全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷3（共263題）

全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷3（共9套）（共263題）全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第1套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、行列式=()A、48B、84C、一48D、一84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：=6×23=48．答案為A。2、設(shè)矩陣，則()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：。答案為C。3、設(shè)2階矩陣A=，則A*=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由伴隨矩陣的定義即得．答案為A。4、設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：基礎(chǔ)解系必須是線性無關(guān)的向量組，四個(gè)選項(xiàng)中只有D中三個(gè)向量線性無關(guān)．答案為D。5、設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的3個(gè)解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α1+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因r(A)=3，未知量個(gè)數(shù)為4，故與Ax=b相應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的解空間是一維的，又因α1是Ax=b的一個(gè)特解，故其通答案為C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一24知識(shí)點(diǎn)解析：7、當(dāng)k=_________時(shí)，僅有零解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：僅有全解→8、設(shè)A=，則(A一2E)-1=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、齊次線性方程組有非零解，則a=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解=0，即a=8．10、向量β=_________在基α1=下的坐標(biāo)為(一1，0，1)．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：β=(一1)α1+0α2+1×α3=．11、若線性方程組有解，則λ=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)增廣矩陣作初等行變換．有因此可見，r(A)=2，如果方程有解，必有=5，所以λ=12．12、設(shè)A為n階方陣，｜A｜≠0，若A有特征值λ，則A*的特征值_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜≠0，因此A可逆并且A-1=，即A*=｜A｜．A-1；如果Aα=λα，則A-1．Aα=λA-1α，所以A-1α=是A*的特征值．13、已知向量p1=，方陣A滿足Ap1=p1，Ap2=0，Ap3=一p3，則A5=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由特征值和特征向量的定義和已知條件知，3階方陣A有特征值1，0，一1，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為p1，p2，p3，方陣A有不同的特征值，故A相似于對(duì)角矩陣，令矩陣P=(p1，p2，p3)=，則有P-1AP=D，故A=PDP-1A5=(PDP-1)(PDP-1)…(PDP-1)=PD5P-1=PDP-1=A．14、設(shè)λ1=1，λ2=一1是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征向量α1=所對(duì)應(yīng)的特征值，則k=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α2)=一4+8k一12=0，所以k=2．15、已知A=是正定矩陣，則a滿足的條件是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a＞1知識(shí)點(diǎn)解析：A為正定矩陣，故A的順序主子式均大于零，得△1=2＞0，△2=8＞0，△3=｜A｜==2×(4a一4)＞0，故a＞1．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算n+1階行列式D=．標(biāo)準(zhǔn)答案：=(1+nx)．(1一x)n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)方陣A、B滿足AB+E=A2+B，且A=，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AB—B=2一E，(A—E)B=(A—E)(A+E)，又｜A—E｜==一1≠0即A—E可逆，所以B=(A—E)-1[(A—E)(A+E)]=A+E=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A為n階方陣(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴隨矩陣A*的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)r(A)=n時(shí)，A可逆，則A*也可逆，因此r(A*)=n；當(dāng)r(A)=n一1時(shí)，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n個(gè)列向量均為齊次線性方程組Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n—1，A中存在一個(gè)不為0的n—1階子式，故A*的n個(gè)列向量中至少有一個(gè)不為零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上討論可知，r(A*)=1．當(dāng)r(A)＜n—1時(shí)，A的每一個(gè)n一1階子式均為零，即A*是零矩陣，所以r(A*)=0．所以r(A*)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)3維列向量α1，α2，α3，β1，β2，β3，滿足：α1+α3+2β1—β2=0，3α1—α2+β1—β3=0，一α2+α3—β2+β3=0，且｜α1，α2，α3｜=4，求｜β1，β2，β3｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件可知而(α1+α3，3α1一α2，一α2+α3)=(α1，α2，α3)，(一2β1+β2，一β1+β3，β2一β3)=(β1，β2，β3)，即｜β1，β2，β3｜=一4｜α1，α2，α3｜=一16．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)α1，α2，α3是4元非齊線性方程組AX=B的三個(gè)解向量，并且r(A)=3，α1=，求方程組AX=B的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于r(A)=3，所以齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量，又A[2α1一(α2+α3)]=2Aα1—Aα2—Aα3=2B—B—B=0．因此2α1一(α1+α2)=是AX=0的一個(gè)非零解向量，是AX=0的基礎(chǔ)解系，所以AX=B的通解為(k為任意實(shí)數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1，2，3，ξ1=是分別屬于1和2的特征向量，求屬于3的特征向量，并求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)屬于3的特征向量為ξ3=(x1，x2，x3)T．由(ξ1，ξ3)=0，(ξ2，ξ3)=0又因?yàn)锳的特征值為1，2，3，所以A～A=即P-1AP=A．于是A=PAP-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2+x32+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3經(jīng)過正交變換x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三維列向量，P是三階正交矩陣，求常數(shù)a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)假設(shè)條件知，變換后二次型F(x1，x2，x3)的矩陣分別為二次型f可以寫成f=XTAX，f=YTBY．由于PTAP=B，且P為正交矩陣，故PT=PT，于是有PTAP=B，即A～B，所以有｜λI一A｜=｜λI—B｜，即由此可得方程λ3—3λ2+(2一a2一b2)λ+(a一b)2=λ3一3λ2+2λ，從而有方程組解之得a=b=0，為所求的常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)A滿足條件A’A=E，求證：A的實(shí)特征向量所劉應(yīng)的特征值的絕對(duì)值等于1．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X是A的實(shí)特征向量，λ是對(duì)應(yīng)的特征值，則AX=λX，因X’A’=λX’，于是X’A’AX=λX’λX=λ2X’X因A’A=E，(E為單位陣)，所以X’EX=λ2X’X，即X’X=λ2X’X，(λ2一1)X’X=0．