正態(tài)分布課件 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.5

正態(tài)分布問題引入

現(xiàn)實(shí)中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機(jī)變量外，還有大量問題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.下面我們看一個(gè)具體問題.

問題引入(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？新知探索

根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形可知：誤差觀測值有正有負(fù)，并大致對稱地分布在

X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.新知探索

隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖所示.

根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用圖中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.新知探索

由函數(shù)知識知，圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù).那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？新知探索新知探索

正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布.例如，某些物理量的測量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量，自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)，某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等，一般都近似服從正態(tài)分布.新知探索

由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)：思考1：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？新知探索

我們知道，函數(shù)

y=f

(x-μ)

的圖象可由

y=f

(x)

的圖象平移得到.因此，在參數(shù)σ

取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖所示.思考2：一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)

μ

和

σ

完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征？新知探索新知探索例析例.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36；騎自行車平均用時(shí)34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出和的分布密度曲線；解：(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；隨機(jī)變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ可以得到(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示.新知探索

答案：BCD.新知探索

答案：B.例析

(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間時(shí)間內(nèi)不遲到概率大的交通工具.由圖可知，

所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車；如果只有38min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，要選擇坐公交車.新知探索新知探索例1(1)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ＝________，方差σ2＝________.20題型一正態(tài)曲線及性質(zhì)2(2)(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是(

)BCDA.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大D.甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同解析

由題圖可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，σ越小，正態(tài)曲線越“瘦高”.故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙.1.利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象求出μ.思維升華2.“σ”決定數(shù)據(jù)的集中程度的強(qiáng)弱，σ越大，數(shù)據(jù)集中程度越弱，正態(tài)曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”，數(shù)據(jù)越離散.例2

設(shè)ξ～N(1，22)，試求： (1)P(－1≤ξ≤3)；題型二利用正態(tài)分布的對稱性求概率解

∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(3<ξ≤5).解

∵P(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ<－1)，遷移

若“本例”的條件不變，設(shè)ξ～N(1，22),試求P(ξ>5).利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解.思維升華課堂練習(xí)課本P87T1題型