第6章-質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)

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第6章質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)

在靜力學(xué)中，我們只從力的角度來(lái)研究物體的平衡問(wèn)題，以及如何對(duì)力進(jìn)行合成與分解等問(wèn)題；在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們只從幾何角度來(lái)研究物體運(yùn)動(dòng)的軌跡、速度和加速度等運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，并不考慮物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變與作用在物體上力的關(guān)系。這兩個(gè)方面只是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一個(gè)側(cè)面，并不能全面地反映機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀況。而物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變與作用在物體上的力是密不可分的統(tǒng)一整體。例如，汽車(chē)在牽引力的作用下，由靜到動(dòng)作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)牽引力消失時(shí)，由動(dòng)到靜而停止。動(dòng)力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)與所受力之間關(guān)系的科學(xué)，它是理論力學(xué)的核心內(nèi)容，是解決物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。根據(jù)工程實(shí)際問(wèn)題，動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象分為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系。當(dāng)物體的大小和形狀可以忽略不計(jì)，只考慮物體的質(zhì)量時(shí)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)，例如，研究輪船的速度和軌跡時(shí)，其大小和形狀對(duì)所研究的問(wèn)題沒(méi)什么影響，則將輪船的質(zhì)量看成集中在質(zhì)心上的質(zhì)點(diǎn)。當(dāng)物體的大小和形狀不可以忽略時(shí)，物體抽象為質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系是由許多個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互聯(lián)系組成的有機(jī)整體。例如，當(dāng)研究有旋轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，一般是不能忽略其大小和形狀的。動(dòng)力學(xué)在工程中得到廣泛的應(yīng)用，在建筑結(jié)構(gòu)中對(duì)結(jié)構(gòu)物的抗震分析，在機(jī)械結(jié)構(gòu)中對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的動(dòng)力學(xué)分析，在航天工程中分析飛行器的運(yùn)行以及軌道的計(jì)算等問(wèn)題，都離不開(kāi)動(dòng)力學(xué)的基本理論。動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容有：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)(包括動(dòng)量定理，動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理)。動(dòng)力學(xué)的求解是通過(guò)以牛頓定律為基礎(chǔ)而建立起來(lái)的動(dòng)力學(xué)微分方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解，一般分為兩類(lèi)。(1) 已知物體的運(yùn)動(dòng)，求作用在物體上的力。(2) 已知作用在物體上的力，求物體的運(yùn)動(dòng)。

6.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

本節(jié)以牛頓定律為基礎(chǔ)建立質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)微分方程是研究復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)。動(dòng)力學(xué)的基本定律是由牛頓三定律組成，其表述如下。(1) 第一定律：不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)。這里的物體應(yīng)理解為：①?zèng)]有轉(zhuǎn)動(dòng)或其轉(zhuǎn)動(dòng)可以不計(jì)的平移物體；②大小和形狀可以不計(jì)的質(zhì)點(diǎn)。第一定律給出了物體的基本屬性，即物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的屬性，稱(chēng)為慣性，因此，第一定律也稱(chēng)為慣性定律。由于運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，但描述物體的運(yùn)動(dòng)卻又是相對(duì)的，所以必須在一定的參考坐標(biāo)系下研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)。參考坐標(biāo)系應(yīng)建立在使牛頓定律成立的物體上，這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為慣性坐標(biāo)系。一般情況下，工程中建立在地面上的坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系。(2) 第二定律：物體所獲得的加速度的大小與物體所受的力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力同向。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (6-1)第二定律建立了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與所受力之間的關(guān)系，它是研究質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，由此定理導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍定理：動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理。在地球表面上，任何物體都受到重力P的作用，所獲得的加速度稱(chēng)為重力加速度，用g表示，由式(6-1)有

或 (6-2)重力加速度是根據(jù)國(guó)際計(jì)量委員會(huì)制定的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算的，一般取g=。在國(guó)際單位制中，質(zhì)量單位是千克(kg)，長(zhǎng)度單位是米(m)，時(shí)間單位是秒(s)，則定義1牛頓的力，為