又X≠0為實(shí)特征向量，從而X’X≠0，所以λ2=1即｜λ｜=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第2套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、行列式=()A、0B、21C、42D、一42標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：行列式展開性質(zhì)，=(一1)1+4×=一42．答案為D。2、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=O(零矩陣)，則()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D。3、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：?jiǎn)蝹€(gè)非零向量是線性無關(guān)的，∴選項(xiàng)A不對(duì)，而(α1，α2，α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C4、方程組的一組基礎(chǔ)解系由_________個(gè)向量組成．()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：該方程組的系數(shù)矩陣秩等于1，有3個(gè)未知數(shù)，因此基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無關(guān)的向量組成．答案為B。5、實(shí)二次型f(x1，…，xn)=xTAx為正定的充要條件是()A、f的秩為nB、f的正慣性指數(shù)為nC、f的正慣性指數(shù)等于f的秩D、f的負(fù)慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由正定的性質(zhì)即得．答案為B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知四階行列式D的第一行元素依次為1，3，0，一2，第三行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式依次為8，k，一7，10，則k=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)代數(shù)余子性質(zhì)8+3k一20=0→k=4．7、設(shè)A=，則(A+B)2一(A2+AB+B2)=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(A+B)2一(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA—A2一AB—B2=BA8、設(shè)A=，則(A*)-1=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于A-1=A*，所以A*=｜A｜．A-1，(A*)-1=(｜A｜．A-1)-1=A，又｜A｜=1，所以(A*)-1=A．9、已知α=(2，1，3)，β=(一1，3，6)則2α+3β=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，11，24)知識(shí)點(diǎn)解析：2α+3β=(4，2，6)+(一3，9，18)=(1，11，24)．10、當(dāng)k為_________時(shí)，向量組α1=不能構(gòu)成R3的一組基．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：∵α1，α2，α3不能構(gòu)成R3的一組基∴α1，α2，α3線性相關(guān)∴=0，∴k=2．11、已知線性方程組有解，則常數(shù)a1，a2，a3，a4滿足條件_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一a1+a2—a3+a4=0知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，有由此可得一a1+a2—a3+a4=0時(shí)線性方程組有解，而一a1+a2—a3+a4≠0時(shí)線性方程組無解．12、已知三階矩陣A的特征值分別為1、一1、2，則｜A一5E｜=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一72知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征值分別為1、一1、2，則A一5E的特征值分別為一4，一6，一3．故｜A一5E｜=一72．13、設(shè)n階方陣A與B相似且A2=A，則B2=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A與B相似，存在可逆矩陣P，使得B=P-1AP，所以B2=P-1AP．P-1AP=P-1A2P=P-1AP=B．14、設(shè)三階矩陣A的特征值為1，4，6，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為p1=，則矩陣A=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)特征值和特征向量的定義，有→(Ap1，Ap2，Ap3)=(p1，4p2，6p3)，即A(p1，p2，p3)=(p1，4p2，6p3)，15、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定該二次型的正定性為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：半正定二次型知識(shí)點(diǎn)解析：該題可利用特征值判定．由二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣A=．可知A的特征值為0，2，2，故該二次型為半正定二次型．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算D=．標(biāo)準(zhǔn)答案：直接按對(duì)角線法則展開，并整理化簡(jiǎn)得4a2b2c2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算行列式．標(biāo)準(zhǔn)答案：=一100．(一54)=5400．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A=，求(2E+A)-1(A2一4E)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2E+A)-1(A2一4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A一2E)=A—2E=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知向量組α1=，又β滿足3(α1—β)+2(α3+β)一5(α2+β)，求β．標(biāo)準(zhǔn)答案：3α1一3β+2α3+2β=5α2+5β，6β=3α1一5α2+2α3，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知α=(1，1，—1)T是A=的特征向量，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)對(duì)應(yīng)于特征向量α的特征值為λ，則有得a=2b=一3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)矩陣A=的三個(gè)特征值分別為1，2，5，求正常數(shù)a的值，及可逆矩陣P，使P-1AP=．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜A｜=2(9一a2)=1×2×5，得a=2．解方程組(E—A)x=0得基礎(chǔ)解系ξ1=一(0，一1，1)T；解方程組(2E—A)x=0得基礎(chǔ)解系ξ2=(1，0，0)T；解方程組(5E—A)x=0得基礎(chǔ)解系ξ3=(0，1，1)T；所求的可逆矩陣P可取為P=(ξ1，ξ2，ξ3)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+4x32+2Tx1x2+2x1x3+2Tx2x3正定，求t的范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣，B為n階實(shí)矩陣，證明：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果｜B｜≠0．則齊次線性方程組BX=0僅有零解，所以對(duì)一切非零向量X有Y=BX也是非零向量．而A正定，因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY＞0即BTAB正定．反之，如果BTAB正定，則｜BTAB｜＞0所以｜BT｜｜A｜．｜B｜=｜A｜．｜B｜T＞0，當(dāng)然有｜B｜≠0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第3套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)|A|=|aij|為n階行列式，則a12a23a34…an-1,nan,1在行列式中符號(hào)為()A、正B、負(fù)C、(一1)nD、(一1)n-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：τ(234…n1)=n一1，故符號(hào)為(一1)n-1．故選D．2、設(shè)n維向量，矩陣A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB=()A、OB、一EC、ED、E+αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：B=(E—αTα)(E+2αTα)=E+αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α=E+αTα一2×=E，選C.3、設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得的矩陣，則有()A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0，則一定有|B|=0D、若|A|＞0，則一定有|B|＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B=PAQ，其中P，Q為可逆矩陣，于是當(dāng)|A|=0時(shí)，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故選C．