全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷2（共249題）

全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷2（共9套）（共249題）全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第1套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2，∴｜A2｜=｜B2｜，｜AA｜=｜BB｜．∵｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2，∴｜A｜2=｜B｜2．答案為D。2、設(shè)A是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵A是2階可逆矩陣，∴A的秩為2，由于兩矩陣等價(jià)則矩陣的秩相等，由題知D答案中矩陣秩為2，所以選D．答案為D。3、線性方程組無解，則λ=()A、0B、1C、一1D、任意實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ≠0且λ≠一1時(shí)有惟一解，當(dāng)λ=一1時(shí)有無窮多解．當(dāng)λ=0時(shí)無解．答案為A。4、設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=C’AC，則下述結(jié)論________不成立．()A、A與B相似B、A與B等價(jià)C、A與B有相同的特征值D、A與B有相同的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵C是正交陣，∴C’=C-1，B=C-1AC，因此A與B相似．A對(duì)．C是正交陣｜C｜≠0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)．兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)．(λI一A)X=0與(λI—B)X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D．答案為D。5、當(dāng)t為________，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣A=各階順序主子式為2＞0，二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式中(3，2)元素的代數(shù)余子式A32=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：—8知識(shí)點(diǎn)解析：A32(一1)3+2=一(4+4)=一8．7、=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)A、B均為3階矩陣，｜A｜=3，｜B｜=一2，則｜一2A1．B-1｜=_________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：｜一2ATB-1｜=(一2)．｜AT｜．｜B-1｜=一8×｜A｜×=12．9、設(shè)A為m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，則矩陣B=AC的秩為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)矩陣的秩的定理2．6．1推論：設(shè)A為m×n矩陣，P和Q分別是m階和n階可逆矩陣．則r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(AC)—r(A)=r．10、設(shè)矩陣A=的秩為2，則λ=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)矩陣A作初等變換，有由此可知，當(dāng)λ一1≠0時(shí)r(A)=3，而λ一1=0時(shí)r(A)=2．所以λ一1=0即λ=1．11、已知線性方程組無解，則λ=__________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ=一1時(shí)，第4個(gè)方程為矛盾方程，因而無解．12、若A2=E，則A的特征值只能是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1或一1知識(shí)點(diǎn)解析：由A2=E得A2一E=0，(A—E)(A+E)=0｜(A—E)｜｜(A+E)｜=0故｜A—E｜=0或｜(A+E)｜=｜(一A—E)｜=0故必有λ一1=0或一λ一1=0即λ=1或一1．13、如果向量x是矩陣A的特征向量，則__________是矩陣P-1AP的特征向量．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：P-1x知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B=P-1AP，則A=PBP-1，又Ax=λx，所以有PBP-1x=λx，兩邊同時(shí)左乘可逆矩陣P-1得BP-1x=λP-1x，即(P-1AP)P-1x=λP-1x，由特征值和特征向量的定義即可得到，P-1x是P-1AP的一個(gè)特征向量．14、設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，α1=是A屬于不同特征值λ1和λ2的特征向量，則a=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α2)=a一8+3=a一5=0，所以a=5．15、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3的正慣性指數(shù)p=__________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：p=2知識(shí)點(diǎn)解析：令=2≠0，所以經(jīng)過可逆線性變換二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=y12+2y22—2y32，所以正慣性指數(shù)p=2．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算D=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)是二次多項(xiàng)式，已知f(1)=1，f(一1)=9，f(2)=一3，求出f(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則有解得a=0，b=一4，c=5，從而f(x)=一4x+5，f(3)=一7．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A、B為兩個(gè)三階矩陣，且｜A｜=一1，｜B｜=5．求｜2(ATB-1)2｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜2(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)｜2=23｜A｜2｜B｜-2=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)向量α，β，γ滿足5(α一γ)+3(β+γ)=0，其中α=，求α+β+γ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于5α一5γ+3β+3γ=0，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)向量α1=都是方陣A的屬于特征值λ的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A。β．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此r(A)=3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、將線性無關(guān)向量組α1=化為單位正交向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：用施密特正交化方法，有則β1，β2，β3是正交向量組，再單位化，有則γ1，γ2，γ3是單位正交向量組．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、用正交變換將二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32一2x1x2—2x1x3—2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型并寫出正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先寫出二次型的系數(shù)矩陣為A=A的特征多項(xiàng)式｜λE—A｜=λ(λ一3)2，所以A的特征值為λ1=λ2=3，λ3=0．對(duì)于λ1=λ2=3解齊次線性方程組(3E—A)X=0，求出基礎(chǔ)解系α1=對(duì)于λ3=0，解齊次線性方程組(—A)X=0，求出基礎(chǔ)解系α3=．令P=(β1，β2，β3)=，則P為正交矩陣，經(jīng)過正交變換X=PY，二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=3y12+3y22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、已知向量組α1，α2，…，αm與向量組α1，α2，…，αm，β有相同的秩，證明：β可由α1，α2，…，αm線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)是α1，α2，…，αm的一個(gè)極大無關(guān)組，由于α1，α2，…，αm，β的秩也是r，所以也是α1，α2，…，αm，β的一個(gè)極大無關(guān)組，所以β可由僅是α1，α2，…，αm的一個(gè)部分向量組，所以β也可由α1，α2，…，αm線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第2套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)矩陣，則A、a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3B、a＝－1，b＝3，c=1，d＝33C、a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3D、a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣相等，要求對(duì)應(yīng)位置的每一個(gè)元素都要相等，則從而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故選D項(xiàng)．