江蘇省連云港海寧中學2024-2025學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題

第1頁（共1頁）江蘇省連云港海寧中學2024-2025學年初中九上數(shù)學第一次月考試題一．選擇題（共8小題）1．已知任意實數(shù)滿足等式x＝a2﹣4ab+4b2，y＝4a﹣8b﹣5，則x，y的大小關(guān)系是（）A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．x≥y2．一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的兩實數(shù)根都是整數(shù)，則下列選項中a可以取的值是（）A．12 B．16 C．20 D．243．在平面直角坐標系中，已知點P（m﹣1，n2）、Q（m，n2﹣1），其中m≥0，則下列函數(shù)的圖象可能同時經(jīng)過P、Q兩點的是（）A．y＝2x+b B．y＝ax2+2ax+c（a＞0） C．y＝ax+2（a＞0） D．y＝﹣x2﹣2x+c（c＞0）4．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分如圖所示，其中對稱軸為：x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②a+c＞b；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；⑤c＜﹣2a，上述結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖1，在平行四邊形ABCD中，BC⊥BD，點F從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→C→D勻速運動，點E從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B勻速運動，其中一點停止時，另一點隨之停止運動，圖2是△BEF的面積S（cm2）隨時間t（s）變化的函數(shù)圖象，當△BEF的面積為10cm2時，運動時間t為（）A．s B．4s或s C．5s D．3s或7s6．已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的兩根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，則a、b的值分別是（）A．a(chǎn)＝﹣3，b＝1 B．a(chǎn)＝3，b＝1 C．，b＝﹣1 D．，b＝17．關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k取值范圍是（）A．k≥﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．8a+c＝0二．填空題（共7小題）9．已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，則a2+b2的值為．10．若關(guān)于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有兩個不等的實根，則m的取值范圍是．11．已知關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系數(shù)滿足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，則該方程的根是．12．當m＝時，關(guān)于x的方程x2﹣6x﹣m＝0有兩個相等的實數(shù)根．13．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根為x＝1，則一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根為．14．如圖，二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2的圖象經(jīng)過點A（﹣1，4），與y軸交于點B，C、D分別為x軸、直線x＝1上的動點，當四邊形ABCD的周長最小時，則點D的坐標為．15．拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a為常數(shù)），若當4≤x＜5時，對應(yīng)的函數(shù)值y恰好有3個整數(shù)值，則a的取值范圍是．三．解答題（共9小題）16．已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？（2）設(shè)x1、x2是方程的兩根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．17．我們在求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值時，可以考慮用如下法求得：解：y2+4y+8＝y(tǒng)2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．請用上面的方法解決下面的問題：（1）代數(shù)式m2+10m﹣6的最小值為；（2）某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為24m的柵欄圍成．如圖，設(shè)AB＝x（m），①AB的取值范圍是；②當x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？18．商場某種商品平均每天可銷售40件，每件盈利60元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查，每件商品每降價1元，商場平均每天可多銷售2件．（1）當每件盈利50元時，每天可銷售件．（2）每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到3072元？19．已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）若該方程的一個根為2，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有實數(shù)根．20．已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象經(jīng)過點（8，10），．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點P為二次函數(shù)圖象上一點，點F在y軸正半軸上，將線段PF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，點E恰好落在x軸正半軸上，求點P的坐標．21．某數(shù)學興趣小組研究函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象：首先根據(jù)式子結(jié)構(gòu)采用分類的數(shù)學方法：當x≥1時，y＝x﹣1；當x＜1時，y＝1﹣x．然后根據(jù)一次函數(shù)圖象的畫法分別畫出圖象，如圖（1）所示．類似的，研究函數(shù)y＝x|x﹣2|的圖象時，他們已經(jīng)畫出了x≤2時的圖象．（1）請你用描點法補全此函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象，直接寫出當x為何值時，y隨著x的增大而減?。浚?）當0≤x≤a時，y的最大值是1，最小值是0，請你直接寫出a的取值范圍．22．