4、設(shè)n階矩陣A非奇異(n≥2)，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AA*=|A|E兩邊取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=5、設(shè)3階矩陣其中α，β，γ2，γ3均為3維行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，則行列式|A-B|等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：選B．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)α=(1，1，0，一1)，β=(-2，1，0,0)，γ=(-1，一2，0，1)，則3α—β+5r=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，一8，0，2)知識(shí)點(diǎn)解析：3α—β+5γ=3(1，1，0，一1)一(一2，1，0，0)+5(一1，一2，0，1)=(0，一8，0，2)．7、n階方陣A=(aii)的每一行元素之和同為a．則屬于a的特征向量p為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：取因此a是矩陣A的一個(gè)特征值，則p是A屬于特征值a的特征向量．8、已知矩陣則為A的特征向量的是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1，1)T知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A的特征值可求出為2，則將λ=2代入(λE一A)x=0中得故x1=一x2，令x2=1則x1=一1，故特征向量為(一1，1)T．9、若可逆矩陣A的特征值λ=2，則(A2)-1必有特征值________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于λ=2是A的特征值，故λ=4是A2特征值，所以是(A2)-1的特征值．10、設(shè)矩陣相似，則x=_______，y=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1，1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閨A|=x,|B|=一y，所以根據(jù)|A|=|B|得到一y=x，再根據(jù)tr(A)=tr(B)，即2+x=y，得x=一1，y=1．11、的根為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=3x+6+12—27+4x+2=7x一7=0,x=1．12、設(shè)則(A+B)2-(A2+AB+B2)=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(A+B)2一(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA—A2一AB—B2=BA=13、若向量組線性相關(guān)，則t=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：由于α1，α2，α3線性相關(guān)，故行列式|α1，α2，α3|==2t—12=0，故t=6．14、設(shè)A為n階方陣且|A|≠0，則A*可逆并且(A*)-1=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因|A|≠0，故A可逆且故(A*)-1=(|A|A-1)-1=15、二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2一ax3x4的秩為2，則a=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣且r(A)=2，故a=0．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、已知D=．求A21+A22+A23+A24．標(biāo)準(zhǔn)答案：A21+A22+A23+A24=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)且已知AX—A=3X，求矩陣X..標(biāo)準(zhǔn)答案：AX一3X=A,(A一3E)X=A，即X=(A一3E)-1A，而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求解矩陣等式AX=B，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：由于．故A可逆，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化．標(biāo)準(zhǔn)答案：再將β1，β2，β3單位化得γ1，γ2，γ3即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、用初等行變換求解線性方程組標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換(A，β)=所以原方程組有解，同解方程組為(x1是自由未知量)，得方程組的一個(gè)特解為原方程組導(dǎo)出組的同解方程組為得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為所以(k為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)矩陣，求一個(gè)正交矩陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式為得A的特征值λ1=5，λ2=4，λ3=一2．對(duì)于特征值λ1=5，求解方程組(5E—A)x=0，5E—A=得屬于特征值λ1=5的一個(gè)特征向量e1=(1，0，0)T．同理，可得屬于λ2=4，λ3=一2的特征向量分別為η2=(0，1，1)T，η3=(0，一1，1)T，其單位特征向量分別為故所求正交矩陣可取為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、考慮矩陣(1)當(dāng)a為何值時(shí)，矩陣A能對(duì)角化?(2)求可逆矩陣P和對(duì)角矩陣A，使得P-1AP=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以A的特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1．當(dāng)λ2=λ3=1時(shí)，考慮要使A可對(duì)角化，必須使r(E—A)=1，即a=1．(2)當(dāng)λ1=-1時(shí)，解方程組(E+A)x=0，得屬于特征值λ1=一1的一個(gè)特征向量當(dāng)λ2=λ3=1時(shí)，解方程組(E—A)x=0，屬于特征值λ2=λ3=1的特征向量知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)A是n階方陣，且滿足A2一5A+E=0，利用定義證明：A一3E可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A2一5A+E=0，所以A2—5A=一E，故(A一3E)(A一2E)=一E+6E=5E，所以(A一3E)=E，所以A一3E可逆．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第4套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)行列式=0，則k的值為()A、一3或2B、2C、0D、一2或3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：=k2一2一k一4=k2一k一6一(k+2)(k一3)=0，所以k=一2或k=3．2、設(shè)矩陣A，B，C滿足AC=CB，且C為m×n矩陣，則A和B分別是()A、n×m與m×n矩陣B、n×n與m×m矩陣C、m×m與n×n矩陣D、m×n與n×m矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)矩陣乘法的定義，A的列數(shù)等于C的行數(shù)，A的行數(shù)等于C的行數(shù)，因此A為m×m矩陣；同理B的行數(shù)等于C的列數(shù)，B的列數(shù)等于C的列數(shù)，因此B為n×n矩陣．3、設(shè)A=(aij)是s×r矩陣，B=(bij)是r×s矩陣，如果BA=Ir，則必有()A、r＞sB、r≤sC、r≥sD、r＜s標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于r=r(Ir)=r(BA)≤min{r(B),r(A)}，故得r(B)≥r，且r(A)≥r，故r≤s．4、設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，則下列矩陣中不是對(duì)稱矩陣的是()A、A+ATB、A-ATC、ATAD、AAT標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若A為對(duì)稱矩陣，則A=AT，選項(xiàng)B，(A—AT)T=AT一A，故不是對(duì)稱矩陣．5、以下結(jié)論中不正確的是()A、二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22；是正定二次型B、若存在可逆實(shí)矩陣C，使A=C’C，則A是正定矩陣C、n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全為正數(shù)D、n元實(shí)二次型正定的充分必要條件是f的正慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f(x1，x2，x3)=x12+x22，對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)任何實(shí)列向量x，都有xTAx≥0，故f為半正定二次型，答案為A.