(3)第三定律：物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、沿著同一條直線，分別作用在這兩個(gè)物體上。牛頓第三定律我們?cè)诘谝徽轮幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，此定律不但適用于靜力學(xué)，而且適用于動(dòng)力學(xué)。應(yīng)當(dāng)指出，牛頓定律只適合于慣性坐標(biāo)系。與之相反的非慣性坐標(biāo)系是不適合牛頓定律成立的坐標(biāo)系，例如建立在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)物體上的坐標(biāo)系一般為非慣性坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系中研究物體的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)重新建立物體的運(yùn)動(dòng)與作用在物體上力之間的微分關(guān)系。

6.1.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在慣性坐標(biāo)系下，由第二定律得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量表達(dá)式為

(6-3)(ⅰ) 直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。將矢徑r和力向直角坐標(biāo)軸、、上投影，如圖6.1所示，得直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(6-4)(ⅱ) 自然軸系形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程將矢徑r和力向自然軸系、、上投影，如圖6.2所示，得自然軸系形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

圖6.1在直角坐標(biāo)系中表示矢徑、速度、加速度和力圖6.2在自然軸系中表示加速度和力yzMOzFvarxxyOMnaτbF

(6-5)其中，切向加速度

，法向加速度

，次法向加速度

。（2）質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)基本問(wèn)題由上面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程可求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)基本問(wèn)題：(ⅰ) 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題。在求解過(guò)程中對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)即可。(ⅱ) 已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題。在求解過(guò)程中需解微分方程，即求積分的過(guò)程。在此兩類(lèi)基本問(wèn)題基礎(chǔ)上，有時(shí)也存在兩類(lèi)問(wèn)題的聯(lián)合求解。【例6.1】質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=0.1kg，按

的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，以米(m)計(jì)，時(shí)間t以秒(s)計(jì)，試求該質(zhì)點(diǎn)所受的力，并求其極值。解：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)其運(yùn)動(dòng)微分方程為則作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力為

(a)對(duì)式(a)求導(dǎo)：得時(shí)間為 (b)將式(b)代入式(a)得作用在該質(zhì)點(diǎn)上的最小的力為上面的例子為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題，在求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)做到以下幾點(diǎn)。(1) 根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式。(2) 正確地對(duì)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行力和運(yùn)動(dòng)分析。(3) 利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求質(zhì)點(diǎn)所受的力?！纠?.2】質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m，在力

的作用下，沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，式中、k為常數(shù)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)即，，，試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：根據(jù)題意，采用直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。即因

，則有采用分離變量法積分，得又因

，再積分得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為即【例6.3】一圓錐擺，如圖6.3所示，質(zhì)量為m=0.1kg的小球系于長(zhǎng)為l=0.3m的繩上，繩的另一端系在固定點(diǎn)O上，并與鉛垂線成

角，若小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求小球的速度和繩子的拉力。解：以小球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，小球受重力及繩子的拉力，其運(yùn)動(dòng)如圖9.3所示，采用自然法求解。其運(yùn)動(dòng)微分方程為其切向運(yùn)動(dòng)微分方程為法向運(yùn)動(dòng)微分方程為

圖6.3

(a)次法向運(yùn)動(dòng)微分方程為 (b)由于次法向加速度

，則由式(b)繩子得拉力為因圓的半徑

，將上面繩子的拉力代入式(a)得小球的速度為

6.2動(dòng)量定理

在上一節(jié)中學(xué)習(xí)的是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，以及建立質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解的方法。從這一節(jié)開(kāi)始討論質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。它是以質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)微分方程為基礎(chǔ)，建立復(fù)雜物體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)理論——?jiǎng)恿W(xué)普遍定理(動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理)。不再?gòu)膯我坏馁|(zhì)點(diǎn)出發(fā)建立質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)微分方程，而是從質(zhì)點(diǎn)系整體的角度來(lái)研究質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能)與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力、力矩和功之間的關(guān)系，從而解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題。

6.2.1動(dòng)量定理

（1）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在工程實(shí)際中，物體之間往往進(jìn)行機(jī)械運(yùn)動(dòng)量的交換，機(jī)械運(yùn)動(dòng)量不僅與物體的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，還與物體的質(zhì)量有關(guān)。例如速度雖小但質(zhì)量很大的樁錘能使樁柱下沉；質(zhì)量雖小但速度很大的子彈能穿透物體，它們的共同特點(diǎn)是質(zhì)量與速度的乘積很大，即動(dòng)量很大，在發(fā)生碰撞時(shí)，將機(jī)械運(yùn)動(dòng)量傳遞給被交換的物體，從而使自己的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量(動(dòng)量)減少。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積，記作mv，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是矢量，單位為kg·m/s。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，即 (6-6)由附錄A中質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心的概念，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的另一種表示為