2、設(shè)A為二階可逆矩陣，且(3A)－1＝，則A＝A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、下列命題中錯(cuò)誤的是A、一個(gè)非零向量線性無關(guān)B、任意一個(gè)含零向量的向量組線性相關(guān)C、由4個(gè)三維向量組成的向量組線性相關(guān)D、由3個(gè)四維向量組成的向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：很顯然A、B、C正確，舉例法．設(shè)α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．4、已知是三元齊次線性方程組Ax＝0的解，則系數(shù)矩陣A可為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題知是兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，則該Ax＝0的基礎(chǔ)解系中至少含有2個(gè)自由向量，即3－r(A)≥2，得r(A)≤1，顯然只有A項(xiàng)的秩為1≤l，故選A項(xiàng)．5、矩陣A＝的非零特征值為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝0，λ2＝λ3＝2，故A的非零特征值為2．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)矩陣，則ATB-1＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)矩陣A＝，則A2－E＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：O知識(shí)點(diǎn)解析：又AE＝EA，所以A2－E＝(A+E)(A－E)8、已知向量組α1＝(1，0，2)T，α2＝(0，1，5)T，α3＝(1，－1，0)T，則此向量組的秩為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A＝(α1，α2，α3)得r(A)＝3，故向量組α1，α2，α3的秩為3．9、設(shè)向量組α1＝(1，－1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(-1，a，1)線性無關(guān)，則數(shù)a_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：≠2知識(shí)點(diǎn)解析：由α1，α2，α3線性無關(guān)，得≠0，解之得a≠2．10、設(shè)向量α＝(1，2，3，4)，則α的長度為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、已知A為三階方陣，若齊次線性方程組Ax＝0只有零解，則矩陣A的秩r(A)＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)A為n階方陣，已知A有一個(gè)特征值為－2，則(AT)－1必有一個(gè)特征值為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1/2知識(shí)點(diǎn)解析：因A有一個(gè)特征值為－2，又由A與AT有相同的特征值，則AT有一個(gè)特征值為－2，且(AT)－1有一個(gè)特征值為－1／2．13、已知三階方陣A的3個(gè)特征值為1，－1，2，則｜A*｜＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：若λ為A的特征值，則A*的特征值，由A的特征值為1，－1，2，則A*的特征值為－2，2，－1．故｜A*｜＝(－2)×2×(－1)＝4．14、已知A＝是正交矩陣，則a－b＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由正交矩陣的定義知AAT＝En，15、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋4x1x2－2x2x3的矩陣為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算行列式D＝的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)A為n階方陣，滿足A2－3A－2E＝O，其中A可逆，求A－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、判斷向量組α1＝(1，2，1)T，α1＝(2，3，3)T，α3＝(3，7，1)T是否為R3的基．若是，求出向量β＝(3，1，4)T在這組基下的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)向量組α1＝(3，1，2，0)，α2＝(0，7，1，3)，α3＝(－1，2，0，1)，α4＝(6，9，4，3)，求其一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量通過極大無關(guān)組表示出來．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知方程組，則當(dāng)a為何值時(shí)方程組有非零解，并求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)a≠-1時(shí)，r(A)＝3，方程組只有零解．(2)當(dāng)a＝1時(shí)，r(A)＝2，方程組有非零解．則基礎(chǔ)解系中含3－2＝1個(gè)解向量η，且η＝(－1，1，0)T．故此方程組的通解為kη，且k為任意實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知A＝，(1)求A的相似標(biāo)準(zhǔn)形，即P－1AP＝A；(2)求A的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形即QTAQ＝A，且QT＝Q－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)向量組α1＝(1，－1，1)T，α2＝(0，1，－1)T，α3＝(1，0，1)T，用施密特正交化方法將向量組α1，α2，α3化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、已知A～B，C～D證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳～B，C～D．所以必存在可逆矩陣P、Q使P-1AP＝B，Q-1CQ＝D．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第3套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、如果n階方陣A滿足AT．A=A．AT=I，則A的行列式｜A｜為()A、｜A｜=1B、｜A｜=一1C、｜A｜=1或一1D、｜A｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜A．AT=｜A｜．｜AT｜=｜A｜2=｜I｜=1，所以｜A｜=±1．答案為C。2、設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得的矩陣，則有()A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0，則一定有|B|=0D、若|A|＞0，則一定有|B|＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B=PAQ，其中P，Q為可逆矩陣，于是當(dāng)|A|=0時(shí)，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故選C．3、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：單個(gè)非零向量是線性無關(guān)的，∴選項(xiàng)A不對(duì)，而(α1，α2，α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C4、若α1,α2,α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三個(gè)線性組合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無關(guān)，且與α1,α2,α3等價(jià)．答案為C。5、若可逆矩陣A有特征值λ=2，則(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案為B。6、≠0的充要條件為()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠±1D、k≠0或k≠±1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：≠0→k(k2一1)≠0→k≠0且k≠±1．答案為C。7、設(shè)＝A、6mB、－6mC、5mD、-m標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)A為m×n矩陣，秩為，r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C9、初等矩陣相當(dāng)于對(duì)A()A、交換2，3兩行的變換B、交換2，3兩列的變換C、交換1，2兩行的變換D、交換1，3兩列的變換標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因右乘初等矩陣為列變換且右乘為交換2，3兩列．10、設(shè)A，B是兩個(gè)同階的上三角矩陣，那么AT．BT是矩陣．()A、上三角B、下三角C、對(duì)角形D、即非三角也非下三角標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AT，BT均為下三角陣，因此AT．BT也是下三角陣．答案為B。