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C；（1）用配方法將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3化為y＝a（x+h）2+k的形式；（2）觀察圖象，當0≤x＜4時，y的取值范圍為；（3）設(shè)二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象的頂點為M，求△ACM的面積．23．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，已知A（﹣2，0），B（4，0），點Q為射線OB上一點，過點Q作y軸的平行線，分別交拋物線、直線BC于點D、E．（1）求拋物線的表達式；（2）連接CD、AC，是否存在△CDE與△ABC相似，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由；（3）是否存在以點C、D、G、E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點D的坐標，若不存在，請說明理由．24．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上的動點，且滿足S△PAO＝2S△PCO，求出P點的坐標；（3）連接BC，點E是x軸一動點，點F是拋物線上一動點，若以B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點F的坐標．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣4ab+4b2﹣（4a﹣8b﹣5）＝（a﹣2b）2﹣4（a﹣2b）+4+1＝[（a﹣2b）﹣2]2+1，∴[（a﹣2b）﹣2]2+1＞0，∴x＞y．故選：B．2．【解答】解：當a＝12時，方程為x2﹣8x﹣12＝0，解得不是整數(shù)，故A選項不符合題意；當a＝16時，方程為x2﹣8x﹣16＝0，解得不是整數(shù)，故B選項不符合題意；當a＝20時，方程為x2﹣8x﹣20＝0，解得x＝10或x＝﹣2是整數(shù)，故C選項符合題意；當a＝24時，方程為x2﹣8x﹣24＝0，解得不是整數(shù)，故D選項不符合題意；解法二：x＝4±，由選項可知，a＝20，符合題意．故選：C．3．【解答】解：∵m＞0，∴m﹣1＜m，∵n2＞n2﹣1，∴當m＞0時，y隨x的增大而減小，A、y＝2x+b中，y隨x的增大而增大，故A不可能；B、y＝ax2+2ax+c（a＞0）中，開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大故B不可能；C、y＝ax+2中，a＞0，y隨x的增大而增大，故C不可能；D、y＝﹣x2﹣2x+c中，開口向下，對稱軸為直線x＝＝﹣1，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小，故D有可能，故選：D．4．【解答】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵對稱軸為：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸交于y軸的正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故①不正確，∵2×1﹣3＝﹣1，當x＝3時，y＝0，∴當x＝﹣1時，a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，故②不正確，∵b＝﹣2a，∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0，故③正確，∵當x＝1時，y＝a+b+c，a＜0，∴函數(shù)的最大值為：a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0），∴a+b＞am2+bm，故④正確，由上知，a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，∴c＝﹣3a＞﹣2a，故⑤不正確，∴③④正確，故選：B．5．【解答】解：由圖1、圖2可知，當t＝6時，點F與點C重合；當6＜t≤10時，點F在CD上運動，而點E繼續(xù)在AB上運動4s，∵四邊形ABCD是平行四邊形，點F、點E的速度都是1cm/s，∴CD＝AB＝1×10＝10（cm），BC＝1×6＝6（cm），∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴BD＝＝＝8（cm），當0＜t≤6時，如圖3，作FG⊥AB，交AB的延長線于點G，則∠G＝∠CBD＝90°，∵AB∥CD，∴∠GBF＝∠C，∴△BGF∽△CBD，∴＝，∴GF＝?BF＝×t＝t（cm），∴S＝×t（10﹣t）＝﹣t2+4t，當S＝10時，則﹣t2+4t＝10，解得t1＝t2＝5；當6＜t≤10時，如圖4，作CH⊥AB，交AB的延長線于點H，∵CD?CH＝BC?BD＝S△CBD，∴×10CH＝×6×8，解得CH＝，∴S＝×（10﹣t）＝﹣t+24，當S＝10時，則﹣t+24＝10，解得t＝，不符合題意，舍去，綜上所述，運動時間t為5s，故選：C．6．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的兩根，∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴﹣2a＝3，b＝1，即a＝﹣，b＝1，故選：D．7．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：k＜2且k≠1．故選：C．8．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線交y軸的正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故A、B錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，而點（﹣2，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標為（4，0），∴當x＝3時，y＝9a+3b+c＞0，故C錯誤；∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正確，故選：D．二．填空題（共7小題）9．【解答】解：設(shè)a2+b2＝y(tǒng)，則原方程換元為y（y﹣6）＝16，即y2﹣6y﹣16＝0∴（y﹣8）（y+2）＝0，解得：y1＝8，y2＝﹣2，即a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合題意，舍去），∴a2+b2＝8．故答案為：8．10．【解答】解：根據(jù)題意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3且m≠2．故答案為m＜3且m≠2．11．【解答】解：∵關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系數(shù)滿足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，∴該方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．故答案為：x1＝1，x2＝﹣2．12．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣6x﹣m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣m）＝36+4m＝0，解得：m＝﹣9．