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、在齊次線性方程組Am×nx=0中，若秩(A)=k且η1，η2，…，ηr是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則r=________；當(dāng)k=________時(shí)，此方程組只有零解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：n一k，n知識(shí)點(diǎn)解析：方程組Am×nx=0的未知量個(gè)數(shù)為n，故r=n一秩(A)=n一k．方程組只有零解，也即r=0，故當(dāng)k=n時(shí)，方程組只有零解．7、設(shè)α1=(2，一1，0，5)，α2=(一4，一2，3，0)，α3=(一1，0，1，k)，α4=(一1，0，2，1)，則k=_______時(shí)，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：只需滿足8、若n元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為r，則當(dāng)________時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)_____時(shí)，方程組有無窮多解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r=n，r＜n知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r＜n時(shí)，方程組有無窮多解．9、設(shè)α1=(2，一1，3，0)，α2=(1，2，0，一2)，α3=(0，一5，3，4)，α4=(一1，3，t，0)，則_______時(shí)，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：t∈R知識(shí)點(diǎn)解析：同上只需滿足即t為任意實(shí)數(shù)都有α1，α2，α3，α4線性相關(guān)．10、齊次線性方程組只有零解，則k應(yīng)滿足的條件是______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：方程組只有零解，說明系數(shù)矩陣滿秩．11、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x滿足2α+3x=β，則x=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)A為4階方陣，且秩(A)=2，則齊次線性方程組A*x=0(A*是A的伴隨矩陣)的基礎(chǔ)解系所包含的線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：秩(A)=2，則秩(A*)=0，即A*=O．故任意4維向量都是A*x=0的解，即它的基礎(chǔ)解系所包含的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)為4．13、當(dāng)k=______時(shí)，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，一3，2)，α2=(2，一1，1)線性表出．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一8知識(shí)點(diǎn)解析：α1，α2線性無關(guān)，故只需得k=一8．14、設(shè)則Ax=0的通解為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x=k(1，1，1)T知識(shí)點(diǎn)解析：則基礎(chǔ)解系ξ1=(1，1，1)T，通解為x=kξ1，其中k為任意常數(shù)．15、已知α1=(1，1，2，2，1)，α2=(0，2，1，5，一1)，α3=(2，0，3，一1，3)，α4=(1，1，0，4，一1)，則秩(α1T，α2T，α3T，α4T)=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A3一3A2+5A-3E=0．證明：A正定．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：設(shè)λ是A的任一特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為x≠0，即Ax=λx，則有(A3—3A2+5A一3E)x=(λ3—3λ2+5λ一3)x=0，也即λ滿足λ3-3λ2+5λ一3=(λ一1)(λ2一2λ+3)=0，解得λ=1或因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值為實(shí)數(shù)，故只有λ=1，即A的全部特征值就是λ=1＞0，所以A為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)λ=1是矩陣的特征值，求：(1)t的值；(2)對(duì)于λ=1的所有特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：=(λ一1)(λ2+4λ+3—2t)，即t為任何值時(shí)，矩陣都有特征值1．取x3為自由未知量，并令x3=1，得ε=(0，2，1)T．即屬于λ=1的全部特征向量為kε=k(0，2，1)T，k任取但不為0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，E為n階單位矩陣，已知矩陣B=λE+ATA，試證：當(dāng)λ＞0時(shí)，矩陣B為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：因?yàn)锽T=(λE+ATA)T=λE+ATA=B，所以B是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，構(gòu)造二次型xTBx，那么xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)．≠0，恒有xTx＞0，(Ax)T(Ax)≥0，因此，λ＞0時(shí)，≠0，有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0．二次型為正定型，故B為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)矩陣A與B相似，其中(1)求x和y的值；(2)求可逆矩陣P，使得p-1AP=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A的特征值為一1，1，x；B的特征值為y，1，1．A～B，故特征值相同，相比較得y=一1，x=1．令λ=1，解(λE一A)x=0得ε1=(-1，1，0)T，ε2=(1，0，1)T。再令λ=一1，解(λE一A)x=0得ε3=(1，0，0)T．則有P-1AP=B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)有n元實(shí)二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)為實(shí)數(shù)，試問：當(dāng)a1，a2，…，an滿足何種條件時(shí)，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型?標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件知，對(duì)任意的x1，x2，…，xn，恒有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等號(hào)成立的充分必要條件是根據(jù)正定的定義，只要x≠0，恒有xTAx＞0，則xTAx是正定二次型，為此，只要方程組①僅有零解，就必有當(dāng)x≠0時(shí)，x1+a1x2，x2+a2x3，…不全為0，從而f(x1，x2，…，xn)＞0，亦即f是正定二次型．而方程組①中只有零解的充分必要條件是系數(shù)行列式即當(dāng)a1a2…an≠(一1)n時(shí)，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)求A100．標(biāo)準(zhǔn)答案：可求得A的特征值λ1=一1，λ2=1，λ3=2，對(duì)應(yīng)特征向量分別為(0，0，1)T，(1，0，一1)T，令知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，秩(A)=n，Aij是A=(aij)m×n中元素aij的代數(shù)余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=(1)記x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式，并說明二次型f(x)的矩陣為A-1；(2)二次型g(x)=xTAx與f(x)的規(guī)范形是否相同?說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)=n，知A可逆，又因A是實(shí)對(duì)稱的，有(A-1)T=(AT)-1=A-1，可知是實(shí)對(duì)稱矩陣，于是A*是對(duì)稱的，故二次型f(x)的矩陣是A-1．(2)經(jīng)坐標(biāo)變換x=A-1y，有g(shù)(x)=xTAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)Ty=yTA-1y=f(y)．即g(x)與f(x)有相同的規(guī)范形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，證明：向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無關(guān).標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，則有(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0．因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，故有=2≠0，所以，k1=k2=k3=0，所以，向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第5套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣(m≠n)，則下列運(yùn)算結(jié)果是n階方陣的是()A、A.BB、AT.BTC、B.ATD、(A+B)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣乘法的運(yùn)算定義和矩陣轉(zhuǎn)置的定義可知AT.BT是n階方陣．