11、設(shè)矩陣，則A、a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3B、a＝－1，b＝3，c=1，d＝33C、a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3D、a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣相等，要求對(duì)應(yīng)位置的每一個(gè)元素都要相等，則從而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故選D項(xiàng)．12、設(shè)A=(aij)是s×r矩陣，B=(bij)是r×s矩陣，如果BA=Ir，則必有()A、r＞sB、r≤sC、r≥sD、r＜s標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于r=r(Ir)=r(BA)≤min{r(B),r(A)}，故得r(B)≥r，且r(A)≥r，故r≤s．13、設(shè)A是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵A是2階可逆矩陣，∴A的秩為2，由于兩矩陣等價(jià)則矩陣的秩相等，由題知D答案中矩陣秩為2，所以選D．答案為D。14、設(shè)A為m×n矩陣，則n元齊次線性方程組Ax＝0存在非零解的充要條件為A、A的列向量線性無關(guān)B、A的行向量線性無關(guān)C、A的列向量線性相關(guān)D、A的行向量線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充要條件是A的列向量線性相關(guān)．15、當(dāng)t為________，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣A=各階順序主子式為2＞0，16、設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=C’AC，則下述結(jié)論_______不成立．()A、A與B相似B、A與B等價(jià)C、A與B有相同的特征值D、A與B有相同的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：∵c是正交陣∴c=c-1，B=C-1AC，因此A與B相似．A對(duì)．c是正交陣｜C｜≠0，CTAC相當(dāng)對(duì)A實(shí)行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價(jià)，B對(duì)．兩個(gè)相似矩陣A、B有相同的特征值，C對(duì)．(λI—A)X=0與(λI—B)X=0是兩個(gè)不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個(gè)方程的非零解常常不同，所以只有D不對(duì)，選D答案為D。17、當(dāng)t為______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣各階順序主子式為2＞0，即即因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，答案為C18、設(shè)A，B是n階正定矩陣，則_______是正定矩陣．()A、A*.B*B、A*+B*C、k1A*+k2B*D、A*一B*標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B是n階正定階陣，則A*，B*也是n階正定矩陣，所以對(duì)于任何非零實(shí)列向量x都有xTA*x＞0，xTB*x＞0，二式相加xTA*x+xTB*x=xT(A*+B*)x＞0對(duì)任何非零實(shí)列向量都成立，由定義知，A*+B*為正定矩陣．答案為B19、λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)______時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同時(shí)為零，所以C，D不對(duì)；x1，x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和，不再是其中一個(gè)方程的解．所以A的特征向量不是A選項(xiàng)．選項(xiàng)B，因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．20、設(shè)A，B為n階矩陣，且A，B相似，則以下錯(cuò)誤的是()A、A，B有相同的特征值B、r(A)=r(B)C、A，B有相同的特征向量D、|A|=|B|標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，選C．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交變換下化為標(biāo)準(zhǔn)型y12+2y22，則A的最小特征值為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為y12+2y22+0．y32．因此特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=0，最小特征值為0．22、設(shè)α1=(2，一1，0，5)，α2=(一4，一2，3，0)，α3=(一1，0，1，k)，α4=(一1，0，2，1)，則k=_______時(shí)，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：只需滿足23、已知線性方程組無解，則λ=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ=一1時(shí)，第4個(gè)方程為矛盾方程，因而無解．24、已知四階行列式D的第一行元素依次為1，3，0，一2，第三行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式依次為8，k，一7，10，則k=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)代數(shù)余子性質(zhì)8+3k一20=0→k=4．25、設(shè)n階方陣A與B相似且A2=A，則B2=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A與B相似，存在可逆矩陣P，使得B=P-1AP．所以B2=P-1AP.P-1AP=P-1A2P=P-1AP=B26、二次型f(x1，x2，x3)一(2x1－x2+3x3)2的矩陣為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=(2x1－x2+3x3)2=4x12－4x2x+12x2x3+x22一6x2x3+9x3227、行列式FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a2(a2—1)知識(shí)點(diǎn)解析：28、設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為1，2，…，n，則當(dāng)t______時(shí)，tE—A是正定的．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：t＞n知識(shí)點(diǎn)解析：tE—A的特征值為t一1，t一2，…，t—n．若tE—A是正定的，則t一1＞0，t一2＞0，…，t—n＞0，所以當(dāng)t＞n時(shí)，tE—A是正定的．29、已知3階矩陣A的3個(gè)特征值為1，2，3，則｜A｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識(shí)點(diǎn)解析：∵λi=｜A｜而λ1=1，λ2=2，λ3=3∴｜A｜=1×2×3=6∴AA*=｜A｜E∴AA*=6E兩邊同時(shí)求行列式有，｜AA*｜=｜6E｜=63→｜A｜｜A*｜=63∴｜A*｜=36．30、設(shè)向量α=(1，1，1)，則它的單位化向量為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)單位向量定義可知：｜｜a｜｜=1為單位向量．∴α=(1，1，1)的單位化向量為答案為三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+4x32+2tx1x2+2x1x3+2tx2x3正定，求t的范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的矩陣為需即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、計(jì)算行列式D＝的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：數(shù)值行列式計(jì)算：一般利用倍加性質(zhì)，將數(shù)值較大的元素變換成數(shù)值較小的元素，再進(jìn)行計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)求此向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：(α1，α2，α3，α4)=，則r(α1，α2，α3，α4)=3，其中α1，α2，α3構(gòu)成極大無關(guān)組，且α4=一2α1+2α2+α3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知線性方程組34、討論λ為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、已知D=．求A21+A22+A23+A24．標(biāo)準(zhǔn)答案：A21+A22+A23+A24=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)A，B是n階正交矩陣，證明：AB也是正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件AAT=ATA=I，BBT=BTB=I，則(AB)(AB)T=AB．BTAT=A(BBT)AT=I，所以AB也是正交矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第4套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、的充要條件為()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠士1D、k≠0或k≠±1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：答案為C2、若n階方陣A滿足A2一2A一3I=0，且矩陣A可逆則A-1=()A、A-2IB、2I-AC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于A(A一21)=3I，因此所以A-1=．