(6-7)其中，

為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量。即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)

系質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。由式(6-7)可以很方便地計(jì)算幾何形狀規(guī)則的均質(zhì)剛體系的動(dòng)量，即

(6-8)（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理（?。┵|(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理由式(6-1)得 (6-9)式(6-9)的微分形式為

(6-10)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元沖量。式(6-10)的積分形式為 (6-11)其中，

為時(shí)間內(nèi)力的元沖量，

為t時(shí)間內(nèi)力的沖量，沖量的單位為N·s，它是矢量，沖量表示力對(duì)物體作用的時(shí)間積累。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)末動(dòng)量與初動(dòng)量的差等于作

用在質(zhì)點(diǎn)上的力在此時(shí)間間隔內(nèi)的沖量，常稱(chēng)為沖量定理。表示動(dòng)量與沖量的矢量關(guān)系如圖6.4所示。圖6.4動(dòng)量與沖量的矢量關(guān)系特殊情形，當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力等于零，即

時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)作慣

性運(yùn)動(dòng)。當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在某一軸上投影等于零時(shí)，例如則質(zhì)點(diǎn)沿該軸(x軸)作慣性運(yùn)動(dòng)。

（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由式(6-9)有其中，為質(zhì)點(diǎn)系以外的物體給該質(zhì)點(diǎn)的作用力，稱(chēng)為外力；為質(zhì)點(diǎn)系以?xún)?nèi)其他質(zhì)點(diǎn)給該質(zhì)點(diǎn)的作用力，稱(chēng)為內(nèi)力，將上述方程進(jìn)行左右連加，其中，內(nèi)力的合力等于零，即

，從而有

(6-12)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和(或稱(chēng)外力的主矢)。式(6-12)的微分形式為 (6-13)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力元沖量的矢量和。式(6-13)的積分形式為

(6-14)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)末動(dòng)量與初動(dòng)量的差等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力在此時(shí)間間隔內(nèi)沖量的矢量和，常稱(chēng)為沖量定理。由式(6-12)得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的投影形式：直角坐標(biāo)系：

自然軸系：（3）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零，即

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)

量為恒矢量，則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢

在某一軸上投影等于零時(shí)，例如

，質(zhì)點(diǎn)系沿該軸x的動(dòng)量

為恒量，則質(zhì)點(diǎn)系沿該軸x的動(dòng)量守恒?！纠?.4】?jī)蓚€(gè)重物和的質(zhì)量分別為和，系在兩個(gè)質(zhì)

量不計(jì)的繩子上，如圖6.5所示。兩個(gè)繩子分

別纏繞在半徑為和

的鼓輪上，鼓輪的質(zhì)量

為，其質(zhì)心為輪心O處。若輪以角加速度

繞輪心O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，試求輪心O處的約束力。

圖6.5解：根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)系選鼓輪和兩個(gè)重物為研究對(duì)象，系統(tǒng)的受力分析如圖6.5所示。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影為 (a)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力在坐標(biāo)軸上的投影為 (b)將式(a)、(b)代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理公式（10-10）中，得又由于

，

，則輪心O處的約束力為【例6.5】機(jī)車(chē)質(zhì)量為，以速度與靜止在平直軌道上的車(chē)廂對(duì)接，車(chē)廂的質(zhì)量為，對(duì)接時(shí)摩擦不計(jì)，試求對(duì)接后列車(chē)的速度以及機(jī)車(chē)動(dòng)量的損失。解：以機(jī)車(chē)和車(chē)廂構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象，由于對(duì)接時(shí)摩擦不計(jì)，質(zhì)點(diǎn)系水平方向不受力，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在水平方向上守恒。則對(duì)接后列車(chē)的速度為

機(jī)車(chē)動(dòng)量的損失為

由此可見(jiàn)機(jī)車(chē)動(dòng)量的損失等于車(chē)廂所得的動(dòng)量。

6.2.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

（1）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量式(6-7)代入式(6-12)中得

或者寫(xiě)成

(6-15)其中，為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的加速度，上式給出了質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和(或稱(chēng)外力的主矢)。由式(6-15)得質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的投影形式：直角坐標(biāo)系：