答案為B.2、設(shè)A是3階反對(duì)稱矩陣，即AT=一A，則｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案為A.3、設(shè)A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則()A、AA*=｜A｜B、AA*=｜A｜*C、A*A=｜A｜D、A*A=｜A｜*I標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A.A*=｜A｜I．答案為C.4、若齊次線性方程組只有零解，則λ應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1時(shí)題中齊次線性方程組只有零解．答案為B.5、二次型f=xTAx經(jīng)過滿秩線性變換x=Py可化為二次型yTBy，則矩陣A與B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=pTAp，所以矩陣A與B一定合同．只有當(dāng)P是正交矩陣時(shí)，由于PT=P-1，所以A與B既相似又合同．答案為A.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-24知識(shí)點(diǎn)解析：7、當(dāng)k=_______時(shí)，僅有零解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：僅有全解8、設(shè)則(A一2E)-1=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：故9、齊次線性方程組有非零解，則a=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解即a=8．10、向量β=_______在基下的坐標(biāo)為(一1，0，1)FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、若線性方程組有解，則λ=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，有因此可見，r(A)=2，如果方程有解，必有，因此，所以λ=12．12、設(shè)A為n階方陣，｜A｜≠0，若A有特征值λ，則A*的特征值_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜≠0，因此A可逆并且即A*=｜A｜.A-1；如果Aα=λα，則A-1.Aα=λA-1α，所以．所以是A*的特征值．13、已知向量．方陣A滿足Ap1=p1，Ap2=0，Ap3=一p3，則A5=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由特征值和特征向量的定義和已知條件知，3階方陣A有特征值1，0，一1，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為P1，P2，P3，方陣A有不同的特征值，故A相似于對(duì)角矩陣，令矩陣則有P-1AP=D，故A=PDP-1A5=(PDP-1)(PDP-1)…(PDP-1)=PD5P-114、設(shè)λ1=1，λ2=一1是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征向量α1=所對(duì)應(yīng)的特征值，則k=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由于實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α2)=一4+8k一12=0，所以k=2．15、已知是正定矩陣，則a滿足的條件是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a＞1知識(shí)點(diǎn)解析：3A為正定矩陣，故A的順序主子式均大于零，得△1=2＞0，△2=8＞0，故a＞1．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)是二次多項(xiàng)式，已知f(1)=1，f(一1)=9，f(2)=一3，求出f(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則有解得a=0，b=-4，c=5，從而f(x)=一4x+5，f(3)=一7．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A、B為兩個(gè)三階矩陣，且｜A｜=一1，｜B｜=5．求｜2(ATB-1)2｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜2(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)｜2=23｜A｜2｜B｜-2=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)向量α，β，γ滿足5(α一γ)+3(β+γ)=0，其中求α+β+γ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于5α一5γ+3β+3γ=0，所以所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)向量都是方陣A的屬于特征值λ=2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此r(A)=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、將線性無關(guān)向量組,化為單位正交向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：用施密特正交化方法，有則β1，β2，β3是正交向量組，再單位化，有則γ1，γ2，γ3是單位正交向量組．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、用正交變換將二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32一2x1x2一2x1x3一2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型并寫出正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先寫出二次型的系數(shù)矩陣為A的特征多項(xiàng)式｜λE—A｜=λ(λ一3)2，所以A的特征值為λ1=λ2=3，λ3=0．對(duì)于λ1=λ2=3解齊次線性方程組(3E-A)X=0，求出基礎(chǔ)解系α1=將α1，α2標(biāo)準(zhǔn)正交化得β1=,β2=對(duì)于λ3=0，解齊次線性方程組(-A)X=0，求出基礎(chǔ)解系將α3標(biāo)準(zhǔn)化得令，則P為正交矩陣，經(jīng)過正交變換X=PY，二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=3y32+3y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣．B為n階實(shí)矩陣．證明：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果｜B｜≠0，則齊次線性方程組BX=0僅有零解，所以對(duì)一切非零向量X有Y=BX也是非零向量，而A正定，因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY＞0即BTAB正定．反之，如果BTAB正定，則｜BTAB｜＞0所以｜BT｜｜A｜．｜B｜=｜A｜.｜B｜2＞0，當(dāng)然有｜B｜≠0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第6套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)A、B為n階可逆矩陣，下列選項(xiàng)等式不成立的是A、｜AB｜＝｜BA｜B、(AB)T＝BTATC、(AB)-1＝B-1A-1D、(A+B)-1＝A-1＋B-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬B｜＝｜A｜·｜B｜，所以｜AB｜＝｜BA｜＝｜A｜·｜B｜，故A成立．而B、C也都符合矩陣運(yùn)算的規(guī)律，故B、c成立．因此D不成立．2、設(shè)A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則()A、AA*=｜A｜B、AA*=｜A｜*C、A*A=｜A｜D、A*A=｜A｜*I標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A.A*=｜A｜I．答案為C.3、設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得的矩陣，則有()A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0，則一定有|B|=0D、若|A|＞0，則一定有|B|＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B=PAQ，其中P，Q為可逆矩陣，于是當(dāng)|A|=0時(shí)，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故選C．4、設(shè)n階矩陣A非奇異(n≥2)，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AA*=|A|E兩邊取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=5、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=O(零矩陣)，則()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D。