答案為D.3、設(shè)A，B是n(≥2)階可逆方陣，k是一實(shí)常數(shù)且不為零，下列等式不成立的是()A、(AB)-1=B-1A-1B、(kA)-1=k-1A-1C、(A’)-1=(A-1)’，A’表示A的轉(zhuǎn)置陣D、(AB)-1=A-1B-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣求逆陣運(yùn)算法則．選項(xiàng)A、B、C均正確，選項(xiàng)D中(AB)-1=B-1A-1．答案為D。4、設(shè)A為m×n矩陣，秩為，r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C5、以下各線性方程組中，解空間的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程組是()A、B、C、x1一x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因5一r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能為C或D。因一眼就能看出，A、B中兩方程的系數(shù)都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代人驗(yàn)證：因α1滿足C，不滿足D，故選C。答案為C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式中(3，2)元素的代數(shù)余子式A32=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一8知識(shí)點(diǎn)解析：7、=_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)A、B均為3階矩陣，｜A｜=3，｜B｜=一2，則｜一2T.B-1｜=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：=12．9、設(shè)A為m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，則矩陣B=AC的秩為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)矩陣的秩的定理2．6．1推論：設(shè)A為m×n矩陣，P和Q分別是m階和n階可逆矩陣，則r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(A)=r(A)=r．10、設(shè)矩陣的秩為2，則λ=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)矩陣A作初等變換，有由此可知，當(dāng)λ一1≠0時(shí)r(A)=3，而λ一1=0時(shí)r(A)=2．所以λ一1=0即．λ=1．11、已知線性方程組無解，則λ=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ=一1時(shí)，第4個(gè)方程為矛盾方程，因而無解．12、若A2=E，則A的特征值只能是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1或一1知識(shí)點(diǎn)解析：由A2=E得A2一E=0，(A—E)(A+E)=0｜(A—E)｜｜(A+E)｜=0故｜A—E｜=0或｜(A+E)｜=｜(一A—E)｜=0故必有λ一1=0或一λ一1=0即λ=1或一1．13、如果向量x是矩陣A的特征向量，則_______是矩陣P-1AP的特征向量．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：P-1x知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B=P-1AP，則A=PBP-1，又Ax=λx，所以有PBP-1x=λx，兩邊同時(shí)左乘可逆矩陣P-1得BP-1x=λP-1x，即(P-1AP)P-1x=λP-1x，由特征值和特征向量的定義即可得到，P-1x是P-1AP的一個(gè)特征向量．14、設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，和是A屬于不同特征值λ1和λ2的特征向量，則a=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，因此(a1，a2)=a一8+3=a一5=0，所以a=5．15、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3的正慣性指數(shù)p=_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：p=2知識(shí)點(diǎn)解析：令由于所以經(jīng)過可逆；線性變換二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=y12+2y22一2y32，所以正慣性指數(shù)p=2．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算n+1階行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)方陣A、B滿足AB+E=A2+B，且求B.標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AB-B=A2-E，(A-E)B=(A-E)(A+E)，又即A—E可逆，所以B=(A—E)-1[(A—E)(A+E)]=A+E=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A為n階方陣(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴隨矩陣A*的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)r(A)=n時(shí)，A可逆，則A*也可逆，因此r(A*)=n；當(dāng)r(A)=n一1時(shí)，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n個(gè)列向量均為齊次線性方程組Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n一1，A中存在一個(gè)不為0的n—1階子式，故A*的n個(gè)列向量中至少有一個(gè)不為零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上討論可知，r(A*)=1．當(dāng)r(A)＜n-1時(shí)，A的每一個(gè)n一1階子式均為零，即A*是零矩陣，所以r(A*)=0．所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)3維列向量α1,α2,α3，β1，β2，β3滿足：α1+α3+2β1－β2=0，3α1一α2+β1一β3=0，一α2+α3一β2+β3=0，且｜α1,α2,α3｜=4，求｜β1，β2，β3｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件可知而(α1+α3，3α1－α2，一α2+α3)=(α1,α2,α3)(一2β1+β2，一β1+β3，β2一β3)=(β1，β2，β3)所以兩邊取行列試，得即｜β1，β2，β3｜=一4｜α1,α2,α3｜=一16．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)α1,α2,α3是4元非齊線性方程組AX=B的三個(gè)解向量，并且r(A)=3求方程組AX=B的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于r(A)=3，所以齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量，又A[2α1一(α2+α3)]=2Aα1一Aα2－Aα3=2B—B—B=0．因此2α1一(α1+α2)=是AX=0的一個(gè)非零解向量．是AX=0的基礎(chǔ)解系，所以AX=B的通解為(k為任意實(shí)數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為155是分別屬于1和2的特征向量，求屬于3的特征向量，并求A.標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)屬于3的特征向量為ξ3=(x1，x2，x3)T，由(ξ1，ξ3)=0，(ξ2，ξ3)=0得所以即ξ3=k(1，0，1)T．又因?yàn)锳的特征值為1，2，3，所以即P-1AP=A于是A=PAP-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3經(jīng)過正交變換x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1,x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三維列向量，P是三階正交矩陣，求常數(shù)a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)假設(shè)條件知，變換后二次型f(x1，x2，x3)的矩陣分別為二次型f可以寫成f=XTAX，f=YTBY．由于PTAP=B，且P為正交矩陣，故PT=P-1，于是有P-1AP=B，即A～B，所以有｜λI—A｜=｜λI—B｜，即由此可得方程λ2一3λ2+(2一a2一b2)λ+(a一b)2=λ2一3λ2+2λ，從而有方程組解之得a一b=0，為所求的常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)A為n階正定矩陣，則A的主對(duì)角線上的元素全大于零．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)于任意取定的1≤i≤n，取第i個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位向量εi=(0，…．，0，1，0，…，0)T．第i列由A的正定性知道必有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第5套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、行列式()A、0B、21C、42D、一42標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：行列式展開性質(zhì)，,答案為D2、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=0(零矩陣)，則()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜.