專題03 解一元二次方程4種壓軸題型全攻略（直接開平方法和配方法）（詳解版）

專題03解一元二次方程4種壓軸題型全攻略（直接開平方法和配方法）【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一能運用直接開平方法解方程的條件】 1【考點二運用直接開平方法解一元二次方程】 2【考點三運用配方法解一元二次方程】 2【考點四配方法解方程的拓展提高應用】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點一能運用直接開平方法解方程的條件】【例題1】下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用解一元二次方程——直接開平方法，進行計算即可解答．【詳解】解：，，方程有實數(shù)根，，，故選：D．【點睛】本題考查解一元二次方程——直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程——直接開平方法是解題關(guān)鍵．【變式1】若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的值可以為_______（寫出一個即可）。【答案】5（答案不唯一，只要即可）【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可得出，從而求解．【詳解】關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，故答案為：5（答案不唯一，只要即可）．【點睛】本題主要考查了用直接開平方解一元二次方程，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一個數(shù)的平方為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如果關(guān)于x的方程有實數(shù)解，那么a的取值范圍是_______?！敬鸢浮俊痉治觥肯葘⒃匠套冃螢?，再根據(jù)平方根的意義判斷即可．【詳解】解：方程即為，當時，，要使方程有實數(shù)解，則，即；故答案為：．【點睛】本題考查了利用直接開平方法判斷方程解的問題，掌握解答的方法是解題關(guān)鍵．【變式3】關(guān)于的方程：的根為___________．【答案】【分析】利用直接開平方法解得即可．【詳解】解：∴．∴．故填：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法是解此題的關(guān)鍵．【考點二運用直接開平方法解一元二次方程】【例題2】方程的根是_______?！敬鸢浮俊痉治觥坷弥苯娱_平方法解二元一次方程即可．【詳解】解：∵，∴或，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】下列哪個是一元二次方程的解（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】兩邊同時除以2，再兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：，，，解得，，，故選：C【點睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法，類型有：；（同號且）；；同號且．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解．【變式2】若，則的值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】把當作一個整體，利用平方差公式即可求解【詳解】解：，，，故答案選：B．【點睛】本題考查的是解一元二次方程-直接開平方法，掌握平方差公式及把看成一個整體是解題關(guān)鍵．【變式3】若，則代數(shù)式的值為_______．【答案】【分析】移項整理后，直接開平方即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【考點三運用配方法解一元二次方程】【例題3】用配方法解一元二次方程時，此方程可變形為的形式，則的值為()A．3 B． C．11 D．7【答案】D【分析】先將方程變形為，進而可得，即得答案．【詳解】解：∵∴，即，則，∴，故選：D．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，正確理解題意、熟練掌握配方的方法是關(guān)鍵．【變式1】將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先二次項化系數(shù)為1，將常數(shù)項移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，二次項化系數(shù)為1得：，移項得：，配方得：，整理得：，故選：D．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．【變式2】用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為______．【答案】【分析】對用配方法處理化為的形式即可．【詳解】解：進行移項得，二次項系數(shù)化為1得，配成完全平方式得，即，因為用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，所以，，則；故答案為：．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的配方法等知識，靈活掌握一元二次方程的配方法過程是解題的關(guān)鍵．【變式3】用配方法解一元二次方程時，配成的形式，則的值為______．【答案】【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，兩邊同時除以2，再同時加上，利用完全平方公式得到，從而得到m和n的值，然后計算即可．【詳解】解：，，，，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了解一元二次方程?配方法，將一元二次方程配成的形式是解題關(guān)鍵．【考點四配方法解方程的拓展提高應用】【例題4】代數(shù)式的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】利用配方法對代數(shù)式做適當變形即可解答．【詳解】解：∵∴即代數(shù)式故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式、不等式等知識點，掌握運用配方法求最值是解題的關(guān)鍵．【變式1】對于多項式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】原式配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出m的值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴的最大值為，∴，∴故選：B．【點睛】本題主要考查了配方法的應用，正確將原式配方是解題的關(guān)鍵．【變式2】．若，則___________．【答案】【分析】根據(jù)乘法公式，配方法，非負性，乘方運算等知識即可求解．【詳解】解：變形得，，∴，∴，解得，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查乘法公式，整式的變形，非負性，乘方運算的綜合，掌握以上知識的綜合運算是解題的關(guān)鍵．【變式3】閱讀下列材料：“”這個結(jié)論在數(shù)學中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．試利用“配方法”解決下列問題：簡單應用：（1）填空：；深入探究：（2）已知，求的值；靈活應用：（3）比較代數(shù)式與的大小，并說明理由．【答案】（1），3；（2）1；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非負數(shù)和的形式，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）將兩式相減，再配方即可作出判斷．【詳解】解：（1）．故答案為：，3；（2）∵，∴，∴，∴，解得，∴；（3），∵，∴，∴．【點睛】本題考查了配方法的綜合應用，配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【過關(guān)檢測】一．