6、設(shè)A為四階方陣，若＝1，則｜2A－1｜＝A、－1B、2C、1/2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：7、已知三階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為1，2，4，則｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：相似矩陣必有相同的特征值，因A～B，則A與B有相同的特征值，即B的特征值為1，2，4，則｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故選A．8、實(shí)二次型f(x1，…，xn)=xTAx為正定的充要條件是()A、f的秩為nB、f的正慣性指數(shù)為nC、f的正慣性指數(shù)等于f的秩D、f的負(fù)慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由正定的性質(zhì)即得．答案為B。9、設(shè)ε1，ε2，ε3是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則該方程組的基礎(chǔ)解系還可以表示成()A、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等價(jià)向量組B、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等秩向量組C、ε1，ε1+ε2，ε1+ε2+ε3D、ε1—ε2，ε2一ε3，ε3—ε1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A錯(cuò)誤，這是因?yàn)榈葍r(jià)向量組所含向量的個(gè)數(shù)不一定相同，如ε1，ε2，ε3，ε1+ε2也與ε1，ε2，ε3等價(jià)，但它不是基礎(chǔ)解系．B也錯(cuò)誤，等價(jià)自然等秩．C正確，一方面它與ε1，ε2，ε3等價(jià)，且另一方面?zhèn)€數(shù)也為3．D錯(cuò)誤，ε1一ε2，ε2一ε3，ε3一ε1線性相關(guān)．10、設(shè)λ1與λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，ε，η是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，則()A、存在常數(shù)k1≠0，k2≠0，使k1ε+k2η是A的特征向量B、存在唯一的一組常數(shù)k1≠0，k2≠0，k1g+k2η是A的特征向量C、對(duì)任意k1≠0，k2≠0，k1ε+k2η，是A的特征向量D、當(dāng)k1≠0，k2≠0時(shí)，k1ε+k2η不可能是A的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：假設(shè)k1ε+k2η是A的屬于λ的特征向量，即A(k1ε+k2η)=λ(k1ε+k2η)，即(k1λ1ε+k2λ2η)=λk1ε+λk2η，即(k1λ1—k1λ)ε+(k2λ2—k2λ)η=0，而ε與η分屬于A的兩個(gè)不同特征值的特征向量，又k1，k2都不為0，得λ=λ1=λ2與λ1≠λ2矛盾．故當(dāng)k1≠0，k2≠0時(shí)，k1ε+k2η，不可能是A的特征向量，選D．11、n元線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是()A、方程個(gè)數(shù)m＜nB、方程個(gè)數(shù)m＞nC、方程個(gè)數(shù)m=nD、秩(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于線性方程組Ax=0來說，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分條件)；同樣，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要條件)．答案為D。12、若可逆矩陣A有特征值λ=2，則(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案為B。13、若n階方陣A滿足A2一2A一3I=0，且矩陣A可逆則A-1=()A、A-2IB、2I-AC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于A(A一21)=3I，因此所以A-1=．答案為D.14、設(shè)α1，α2，α3，線性無關(guān)，向量β1可由α1，α2，α3線性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3線性表示，則對(duì)任意常數(shù)k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)B、α1，α2，α3，β1+kβ2線性無關(guān)C、α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)D、α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于β2不可由α1．α2，α3線性表示，說明α1，α2，α3．β2線性無關(guān)．設(shè)k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3線性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,顯然k1=k2=k3=k4=0．故選項(xiàng)D成立，至于B，C選項(xiàng)，當(dāng)k=0時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)k≠0時(shí)線性無關(guān)．15、沒A是n階方陣，且｜A｜=5，則｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n—1C、5-n—1D、5-n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：16、下列命題中錯(cuò)誤的是A、一個(gè)非零向量線性無關(guān)B、任意一個(gè)含零向量的向量組線性相關(guān)C、由4個(gè)三維向量組成的向量組線性相關(guān)D、由3個(gè)四維向量組成的向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：很顯然A、B、C正確，舉例法．設(shè)α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．17、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為－1，－2，0，則A、A正定B、A負(fù)定C、A半正定D、A半負(fù)定標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：正定矩陣特征值全大于0．負(fù)定矩陣特征值全小于0．半正定矩陣特征值中含0，而其余全大于0．半負(fù)定矩陣特征值中含0，而其余全小于0．18、設(shè)A，B，A+B以及A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A(A+B)-1BC、(A+B)-1D、A+B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：一一代入，可發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)B滿足條件．因(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=E(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1.B=E．19、設(shè)A為n階方陣，E為n階單位矩陣，若A2=E，則一定有()A、r(A-E)=0B、r(A+E)=0C、r(A)=nD、r(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．20、設(shè)A的特征值為1，一1，向量α是屬于1的特征向量，β是屬于一1的特征向量，則下列論斷正確的是()A、α與β線性相關(guān)B、α+β是A的特征向量C、α與β必正交D、α和β線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)，因此選擇D．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、若A＝，則A－1＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：22、已知二次型f(x)=xTAx的矩陣為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槎涡蚮(x1，x2，x3)=x12+6x1x3+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩陣的定義知矩陣為23、設(shè)A＝，則A有特征值______；若設(shè)B＝，則B有特征值．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1，2，3；1，2，3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、已知x1＝(1，0，－1)T是三元非齊次線性方程組Ax＝b的一個(gè)解向量，又知x2＝(3，4，5)T是其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)三元非齊次線性方程組Ax=b有一個(gè)非零解向量ξ＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(4，4，4)T知識(shí)點(diǎn)解析：由非齊次線性方程組解的性質(zhì)，得ξ＝x1＋x2＝(4，4，4)T．25、設(shè)A、B均為3階矩陣，｜A｜=3，｜B｜=一2，則｜一2A1．B-1｜=_________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：｜一2ATB-1｜=(一2)．｜AT｜．｜B-1｜=一8×｜A｜×=12．26、n階方陣A=(aii)的每一行元素之和同為a．則屬于a的特征向量p為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：取因此a是矩陣A的一個(gè)特征值，則p是A屬于特征值a的特征向量．