｜B｜1=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D.3、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：單個(gè)非零向量是線性無關(guān)的．∴選項(xiàng)A不對(duì)．而(α1,α2,α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C4、方程組的一組基礎(chǔ)解系由_______個(gè)向量組成．()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：該方程組的系數(shù)矩陣秩等于1，有3個(gè)未知數(shù)，因此基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無關(guān)的向量組成．答案為B5、實(shí)二次型f(x1，…，xn)=ATx為正定的充要條件是()A、f的秩為nB、f的正慣性指數(shù)為nC、f的正慣性指數(shù)等于f的秩D、f的負(fù)慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由正定的性質(zhì)即得．答案為B二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、的根為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=3x+3+12—27+2x+2=5x-10=→x=2.7、FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：211知識(shí)點(diǎn)解析：依據(jù)行列式計(jì)算法則：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3一0×0×(一2)×0×3—0×3×0×0×(一2)一0×(一2)×0×0×3—0×3×0×(一2)×0一(一2)×0×0×3×0=一32+243一0=211．8、設(shè)A，B都為n階對(duì)稱矩陣，則AB也為對(duì)稱矩陣的充要條件為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：AB=BA知識(shí)點(diǎn)解析：A、B為n階對(duì)稱矩陣，則AT=A，BT=B，因?yàn)锳B也是對(duì)稱矩陣．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A、B都為n階對(duì)稱矩陣，則AB也為對(duì)稱矩陣的充要條件為AB=BA.9、用初等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A進(jìn)行初等變換，有10、設(shè)向量組線性無關(guān)，則a、b、c滿足的關(guān)系式是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：A≠0，b≠0，c≠0知識(shí)點(diǎn)解析：由于α1,α2,α3線性無關(guān)，因此矩陣A=(α1,α2,α3)為滿秩矩陣，即所以A≠0，B≠0，c≠0．11、n階矩陣A的秩為n—1且矩陣A的各行元素之和為0，齊次線性方程組Ax=0的通解為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，1，…，1)Tk為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：Ax=0的基礎(chǔ)解系解向量的個(gè)數(shù)為1，由題設(shè)知A(1，1，…，1)T=0，故(1，1，…，1)T≠0為Ax=0的一個(gè)線性無關(guān)解，所以通解為k(1，1，…，1)T，其中k為任意常數(shù)．12、設(shè)矩陣已知向量是A的一個(gè)特征向量，則α對(duì)應(yīng)的特征值λ=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)特征值與特征向量的定義，Aα=λα因此所以λ=1．13、若λ=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣必有特征值_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A有特征值λ=2，則必有特征值必有特征值.14、設(shè)向量則α與β的內(nèi)積(α，β)=_____。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識(shí)點(diǎn)解析：(α，β)=1×1+2×1+(一2)×2+1×(一2)=一3．15、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交變換下化為標(biāo)準(zhǔn)型y12+2y22，則A的最小特征值為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為y12+2y22+0.y32，因此特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=0，最小特征值為0．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算.標(biāo)準(zhǔn)答案：第一行乘1加第二行，再讓第二行乘1加第三行……以此類推得D=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)矩陣求2A一3B及AT.B.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算下列矩陣的逆：標(biāo)準(zhǔn)答案：我們用初等變換法計(jì)算：因此原矩陣的逆陣為：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知向量組求向量組α1,α2,α3,α4,α5的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)以α1,α2,α3α4,α5為列向量的矩陣A進(jìn)行初等變換，有r(A)=2，所以向量組α1,α2,α3α4,α5的秩為2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知四元非齊次線性方程組Ax=b的r(A)一3，α1,α2,α3是它的三個(gè)解向量，且求該方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ax=0的基礎(chǔ)解系為：(α1一α2)+(α1—α3)=2α1一(α2+α3)所以通解為(c為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求線性方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有所以線性方程組的同解方程組為其中x4是自由未知量，方程組的通解為k為任意實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型并求正、負(fù)慣性指數(shù)：f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2+2x2x3+4x32．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)二次型的系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換：因此二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為y12+y22，正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)等于0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、已知向量β=(一1，2，s)可由α1=(1，一1，2)，α2=(0，1，一1)，α3=(2，一3，t)惟一地線性表示，求證：t≠5．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1,α2,α3是3個(gè)3維向量，如果它們線性無關(guān)，則任意一個(gè)3維向量均可惟一地由它們線性表示．反之，若它們線性相關(guān)，則或者不能表示，或者表示不惟一，而α1,α2,α3要線性無關(guān)由它們組成的矩陣必須是非奇異矩陣，即通過計(jì)算得t≠5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第6套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)＝A、6mB、－6mC、5mD、-m標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)A、B、C均為n階方陣，且滿足AB＝BA，BC=CB，則CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C項(xiàng)正確．3、設(shè)二階矩陣A＝，則A*＝A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由二階矩陣的伴隨矩陣的特點(diǎn)知，若A＝，則A*＝，即主對(duì)角線元素互換，次對(duì)角線元素乘以(－1)．故A＝的伴隨矩陣A*＝4、已知向量組α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量組的秩為A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由A＝(α1，α2，α3)，則r(A)＝3，故此向量組的秩為3．5、設(shè)A為n(n≥2)階矩陣，且A2＝E，則必有A、A的特征值均為1B、A的秩等于nC、A的逆矩陣等于ED、A的行列式等于1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A2E(A－E)(A＋E)＝OA＝E或A＝－Er(A)＝n，｜A｜＝±1．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)矩陣A＝，已知0是A的一個(gè)特征值，求a＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由0是A的一個(gè)特征值，則｜A｜＝0，即－(a－1)2＝0，得a＝1．