=(x-20)m.探究點(diǎn)三測量角度問題角度1

實(shí)際測量中的角度問題【例3】

地圖測繪人員在點(diǎn)A測得某一目標(biāo)參照物P在他的北偏東30°的方向,且距離他40m,之后該測繪人員沿正北方向行走了40m,達(dá)到點(diǎn)B.試確定此時目標(biāo)參照物P相對于他的方位角以及他與目標(biāo)參照物P的距離.因?yàn)锳B=40

m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此測繪人員到達(dá)點(diǎn)B時,目標(biāo)參照物P相對于該測繪人員的方位角為180°-120°=60°,且目標(biāo)參照物P與他的距離為40

m.變式訓(xùn)練3如圖所示,從A到B,方位角是50°,距離是470m;從B到C,方位角是80°,距離是860m;從C到D,方位角是150°,距離是640m,試計(jì)算從A到D的方位角和距離.角度2

航海與追及中的角度問題【例4】

某漁輪在航行中不幸遇險,發(fā)出呼救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁輪在方位角為45°,距離為10nmile的C處,并測得漁輪正沿方位角為105°的方向,以9nmile/h的速度向某小島靠攏,我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間.變式探究本題中其他條件不變,將“漁輪向小島靠攏的速度”改為“10nmile/h”,將“我海軍艦艇的速度”改為“10nmile/h”,求艦艇的航向和靠近漁輪所需要的時間.規(guī)律方法

測量角度問題畫示意圖的基本步驟

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:不可到達(dá)的距離、高度、角度等實(shí)際問題的測量方案.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):方位角是易錯點(diǎn).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234567891011121314A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]如圖,要測量某湖泊兩側(cè)A,B兩點(diǎn)間的距離,若給出下列數(shù)據(jù),則其中不能唯一確定A,B兩點(diǎn)間的距離的是(

)A.角A,B和邊ACB.角A,B和邊BCC.邊BC,AC和角CD.邊BC,AC和角AD解析

根據(jù)正弦定理,可知當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對角時,解三角形得出的結(jié)果不一定唯一,故選D.12345678910111213142.[探究點(diǎn)一]如圖,在河岸一側(cè)取A,B兩點(diǎn),在河岸另一側(cè)取一點(diǎn)C,若AB=12m,借助測角儀測得∠CAB=45°,∠CBA=60°,則C處河面寬CD為(

)B12345678910111213143.[探究點(diǎn)二]如圖,D,C,B三點(diǎn)在地面同一直線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測得點(diǎn)A的仰角分別是β,α(α<β),則點(diǎn)A離地面的高度AB等于(

)A12345678910111213144.[探究點(diǎn)三(角度1)]一艘船上午9:30在A處,測得燈塔S在它的北偏東30°的方向,且與它相距8nmile,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向,則此船的航速是(

)D12345678910111213145.[探究點(diǎn)三(角度2)]如圖所示,位于A處的信息中心獲悉,在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,則cosθ等于(

)B12345678910111213146.[探究點(diǎn)一]一架飛機(jī)在海拔8000m的高度飛行,在空中測出前下方海島兩側(cè)海岸的俯角分別是30°和45°,則這個海島的寬度為

m.(精確到0.1m)

5856.4

12345678910111213147.[探究點(diǎn)三(角度2)]已知甲船在島B的正南方A處,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的島B航行,同時乙船自島B出發(fā)以6nmile/h的速度向北偏東60°的方向航行,當(dāng)甲、乙兩船距離最近時,它們所航行的時間是

h.

12345678910111213148.[探究點(diǎn)一]某人見一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到達(dá)C,則見A在其北偏東56°方向上,B在其北偏東74°方向上,試求這兩個建筑物間的距離.12345678910111213141234567891011121314B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)某人向正東方向走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走了3km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好

km,則x的值為(

)AB1234567891011121314123456789101112131410.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C相對于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,又測得C相對于山坡的斜度為45°,若CD=50m,山坡的坡角為θ,則cosθ=(

)B123456789101112131411.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,由炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°與60°,且兩條船與炮臺底部的連線成30°角,則兩條船之間的距離為

m.

123456789101112131412.如圖所示,在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測得一建筑物PD的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.123456789