27、已知是R3的一組基，則β在這里基下的坐標(biāo)為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：以α1,α2,α3，β為列向量的矩陣作初等行變換，有因此即β在α1,α2,α3下的坐標(biāo)為28、設(shè)矩陣為正定矩陣，則a的最大取值范圍是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A正定，因此順序主子式大于0，所以a的最大取值范圍是29、設(shè)向量線性相關(guān)，則a=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一10知識(shí)點(diǎn)解析：α與β線性相關(guān)，因此對(duì)應(yīng)分量成比例，所以，所以a=一10．30、設(shè)3階方陣A=(α1，α2，α3)，其中αi(i=1，2，3)為A的列向量，若|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=8，則|A|=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=|α1+2α2，α2，α3|=|α1，α2，α3|=|A|=8．三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)矩陣并且AX=2X+B，求矩陣X．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(A一2E)x=B，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)＝x12－2x22－2x32－4x1x2＋4x1x3＋8x2x3，用正交變換法x＝Py，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)AB=A+2B，求B.標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=A+2B可得(A一2E)B=A，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、任意一個(gè)實(shí)方陣A都可以惟一地表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第7套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)則α3=_______時(shí)，有α1,α2,α3為R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先已知α1,α2線性無關(guān)(其坐標(biāo)不成比例)，又令A(yù)=(α1,α2,α3)，則α1,α2,α3線性無關(guān)｜A｜≠0由于A的左上角2階主子式(記為｜A11｜)不等于0，故選即可．此時(shí)答案為D2、下列矩形陣列不是初等方陣的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣為初等方陣．注意：只能是一次變換，而D項(xiàng)是經(jīng)過兩次初等變換得到的，故不是初等方陣，故選D．3、設(shè)A是n階方陣，已知A2一2A—2I=O，則(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：把已知關(guān)系式A2—2A—2I=O寫成(A+I)M=I的形式，則M是(A+I)的逆方陣．由題設(shè)關(guān)系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案為A。4、設(shè)A是3階反對(duì)稱矩陣，即AT=一A，則｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案為A.5、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=O(零矩陣)，則()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D。6、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：故r(A)＝4，則二次型f的秩也為4．7、已知二階行列式A、7B、－7C、1D、-1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、若α1，α2，α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3—α1B、α1，α2，α3的任意三個(gè)線性組合C、α1，α1一α2，α1—α2—α3D、α1，2α1，3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無關(guān)，且與α1，α2，α3等價(jià)．答案為C。9、向量組α1，α2，…，αs，(s≥2)的秩為零的充要條件是A、α1，α2，…，αs全是零向量B、α1，α2，…，αs中沒有線性相關(guān)的部分組C、α1，α2，…，αs中可以有非零向量D、α1，α2，…，αs可以全是非零向量標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：只有零矩陣的秩才是0，故此向量組應(yīng)全是零向量，因此A項(xiàng)正確．10、設(shè)則A的屬于特征值O的特征向量是()A、(1，1，2)TB、(1，2，3)TC、(1，0，1)TD、(1，1，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：用定義Ax=λx來判斷，這時(shí)λ=0，故計(jì)算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的屬于特征值0的特征向量．當(dāng)x=(1，2，3)T時(shí)，有Ax=0．答案為B。11、已知A、B為n階方陣，且滿足A2＝B2，則必有A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜2＝｜B｜2C、A＝BD、﹣A=B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2﹦｜B｜2，故B項(xiàng)正確．12、n元線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是()A、方程個(gè)數(shù)m＜nB、方程個(gè)數(shù)m＞nC、方程個(gè)數(shù)m=nD、秩(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于線性方程組Ax=0來說，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分條件)；同樣，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要條件)．答案為D。13、如果A，B是同階對(duì)稱矩陣，則A.B()A、是對(duì)稱矩陣B、是非對(duì)稱矩陣C、是反對(duì)稱矩陣D、不一定是對(duì)稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A與B均為對(duì)稱矩陣但A.B=不是對(duì)稱矩陣．答案選D。14、若可逆矩陣A有特征值λ=2，則(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案為B。15、設(shè)二階矩陣A＝，則A*＝A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由二階矩陣的伴隨矩陣的特點(diǎn)知，若A＝，則A*＝，即主對(duì)角線元素互換，次對(duì)角線元素乘以(－1)．故A＝的伴隨矩陣A*＝16、已知向量組α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量組的秩為A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由A＝(α1，α2，α3)，則r(A)＝3，故此向量組的秩為3．17、以下各線性方程組中，解空間的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程組是()A、B、C、x1一x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因5一r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能為C或D。因一眼就能看出，A、B中兩方程的系數(shù)都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代人驗(yàn)證：因α1滿足C，不滿足D，故選C。答案為C。18、設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：基礎(chǔ)解系必須是線性無關(guān)的向量組，四個(gè)選項(xiàng)中只有D中三個(gè)向量線性無關(guān)．答案為D。19、設(shè)矩陣，則()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：答案為C.20、設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：基礎(chǔ)解系必須是線性無關(guān)的向量組，四個(gè)選項(xiàng)中只有D中三個(gè)向量線性無關(guān)，答案為D二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12＋x324x132x23，則二次型的秩是______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：由二次型的矩陣A＝，得r(A)＝3，故二次型的秩為3．22、當(dāng)k=______時(shí)，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，一3，2)，α2=(2，一1，1)線性表出．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一8知識(shí)點(diǎn)解析：α1，α2線性無關(guān)，故只需得k=一8．23、若A2=E，則A的特征值只能是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1或一1知識(shí)點(diǎn)解析：由A2=E得A2一E=0，(A—E)(A+E)=0｜(A—E)｜｜(A+E)｜=0故｜A—E｜=0或｜(A+E)｜=｜(一A—E)｜=0故必有λ一1=0或一λ一1=0即λ=1或一1．