7、三階矩陣A有特征值－1，1，2，B＝A－2E，則｜B｜＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由A的特征值為－1，1，2，知B＝A－2E的特征值為－3，－1，0．故｜B｜﹦(－3)×(－1)×0＝0．8、已知A～，則r(A－E)＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因A～，故A的特征值為1，-1，2．故A－E～，則r(A-E)＝2．9、已知α＝(1，1，－1)T是矩陣A＝的一個(gè)特征向量，求a＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識(shí)點(diǎn)解析：由題知Aα﹦λα,10、設(shè)A＝，則A有特征值______；若設(shè)B＝，則B有特征值．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1，2，3；1，2，3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)A＝，則A～A=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)A＝正定，則k應(yīng)滿足條件______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識(shí)點(diǎn)解析：因A正定，故｜A｜＞0，即＝(1－k)(k＋3)＞0，得－3＜k＜1．13、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=2x12＋2x1x2＋4x2x3，則二次型的對(duì)應(yīng)矩陣是______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12＋x324x132x23，則二次型的秩是______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：由二次型的矩陣A＝，得r(A)＝3，故二次型的秩為3．15、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12＋4x22－x32＋4x1x2，則此二次型的正慣性指數(shù)是______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由配方得f(x1，x2，x3)＝x12＋4x22－x32＋4x1x2＝(x1＋2x2)2－x32，故二次型f的規(guī)范型為f＝z12－z22，則正慣性指數(shù)為1．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算行列式D＝的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：將第2、3、4列乘(－1)加到第1列，將D化成上三角形行列式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、已知，其中滿足X＝AX+B，求矩陣X．標(biāo)準(zhǔn)答案：X＝AX﹢B，得(E-X)＝B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)向量組α1＝(1，3，3，5)T，α2＝(1，2，1，3)T，α3＝(－3，－5，－1，－7)T，α4＝(1，1，－1，1)T，α5＝(4，5，－2，6)T．求：(1)此向量組的一個(gè)極大無關(guān)組；(2)將其余的向量用此極大無關(guān)組線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)A＝(α1，α2，α3，α4，α5)，，顯然α1，α2是此向量組的一個(gè)極大無關(guān)組(極大無關(guān)組不唯一)．(2)由(1)知，α3＝α1－4α2，α4＝－α1＋2α2，α5＝－3α1＋7α2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)三元非齊次線性方程組Ax＝b的系數(shù)矩陣A的秩為2，且它的三個(gè)解向量α1，α2，α2滿足α1＋α2＝(3，1，－1)T，α1＋α3＝(2，0，－2)T，求Ax＝b的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因r(A)＝2，故Ax＝0的基礎(chǔ)解系中有3－r(A)＝1個(gè)解向量ξ．因r(A)＝2，故Ax＝0的基礎(chǔ)解系中有3－r(A)＝1個(gè)解向量ξ．且ξ＝(α1＋α2)－(α1＋α3)＝(1，1，1)T．而Ax＝b的一個(gè)特解為α*＝＝(1，0，－1)T．故Ax＝b的通解為α*×kξ，且k為任意實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求矩陣A＝的特征值和特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以A的特征值為1，3，3．對(duì)λ﹦1，解齊次線性方程組(E﹣A)x﹦0，得(x3為自由未知量)令x3﹦1，得屬于1的全部特征向量為k，k≠0為任意常數(shù)．對(duì)λ﹦3,解齊次線性方程組(3E﹣A)x﹦0得(x3為自由未知量)令x3﹦2，得A的屬于特征向量為3的全部特征向量為l，l≠0為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)矩陣A＝，已知線性方程組Ax＝b有無窮多解，求：(1)a的值；(2)正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A，使得QTAQ＝A．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、二次型f(x1，x2，x3)＝ax12＋x22＋x32＋2bx1x3(b>0)，其中二次型的矩陣A的特征值之和為3，特征值之積為－3．(1)求a，b的值；(2)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換對(duì)應(yīng)的正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、已知矩陣A，B，A＋B均可逆，證明：A－1＋B－1也可逆，且(A－1＋B－1)－1＝A(A＋B)－1B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A，B，A＋B均可逆．則(A－1＋B－1)A(A＋B)－1B＝(E＋B－1A)(A＋B)－1B＝(B－1B＋B－1A)(A＋B)－1B＝B－1(B＋A)(A＋B)－1B＝B－1B＝E．故A－1＋B－1可逆，且(A－1＋B－1)－1＝A(A＋B)－1B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第7套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若A，B均為n階方陣，且AB=0，則()A、A=O或B=OB、A+B=OC、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AB=0→｜AB｜=0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案為C。2、如果n階方陣A滿足AT．A=A．AT=I，則A的行列式｜A｜為()A、｜A｜=1B、｜A｜=一1C、｜A｜=1或一1D、｜A｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜A．AT=｜A｜．｜AT｜=｜A｜2=｜I｜=1，所以｜A｜=±1．答案為C。3、設(shè)向量組(I)：α1，α2，…，αn的秩為r，則必有A、(I)中任意r個(gè)向量必線性無關(guān)B、(I)中任意r－1個(gè)向量必線性無關(guān)C、(I)中任意r+1個(gè)向量必線性相關(guān)D、(I)中線性相關(guān)向量的個(gè)數(shù)必大于r標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因向量組(I)的秩為r，故向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為(Ⅱ)：αi1，…，αir，則(I)中任意r+1個(gè)向量都可由(Ⅱ)線性表示，故C選項(xiàng)正確．4、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣(m≠n)，則下列運(yùn)算結(jié)果是n階方陣的是()A、A．BB、AT．BTC、BT．ATD、(A+B)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣乘法的運(yùn)算定義和矩陣轉(zhuǎn)置的定義可知AT．BT是n階方陣．答案為B。5、若齊次線性方程組只有零解，則λ應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1時(shí)題中齊次線性方程組只有零解．答案為B.6、已知三階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為1，2，4，則｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：相似矩陣必有相同的特征值，因A～B，則A與B有相同的特征值，即B的特征值為1，2，4，則｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故選A．7、實(shí)二次型f(x1，…，xn)=xTAx為正定的充要條件是()A、f的秩為nB、f的正慣性指數(shù)為nC、f的正慣性指數(shù)等于f的秩D、f的負(fù)慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由正定的性質(zhì)即得．答案為B。8、要使ε1=(1，0，1)T，ε2=(一2，0，1)T都是線性方程組Ax=0的解，只要系數(shù)矩陣A為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：ε1，ε2顯然線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣的秩至多為3—2=1，只有D符合．9、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C為同階方陣，則A應(yīng)滿足條件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若AB=AC,則A(B-C)=0，故當(dāng)A可逆，即｜A｜≠0時(shí)B=C答案為D。