30高中數(shù)學(xué)新教材課堂導(dǎo)學(xué)案（復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及函數(shù)圖像的切線）及答案

課堂導(dǎo)學(xué)（簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及函數(shù)圖像的切線）【知識(shí)點(diǎn)】1．復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作__y＝f(g(x))__．思考：函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？[提示]函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的．2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于___y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積_____．3．區(qū)別兩種題意：（1）函數(shù)在處的切線；（必定是切點(diǎn)）（2）函數(shù)過處的切線.（可能是切點(diǎn)）4．如圖，若函數(shù)在處的切線為，則有三個(gè)條件成立：（1）；（2）（函數(shù)過點(diǎn)）；（3）（切線過點(diǎn)）.【典例】例1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝sin(πx)的復(fù)合過程是y＝sinu，u＝πx．(√)(2)f(x)＝ln(3x－1)則f′(x)＝eq\f(1,3x－1)．(×)(3)f(x)＝x2cos2x，則f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x．(√)例2．（1）求在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的解析式．解：（1）∵∴∴，∴切線斜率，又∵，∴切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式，得所求為，即（2）∵∴∵切線方程為，即，即∴，又∵在，∴即，∴，解得.例3．一點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是()A.B.C.D.思路：傾斜角的正切值即為切線的斜率，進(jìn)而與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。，對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，斜率的范圍即為導(dǎo)函數(shù)的值域：，所以傾斜角的范圍是答案：B例4．（1）已知直線與雙曲線相切，求的值；（2）已知直線與函數(shù)相切，求的值.（3）已知直線與函數(shù)相切，求的值.解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，∴依題意，得，解得或解：（2）設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，∴依題意，得，解得.（3）設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，∴依題意，得，解得.例5．求過點(diǎn)，且與曲線相切的直線方程解：∵點(diǎn)在函數(shù)曲線上（1）當(dāng)是切點(diǎn)時(shí)由，，∴切線斜率，且切點(diǎn)為由點(diǎn)斜式，切線方程為，即.（2）當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，∴切線斜率，由點(diǎn)斜式，切線方程為，即，∵切線過點(diǎn)，∴，解得（舍去）或∴，切線方程為，即綜上（1）（2）所述，切線為或小煉有話說：（1）由于在導(dǎo)數(shù)中利用極限的思想對(duì)切線進(jìn)行了嚴(yán)格定義，即割線的極限位置是切線，從而不能局限的認(rèn)為切線與曲線的公共點(diǎn)一定就是切點(diǎn)，存在一條直線與曲線相切于一點(diǎn)，并與曲線的另一部分相交于一點(diǎn)的情況，本題便是一個(gè)典型的例子（2）在已知一點(diǎn)求切線方程時(shí)，要注意切線斜率不僅可用切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值來表示，也可以用已知點(diǎn)與切點(diǎn)來進(jìn)行表示，進(jìn)而增加可以使用的條件.例6．已知，（），直線與函數(shù)，的圖象都相切，與圖象的切點(diǎn)為，則m等于()A．－1B．－3C．－4D．－2解：∵，∴，∴，即切線斜率，又，及切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式，所求切線方程為，即.由，消去，，∵直線與（）相切，∴，∴解得或，選D【作業(yè)】一、選擇題1．已知函數(shù)，則（C）A．B．C．D．2.函數(shù)在處切線的傾斜角為（A）

A.

B.

C.

D.3.已知函數(shù)，則（B）A． B． C． D．4．（2011湖南）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（B）A．B．C．D．4．B【解析】，所以.5.(2010全國文)若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則（A）（A）(B)(C)(D)6．函數(shù)的圖像如圖所示，的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。下列數(shù)值排序正確的是(D)A． B． C． D．7．（多選題）（2020·江蘇常州市高二期末）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算不正確的是（ABC）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，正確.8．（多選題）（2020·全國高二專題練習(xí)）下列結(jié)論中不正確的是（ACD）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，故正確；對(duì)于C，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故錯(cuò)誤．故選：ACD9．（2017新課標(biāo)Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．9．【解析】∵，又，所以切線方程為，即．

10.（2009寧夏海南卷）曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為．11.已知直線與曲線切于點(diǎn)，則的值為____3_____12．（2015新課標(biāo)1）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)的處的切線過點(diǎn)，則1．12．1【解析】∵，∴，即切線斜率，又∵，∴切點(diǎn)為（1，），∵切線過（2,7），∴，解得1．13．（2015新課標(biāo)2）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則8．分析：先求出曲線在點(diǎn)處的切線為再由得，驗(yàn)證得當(dāng)不成立因?yàn)橄嗲?，所以，即（），解?三、解答題14．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：（1）；（2）．【詳解】（1）；（2）．15.求過點(diǎn)與函數(shù)相切的直線方程.解法一：設(shè)所求直線為由，消得，∵相切，∴以上方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即∴，提取公因式得，即∴或∴切線方程為：或解法二：設(shè)切點(diǎn)為∵，∴所以，∴以切線斜率，且∵切點(diǎn)在拋物線上，即由