自然軸系：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理式(6-15)可以看出質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律一樣，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量就是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力就是作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力。因此在求解質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)，與求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題完全一致。由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理知，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)均與內(nèi)力無(wú)關(guān)，與外力有關(guān)，外力是改變質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的根本原因。例如在光滑的冰面上，人和汽車(chē)都很難行走，原因是冰面的摩擦力較小，克服它往往需要在冰面上灑一些沙子，以增大摩擦力。（2）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零，即

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的速度=恒矢量，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心作慣性運(yùn)

動(dòng)；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢在某一軸上投影等于

零時(shí)，例如

，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心沿該軸x的速度=恒量，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心沿該軸x作慣性運(yùn)動(dòng)，若初始系統(tǒng)靜止，即質(zhì)心的速度=0，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的坐標(biāo)保持不變?！纠?.6】質(zhì)量為的均質(zhì)曲柄OA，長(zhǎng)為l，以等角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)滑塊A在豎直的滑道AB內(nèi)滑動(dòng)，滑塊A的質(zhì)量為；而滑桿BD在水平滑道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滑桿的質(zhì)量為，其質(zhì)心在點(diǎn)C處，如圖6.6所示。開(kāi)始時(shí)曲柄OA為水平向右，各處的摩查擦不計(jì)。試求：①系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律；②作用在O軸處的最大水平約束力。圖6.6解：（?。┣笙到y(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖6.6所示，建立直角坐標(biāo)系

，系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)

(a)（ⅱ）求作用在O軸處的最大水平約束力由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理對(duì)式(a)求導(dǎo)質(zhì)心的加速度為則作用在O軸處水平約束力為最大水平約束力為若求鉛直方向約束力，由

求出，但只能求出鉛直方向的合約束力。

6.3動(dòng)量矩定理

本節(jié)學(xué)習(xí)描述轉(zhuǎn)動(dòng)物體的物理量——?jiǎng)恿烤?，與作用在物體上力矩之間的關(guān)系稱(chēng)動(dòng)量矩定理。

6.3.1動(dòng)量矩定理（1）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩（?。┵|(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩如圖6.7所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圖示瞬時(shí)A點(diǎn)的動(dòng)量為，矢徑為r，與力F對(duì)點(diǎn)O之矩的矢量表示類(lèi)似，定義質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為 (6-16)

圖6.7質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩圖6.8質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩xyzBAOhrMO(mv)OmvFzBAB′A′mvxyzMO(mv)OMZ(mv)mvO質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩是矢量，方向滿(mǎn)足右手螺旋法則，如圖6.7所示，大小為固定點(diǎn)O與動(dòng)量AB所圍成的三角形面積的2倍，即其中，h為固定點(diǎn)O到AB線段的垂直距離，稱(chēng)為動(dòng)量臂。單位為kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定軸z的矩等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量在Oxy平面上的投影

對(duì)固定點(diǎn)O的矩，如圖6.8所示，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸z的矩也等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩在固定軸z上的投影。即 (6-17)（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，即 (6-18)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸z的矩等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸z動(dòng)量矩的代數(shù)和，即 (6-19)平移剛體動(dòng)量矩：將剛體的質(zhì)量集中在剛體的質(zhì)心上，按質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩計(jì)算。剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)動(dòng)量矩：設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體如圖6.9所示，其上任一質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量為mi，到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為，某瞬時(shí)的角速度為，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩由式(6-19)得

圖6.9定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體rimivixyzω

即 (6-20)其中，

為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)

轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理（?。┵|(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理如圖6.7所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為

，力F對(duì)同一點(diǎn)O的力矩為

，將式(6-16)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得即

(6-21)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)的矩。將式(6-21)向直角坐標(biāo)軸投影得

(6-22)特殊情形，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受向心力F的作用時(shí)，如圖6.10所示，力矩

，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩

=恒矢量，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。例如行星繞著恒星轉(zhuǎn)，受恒星的引力作用，引力對(duì)恒星的矩