10、設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說法錯(cuò)誤的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩陣P，使P－1AP＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、若可逆矩陣A有特征值λ=2，則(A2)-1必有特征值()A、4B、C、D、一標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A=2是A的特征值．∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案為B。12、若四階實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣，則A的正慣性指數(shù)為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A+BC、A(A+B)-1．BD、(A+B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1．B=B-1．B=I，所以(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B．答案為C。14、下列命題中錯(cuò)誤的是A、一個(gè)非零向量線性無關(guān)B、任意一個(gè)含零向量的向量組線性相關(guān)C、由4個(gè)三維向量組成的向量組線性相關(guān)D、由3個(gè)四維向量組成的向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：很顯然A、B、C正確，舉例法．設(shè)α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．15、設(shè)A是三階可逆方陣，則與A等價(jià)的矩陣為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：等價(jià)矩陣有相同的秩，因A為可逆矩陣，所以r(A)＝3，顯然只有B項(xiàng)的秩為3，故選B項(xiàng)．16、線性方程組無解，則λ=()A、0B、1C、一1D、任意實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)λ≠0且λ≠一1時(shí)有惟一解，當(dāng)λ=一1時(shí)有無窮多解．當(dāng)λ=0時(shí)無解．答案為A。17、設(shè)，則α3=______時(shí)，有α1，α2，α3為R3的基．()A、(0，0，1)TB、(0，1，0)TC、(1，0，1)TD、(2，1，2)T標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：首先易知α1，α2線性無關(guān)(其坐標(biāo)不成比例，)又令A(yù)=(α1，α2，α3)，則α1，α2，α3線性無關(guān),|A|≠0．由于A的左上角2階主子式(記為|A11|)不等于0，故選α3==|A11|×1≠0)．18、行列式()A、48B、84C、一48D、一84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：答案為A19、λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)______時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同時(shí)為零，所以C，D不對(duì)；x1，x2是兩個(gè)不同的方程組的解，兩個(gè)方程的兩個(gè)非零向量解之和，不再是其中一個(gè)方程的解．所以A的特征向量不是A選項(xiàng)．選項(xiàng)B，因?yàn)閗2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．20、設(shè)則以矩陣A為對(duì)應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A的主對(duì)角線元素1對(duì)應(yīng)x22系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對(duì)應(yīng)系數(shù)2．答案為D.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、若D==__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：22、已知齊次線性方程組，有非零解，則λ=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一2或1知識(shí)點(diǎn)解析：由于齊次線性方程組有非零解，系數(shù)行列式∴λ=一2或λ=1．23、設(shè)矩陣A=是A的一個(gè)特征向量，則α對(duì)應(yīng)的特征值λ=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)特征值與特征向量的定義，Aα=λα因此所以λ=1．24、設(shè)A，B均為n階矩陣，|A|=2，|B|=一3，則|2A*B-1|=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：AA*=|A|E，即|A|.|A*|=|A|n|E"=2n．得|A*|=2n-1．而BB-1=E，得|B-1|=所以|2A*B-1|=2n|A*|.|B-1|=2n.2n-1.25、已知x1＝(1，0，－1)T是三元非齊次線性方程組Ax＝b的一個(gè)解向量，又知x2＝(3，4，5)T是其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)三元非齊次線性方程組Ax=b有一個(gè)非零解向量ξ＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(4，4，4)T知識(shí)點(diǎn)解析：由非齊次線性方程組解的性質(zhì)，得ξ＝x1＋x2＝(4，4，4)T．26、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x滿足2α+3x=β，則x=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：27、設(shè)A=，則(A一2E)-1=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：28、若向量組線性相關(guān)，則t=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：由于α1，α2，α3線性相關(guān)，故行列式|α1，α2，α3|==2t—12=0，故t=6．29、二次型f(x1，x2，x3)一(2x1－x2+3x3)2的矩陣為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=(2x1－x2+3x3)2=4x12－4x2x+12x2x3+x22一6x2x3+9x3230、設(shè)A==________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=1利用公式A-1==A*，三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、已知三階矩陣A＝，求A的伴隨矩陣A*和(A*)－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜A｜＝2≠0，故A可逆．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)有線性方程組問m，k為何值時(shí)，方程組有唯一解?有無窮多解?在有無窮多組解時(shí)，求出一般解．標(biāo)準(zhǔn)答案：系數(shù)矩陣的行列式為故當(dāng)m≠一1時(shí)，方程組有唯一解．又增廣矩陣即當(dāng)m=一1，k=1時(shí)方程有無窮多解．取x3為自由未知量，并令x3=0，得特解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、求及的特征值及特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)特征值為λ1=λ2=0，λ3=3．屬于λ1=λ2=0的特征向量滿足于是全部的特征向量為(k1，k2為不全為零的實(shí)數(shù))．屬于λ3=3的特征向量滿足于是全部的特征向量為(2)特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1，屬于λ1=一1的特征向量滿足于是全部的特征向量為屬于λ2=λ3=1的特征向量滿足x1-x3=0，于是全部的特征向量為(k1，k2為不全為零的實(shí)數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)矩陣可以對(duì)角化，求x與y滿足的條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A可以對(duì)角化，因此，A有3個(gè)線性無關(guān)的特征值向量，先求A的特征值，由于因此A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=一1，所以A可對(duì)角化，則λ1=λ2=1對(duì)應(yīng)于兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量．即齊次線性方程組(E—A)X=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量，因此r(E—A)=1，對(duì)E—A作初等行變換有所以當(dāng)且僅當(dāng)x+y=0時(shí)，r(E-A)=1，即A可對(duì)角化，則x，y滿足的條件是x+y=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)n階方陣A的秩滿足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(單位方陣)，證明：一1是A的一個(gè)特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A≠I，所以A—I不是零矩陣，從而r(A—I)≥1，因此由已知條件r(A+1)≤n一1，A+I是奇異矩陣，｜A+I｜=0，所以齊次線性方程組(A+I)X=0有非零解a，即存在非零向量口使得(A+I)α=0，Aα=0，Aα=一α，所以λ=一1是A的一個(gè)特征值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第8套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若A，B均為n階方陣，且AB=0，則()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AB=0→｜AB｜→0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案為C2、設(shè)，則Ax=0的基礎(chǔ)解系含有_______個(gè)解向量．