24、若矩陣相似，則x＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：因相似矩陣有相同的特征值，而由題知A的特征值為1，2，則B的特征值也為1，2，故tr(B)＝1＋2＝－1＋x，得x＝4．25、設(shè)二階矩陣A＝，則｜2A2｜＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：26、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定該二次型的正定性為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：半正定二次型知識(shí)點(diǎn)解析：該題可利用特征值判定．由二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣可知A的特征值為0，2，2，故該二次型為半正定二次型．27、設(shè)，則A-1=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=1利用公式由知故28、設(shè)3階方陣的特征值為1，一1，2，則｜A一5E｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一72知識(shí)點(diǎn)解析：如果λ0是A的特征值，則存在非零向量α使Aα=λ0α，因此(A一5E)α=Aα一5α=(λ0—5)α，所以λ0一5是A一5E的特征值，由此可知A一5E的三個(gè)特征值為1—5=一4，一1—5=一6，2—5=一3，所以｜A一5E｜=(一4)×(一6)×(一3)=一72．29、已知4階方陣A相似于B，A的特征值為2，3，4，5，則｜B—E｜=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：24知識(shí)點(diǎn)解析：由于B與A相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩陣P，使所以｜B—E｜=｜P-1｜—E｜.｜B－P｜=｜P-1BP－P-1.P｜=30、設(shè)，γ=一2α-β，則α+β一3γ=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、判斷向量組α1＝(1，3，4，－2)T，α2＝(3，－1，2，0)T，α3＝(4，－3，1，1)T，α4＝(2，1，3，－1)T是否為R4的基，若不是，求出R4的基．標(biāo)準(zhǔn)答案：向量空間的一個(gè)基就是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組．，故有一個(gè)極大無關(guān)組為α1，α2(極大無關(guān)組不唯一)，因此α1，α2，α3，α4不是R4的基，而α1，α2才是R4的基．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、已知A＝，(1)求A的相似標(biāo)準(zhǔn)形，即P－1AP＝A；(2)求A的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形即QTAQ＝A，且QT＝Q－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、已知向量組是R2的一組基，求向量在這組基下的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：以α1,α2,α3，α為列向量的矩陣A作初等行變換，有因此α=2α1+3α2一α3，所以α在基α1,α2,α3下的坐標(biāo)為(2，3，-1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無窮多個(gè)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)n階方陣A的秩滿足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(單位方陣)，證明：一1是A的一個(gè)特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A≠I，所以A—I不是零矩陣，從而r(A—I)≥1，因此由已知條件r(A+I)≤n一1，A+I是奇異矩陣，｜A+I｜=0，所以齊次線性方程組(A+I)X=0有非零解α．即存在非零向量α使得(A+I)α=0．Aα=0，Aα=一α，所以λ=一1是A的一個(gè)特征值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第8套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)α1=，則α3=_________時(shí)，有α1，α2，α3為R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先已知α1，α2線性無關(guān)(其坐標(biāo)不成比例)，又令A(yù)=(α1，α2，α3)，則α1，α2，α3線性無關(guān)→｜A｜≠0由于A的左上角2階主子式(記為｜A11｜)不等于0，故選α3=即可。(此時(shí)｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案為D。2、設(shè)A是n階方陣，已知A2一2A一2I=0，則(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：把已知關(guān)系式A2-2A-2I=0寫成(A+I)M=I的形式，則M是(A+I)的逆方陣．由題設(shè)關(guān)系式A2一2A一21=0，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I一A)=I，故(A+I)-1=3I.A答案為A.3、設(shè)A是3階反對(duì)稱矩陣，即AT=一A，則｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案為A.4、設(shè)n階矩陣A非奇異(n≥2)，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：AA*=|A|E兩邊取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=5、行列式=()A、0B、21C、42D、一42標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：行列式展開性質(zhì)，=(一1)1+4×=一42．答案為D。6、設(shè)A、B為n階方陣，且AB=O(零矩陣)，則()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案為D。7、行列式()A、0B、21C、42D、一42標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：行列式展開性質(zhì)，,答案為D8、方程組的一組基礎(chǔ)解系由_________個(gè)向量組成．()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：該方程組的系數(shù)矩陣秩等于1，有3個(gè)未知數(shù)，因此基礎(chǔ)解系由2個(gè)線性無關(guān)的向量組成．答案為B。9、已知二階行列式A、7B、－7C、1D、-1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：10、零為矩陣A的特征值是A不可逆的()A、必要條件B、充分條件C、非充分、非必要條件D、充要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：零為矩陣A的特征值,|0×E—A|=|-A|=(一1)n|A|=0,|A|=0推得A不可逆．故選D.11、設(shè)A為m×n矩陣，秩為r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C。12、設(shè)A為n(n≥2)階矩陣，且A2＝E，則必有A、A的特征值均為1B、A的秩等于nC、A的逆矩陣等于ED、A的行列式等于1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A2E(A－E)(A＋E)＝OA＝E或A＝－Er(A)＝n，｜A｜＝±1．13、設(shè)A，B是兩個(gè)同階的上三角矩陣，那么AT．BT是矩陣．()A、上三角B、下三角C、對(duì)角形D、即非三角也非下三角標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AT，BT均為下三角陣，因此AT．BT也是下三角陣．答案為B。14、齊次線性方程組的解的個(gè)數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無窮多個(gè)解C、無解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無窮多個(gè)解．答案為B。15、下列命題中錯(cuò)誤的是A、一個(gè)非零向量線性無關(guān)B、任意一個(gè)含零向量的向量組線性相關(guān)C、由4個(gè)三維向量組成的向量組線性相關(guān)D、由3個(gè)四維向量組成的向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：很顯然A、B、C正確，舉例法．設(shè)α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．16、設(shè)A，B是兩個(gè)同階的上三角矩陣，那么AT.BT是矩陣．()A、上三角B、下三角C、對(duì)角形D、即非上三角也非下三角標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AT，BT均為下三角陣，因此AT.BT也是下三角陣．答案為B17、λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對(duì)應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)______時(shí)，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k