選擇題1.若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解原方程可得或，進而可得答案.【詳解】解：∵，∴，即，∴或，當時，；當時，無意義，舍去；故選：B.【點睛】本題考查了一元二次方程的解法——直接開平方法，難度不大，注意整體思想的利用.2．跳水是一項難度很大又極具觀賞性的運動，我國跳水隊多次在國際跳水賽上摘金奪銀，被譽為跳水“夢之隊”．為了方便研究，跳水運動員在開始下落至入水前可近似看作自由落體運動，其下落高度h（單位：m）與下落時間（單位：s）滿足的關(guān)系，g（單位：）為重力加速度，計算時取10．若運動員從10m高的跳臺，不做動作，直接跳入水中，則他在空中運動的時間是（）A．1s B． C． D．2s【答案】B【分析】下落高度h（單位：m）與下落時間（單位：s）滿足的關(guān)系，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】依題意得：解得：或（不符合題意，舍去）∴他在空中運動的時間是．故選：B【點睛】本題考查一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，代入數(shù)值，正確計算．3．用配方法解方程時，配方后得到方程是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)配方法解方程的步驟求解即可．【詳解】解：用配方法解方程時，移項可得：，配方，得，即為．故選：A．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法求解的步驟和方法是關(guān)鍵．4．用配方法將方程化成的形式，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得．【詳解】解：，，∴，∴，∴的值是1；故選：A．【點睛】本題主要考查配方法，熟練掌握配方法的步驟一除，二移，三配方，是解題的關(guān)鍵．5．用配方法解方程時，可以將方程化為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將常數(shù)移到方程右邊，再二次項系數(shù)化為1，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即可求解．【詳解】解：，，，，．故選：A．【點睛】本題考查用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．6．用配方法解一元二次方程，配方后得（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把二次項系數(shù)化為1，再把常數(shù)項移到方程的右邊，進行把方程兩邊加上，然后把方程左邊利用完全平方公式寫成平方的形式即可．【詳解】解：故選∶A．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．二.填空題7.已知關(guān)于的一元二次方程的根為，那么關(guān)于y的一元二次方程的解_______．【答案】和【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義可得，進而解關(guān)于的一元二次方程即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為，∴關(guān)于y的一元二次方程可得，解得和．故答案為：和．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．8．若，則．【答案】5【分析】設，把原方程化為關(guān)于的一元二次方程，解方程求出，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可獲得答案．【詳解】解：設，則原方程變形為，即，解得，，∵，∴．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握解一元二次方程的一般方法和步驟是解題的關(guān)鍵．9．已知一等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為方程的根，該等腰三角形的周長為_______．【答案】13或14【分析】先求出一元二次方程的根，再討論5是等腰三角形的底還是腰，求出三角形周長．【詳解】解：，解得，若5是等腰三角形的底，則等腰三角形的腰只能是4，此時周長是，若5是等腰三角形的腰，則等腰三角形的底是4，那么周長是．故答案是：13或14．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是分類討論等腰三角形的腰長和底長，需要注意構(gòu)成三角形的條件．10．用配方法解一元二次方程時，配成的形式，則的值為_______．【答案】【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，兩邊同時除以2，再同時加上，利用完全平方公式得到，從而得到m和n的值，然后計算即可．【詳解】解：，，，，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了解一元二次方程?配方法，將一元二次方程配成的形式是解題關(guān)鍵．11．已知是完全平方式，則常數(shù)的值是_______．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案．【詳解】解：，，即，，則，即，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查利用完全平方式求參數(shù)，利用配方法得到方程，再由配方法解方程是解決問題的關(guān)鍵．12．若定義如果存在一個數(shù)i，使，那么當時，有，從而是方程的兩個根．據(jù)此可知：方程的兩根為_______（根用i表示）．【答案】，【分析】方程利用配方法，結(jié)合閱讀材料中的方法求出解即可．【詳解】解：方程整理，得，配方得，即，開方，得，解得，，故答案為：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，以及新定義的運算，讀懂新定義并熟練掌握配方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．13．若，則式子的值為_______．【答案】2024【分析】先將配方，然后將代入即可．【詳解】解：∵，，∴原式，故答案為：2024．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，配方法的應用，將原式變形為是解題關(guān)鍵．14．已知為實數(shù)，若，那么的值為_______．【答案】2或3【分析】將原方程變形為，然后把看作一個整體運用因式分解法求出的值即可．【詳解】解：∵，∴,∴,∴,∴，解解，，故答案為：2或3．【點睛】本題主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正確將原方程進行變形運用因式分解法求解是解答本題的關(guān)鍵．15．代數(shù)式的最小值為_______．【答案】【分析】利用配方法將代數(shù)式變形，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可．【詳解】解：，當，即時，代數(shù)式取得最小值，最小值為，故答案為：．【點睛】此題考查了配方法的應用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握三、解答題16．解方程：．【答案】【分析】用直接開平方法，解一元二次方程即可．【詳解】解：，方程兩邊同除以2得：，，所以．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的一般方法，準確計算．17．解方程：（開平方法）．【答案】，【分析】先移項，然后利用直接開平方法解方程，即可得到答案．【詳解】解：，，∴，∴或，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握直接開平方法解一元二次方程．18．解方程．【答案】，．【分析】根據(jù)直接開平方法即可得方程的解．【詳解】解：，整理得，∴，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采