()A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于V(A)=3，所以基礎(chǔ)解集含有4—3=1個(gè)向量．答案為A.3、設(shè)A是n階方陣，已知A2一2A—2I=O，則(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：把已知關(guān)系式A2—2A—2I=O寫成(A+I)M=I的形式，則M是(A+I)的逆方陣．由題設(shè)關(guān)系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案為A。4、若只有零解的充要條件是a≠A、－1B、－2C、－3D、﹣4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程組只有零解的充要條件．因方程組只有零解，故｜A｜≠0，即r(A)＝3，則－a－4≠0，得a≠﹣4．5、二次型f＝x12＋x22＋x32＋4x2x3的規(guī)范形是A、z12＋z22+32B、z12－z22－z32C、z12＋z22﹣z32D、z12－z22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：，得A的特征值為λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝3，故A的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1．故此二次型的規(guī)范型為z12＋z22－z32．6、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=O(零矩陣)，則()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D。7、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=0(零矩陣)，則()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜.｜B｜1=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D.8、設(shè)矩陣A與對(duì)角矩陣D＝相似，則A2＝A、－EB、EC、DD、A標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A～D，則存在可逆矩陣P，使D＝P-1AP．所以A＝PDP-1，A2＝PDP-1·PDP-1＝PEP-1，由D2＝＝E，得A2﹦PE2P-1＝E．故本題選B．9、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故r(A)＝4，則二次型f的秩也為4．10、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1，α1+α2，α1+α2+α3C、α1一α2，α2一α3，α3一α1D、α1+α2，2α2+α3，3α3+α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0．11、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，Im為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()A、A的任意m個(gè)列向量必線性無關(guān)B、A的任意一個(gè)m階子式不等于零C、若矩陣B滿足BA=O，則B=OD、A通過初等行變換，必可以化為(ImO)的形式標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行滿秩，列不滿秩，A的m個(gè)列向量可能線性無關(guān)也可能線性相關(guān)，且A通過初等行變換，可以化為(ImO)形式，故選D．答案為D。12、若α1,α2,α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三個(gè)線性組合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無關(guān)，且與α1,α2,α3等價(jià)．答案為C。13、的根為()A、a+a，a+aB、0，a1+a2+a3+a4C、a1.a2.a3.a4，0D、0，一a1一a2一a3一a4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：提示2、3、4列加到第一列．答案為D。14、設(shè)A、B、C均為n階方陣，且滿足AB＝BA，BC=CB，則CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C項(xiàng)正確．15、設(shè)A為m×n矩陣，秩為，r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C16、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，則k的取值范圍為()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于二次型的矩陣為，A正定，則順序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范圍是一2＜k＜0或0＜k＜2．17、下列命題中錯(cuò)誤的是A、一個(gè)非零向量線性無關(guān)B、任意一個(gè)含零向量的向量組線性相關(guān)C、由4個(gè)三維向量組成的向量組線性相關(guān)D、由3個(gè)四維向量組成的向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：很顯然A、B、C正確，舉例法．設(shè)α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．18、設(shè)行列式=0，則k的值為()A、一3或2B、2C、0D、一2或3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：=k2一2一k一4=k2一k一6一(k+2)(k一3)=0，所以k=一2或k=3．19、以下結(jié)論中不正確的是()A、二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22；是正定二次型B、若存在可逆實(shí)矩陣C，使A=C’C，則A是正定矩陣C、n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全為正數(shù)D、n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是f的正慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=x12+x22，對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)任何實(shí)列向量x，都有xTAx≥0，故f為半正定二次型，答案為A.20、設(shè)矩陣，則()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：答案為C.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、已知四階行列式D的第二行元素為1，0，﹣2，3，第四行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式依次為6，﹣2，k，1，則k﹦______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：9/2知識(shí)點(diǎn)解析：由行列式某行元素乘以不同行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的和為零，得1×6+0×(－2)＋(－2)×k＋3×1＝0，得k＝9／2．22、已知方陣A與方陣相似，則A的特征值為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ1=λ2=2，λ3=一2知識(shí)點(diǎn)解析：由于B的特征多項(xiàng)式為因此B的特征值為λ1=λ2=2，λ3=一2，而A與B相似，因此有相同的特征值．23、設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=1，λ2=1，λ3=2，則｜A｜=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=λ1．λ2．λ3=一2．24、設(shè)向量α＝(1，0，－1)，則它的單位化向量為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：25、當(dāng)k=_________時(shí)，僅有零解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：僅有全解→26、設(shè)矩陣，則A+P1TB＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：27、設(shè)A是n階方陣，A*為A的伴隨矩陣，|A|=5，則方陣B=AA*的特征值是________，特征向量是________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：5任意n維非零向量α知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳A*=A*A=|A|E，所以對(duì)于任意n維非零向量α，有AA*α=|A|Eα=|A|α．所以|A|=5是B=AA*的特征值，任意n維非零向量α為其對(duì)應(yīng)的特征向量．28、設(shè)A為n階方陣，｜A｜≠0，若A有特征值λ，則A*的特征值_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