故答案為：﹣9．13．【解答】解：對于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0，設(shè)t＝x﹣1，所以at2+bt﹣1＝0，而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根為x＝1，所以at2+bt﹣1＝0有一個根為t＝1，則x﹣1＝1，解得x＝2，所以a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根為x＝2．故答案為：x＝2．14．【解答】解：作點A關(guān)于對稱軸x＝1的對稱點E，則E（3，4），作點B關(guān)于x軸的對稱點F，連接EF交x軸于點C，交對稱軸于點D，此時四邊形ABCD的周長取得最小值，將點A（﹣1，4）代入y＝a（x﹣1）2得4a＝4，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，∴點B坐標為（0，1），則點F（0，﹣1），設(shè)CD所在直線解析式為y＝mx+n，將E（3，4），F(xiàn)（0，﹣1）代入得，解得，所以CD所在直線解析式為y＝x﹣1．當x＝1時，y＝，∴D（1，）．故答案為：（1，）．15．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a為常數(shù)），∴對稱軸為直線x＝﹣＝2，∴當4≤x＜5時，y隨x的增大而增大，∴當x＝4時，y＝﹣3，x＝5時，y＝5a﹣3，∵當4≤x＜5時，對應(yīng)的函數(shù)值y恰好有3個整數(shù)值，∴它的三個整數(shù)分別是﹣3，﹣2，﹣1，∴﹣1≤5a﹣3≤0，∴；故答案為：．三．解答題（共9小題）16．【解答】解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，解得：m＞﹣2；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2＝2（m+1），∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m＝1．17．【解答】解：（1）m2+10m﹣6＝m2+5m+25﹣25﹣6＝（m+5）2﹣31，∵（m+5）2≥0，∴（m+5）2﹣31≥﹣31，∴m2+10m﹣6的最小值是﹣31，故答案為：﹣31；（2）①設(shè)AB＝xm，則BC＝（24﹣2x）m，∵墻長15m，∴0＜24﹣2x≤15，解得≤x＜12，∴AB的取值范圍是≤x＜12．故答案為：≤x＜12；②設(shè)花園的面積為S，由題意得：S＝x（24﹣2x）＝﹣2x2+24x＝﹣2（x2﹣12x）＝﹣2（x2﹣12x+36﹣36）＝﹣2（x﹣6）2+72，∵﹣2（x﹣6）2≤0，∴﹣2（x﹣6）2+72≤72，∴當x＝6時，S最大＝72，答：當x＝6時，花園的面積最大，最大面積是72平方米．18．【解答】解：（1）40+2×（60﹣50）＝60（件）．故答案為：60．（2）設(shè)每件商品降價x元，則每件盈利（60﹣x）元，平均每天可售出（40+2x）件，依題意得：（60﹣x）（40+2x）＝3072，整理得：x2﹣40x+336＝0，解得：x1＝12，x2＝28，又∵要盡快減少庫存，∴x＝28．答：每件商品應(yīng)降價28元．19．【解答】解：（1）將x＝2代入方程x2+ax+a﹣1＝0得，4+2a+a﹣1＝0，解得，a＝﹣1；方程為x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，即方程的另一根為1；（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，∴不論a取何實數(shù)，該方程都有實數(shù)根．20．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象經(jīng)過點（8，10），，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達式為y＝+2；（2）過點P作PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，如圖，∵線段PF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，點E恰好落在x軸正半軸上，∴∠FPE＝90°，PF＝PE∴∠FPA+∠EPA＝90°．∵作PA⊥x軸，PB⊥y軸，OF⊥OE，∴四邊形APBO為矩形，∴∠APB＝90°，∴∠BPF+∠FPA＝90°，∴∠FPB＝∠EPA．在△BPF和△APE中，，∴△BPF≌△APE（AAS），∴PB＝PA．∴點P的橫縱坐標相等，設(shè)P（m，m），∵點P為二次函數(shù)圖象上一點，∴2＝m，解得：m1＝m2＝4，∴點P的坐標為（4，4）．21．【解答】解：（1）當x≥2時，y＝x|x﹣2|＝y(tǒng)＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，∴當x＝2時，y＝0，當x＝3時，y＝3，當x＝4時，y＝8，補全此函數(shù)的圖象如下：（2）根據(jù)圖象，當1＜x＜2時，y隨著x的增大而減??；（3）當y＝1時，x2﹣2x＝1，解得x＝+1或﹣+1（舍去），∴a的取值范圍為1≤a≤．22．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；（2）由（1）知，二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣4），在將x＝4代入二次函數(shù)解析式中的y＝5．當0≤x≤4時，y的取值范圍為：﹣4≤y＜5．故答案為：﹣4≤y＜5；（3）由（1）知，二次函數(shù)的頂點坐標為M（1，﹣4），由二次函數(shù)圖象與x軸交于點B，所以x2﹣2x﹣3＝0，得到點A（﹣1，0），由二次函數(shù)圖象與y軸交于點C，所以點C（0，﹣3），所以三角形ACM的面積＝×2×4﹣×（1+4）×1﹣×1×1＝1．23．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），則y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝y(tǒng)＝﹣x2+x+4，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+4①；（2）存在，理由：過點C作直線l∥y軸交拋物線于點R，設(shè)∠ECR＝α，則∠RCE＝CBO＝45°，即∠DCE＝45°+α，由OB＝OC＝4知，∠OCB＝∠OCB＝45°，∵QD∥y軸，則∠DEC＝∠OCB＝∠ABC＝45°，∵△CDE與△ABC相似，則∠DCE＝∠ACB或∠CAB；①∠DCE＝∠ACB時，∵∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠ACO+45°，∠DCE＝45°+α，∴∠ACO＝α，∴tan∠ACO＝＝tanα，故直線CD的表達式為：y＝x+4②，聯(lián)立①②得：﹣x2+x+4＝x+4，解得：x＝0（舍去）或1，即點D（1，4.5），則點Q（1，0）；②∠DCE＝∠CAB時，延長DC交x軸于點H，則∠CHO＝∠DCE＝α，∵∠OAC＝∠ACH+∠AHC＝α+∠ACH，∠DCE＝45°+α，∴∠ACH＝45°，在△ACH中，過點H作AC的垂線交CA的延長線于點M，∵tan∠HAM＝tan∠CAO＝＝2，設(shè)AM＝m，則HM＝2m，在等腰Rt△CMH中，HM