，行星的動(dòng)量矩 =恒矢量，此恒矢量的方向是不變的，因此行星作平面曲線運(yùn)動(dòng)；此恒矢量的大小是不變的，即

=恒量，行星的速度v與恒星到速度矢量的距離h成反比。【例6.7】如圖6.11所示單擺，由質(zhì)量為m的小球和繩索構(gòu)成。單擺懸吊于點(diǎn)O，繩長(zhǎng)為

，當(dāng)單擺作微振幅擺動(dòng)時(shí)，試求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖6.10行星繞著恒星運(yùn)動(dòng)圖

圖6.11hFmvOOFmvmgφ解：根據(jù)題意，以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受力為鉛垂重力和繩索拉力F。單擺在鉛垂平面內(nèi)繞點(diǎn)O作微振幅擺動(dòng)，設(shè)擺與鉛垂線的夾角為，規(guī)定為逆時(shí)針時(shí)為正，如圖6.11所示。則質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩為作用在小球上的力對(duì)點(diǎn)O的矩為由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理得 (a)由于

，則

，又由于單擺作微振幅擺動(dòng)，則

從而由式(a)得單擺運(yùn)動(dòng)微分方程為 (b)解式(b)得單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為其中，

稱(chēng)為單擺的角頻率，單擺的周期為稱(chēng)為單擺的振幅，稱(chēng)為單擺的初相位，它們由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。(ⅱ)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)列式(6-21)有其中，

為外力矩，

為內(nèi)力矩，上式共列n個(gè)方程，將這些方程進(jìn)行左右連加，并考慮內(nèi)力矩之和為零，得 (6-23)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)同一點(diǎn)矩的矢量和(或稱(chēng)外力的主矩)。將式(6-23)向直角坐標(biāo)系投影得

(6-24)特殊情形，當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力對(duì)某點(diǎn)的矩等于零時(shí)，例如

，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩

恒矢量，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)

量矩守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)某一軸的矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)

系對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒，例如

，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的動(dòng)量

矩

為恒量，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的動(dòng)量矩守恒?！纠?.8】在礦井提升設(shè)備中，兩個(gè)鼓輪固聯(lián)在一起，總質(zhì)量為m，對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，在半徑為的鼓輪上懸掛一質(zhì)量為的重物A，而在半徑為的鼓輪上用繩牽引小車(chē)B沿傾角的斜面向上運(yùn)動(dòng)，小車(chē)的質(zhì)量為。在鼓輪上作用有一不變的力偶矩M，如圖6.12所示。不計(jì)繩索的質(zhì)量和各處的摩擦，繩索與斜面平行，試求小車(chē)上升的加速度。圖6.12OFOyFOxFNBAMθmgm1gm2g解：選整體為質(zhì)點(diǎn)系，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力為三個(gè)物體的重力、、，在鼓輪上不變的力偶矩M，以及作用在軸O處和斜面的約束力為、、。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩為其中：

，

，則作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力對(duì)轉(zhuǎn)軸O的矩為由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理得解得鼓輪的角加速度為小車(chē)上升的加速度為（3）質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理建立定坐標(biāo)系Oxyz，和以質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系

。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C的矢徑為

，任一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，對(duì)兩個(gè)坐標(biāo)系的矢徑分別為

、，三者的關(guān)系如圖6.13所示。

圖6.13質(zhì)心坐標(biāo)系ixyzx'y'z'ρirirCCO質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為 (a)其中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩為 (b)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)定坐標(biāo)系的動(dòng)量為 (c)將式(b)和式(c)代入式(a)得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩和質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩間的關(guān)系為 (6-25)式(6-25)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得 (d)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)固定點(diǎn)O的力矩為 (e)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)質(zhì)心C的力矩為 (f)將式(d)、(e)和(f)代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理式(6-23)中，并考慮質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，從而得 (6-26)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和(或稱(chēng)主矩)。應(yīng)當(dāng)指出：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理只有對(duì)固定點(diǎn)或質(zhì)心點(diǎn)取矩時(shí)其方程的形式才是一致的，若對(duì)其他動(dòng)點(diǎn)取矩，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理將更加復(fù)雜；不論是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理還是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩的變化均與內(nèi)力無(wú)關(guān)，與外力有關(guān)，外力是改變質(zhì)點(diǎn)系量矩的根本原因。

6.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

如圖6.14所示，設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體某瞬時(shí)的角速度為，作用在剛體上的主動(dòng)力為(i=1,…，n)、約束力為、、、，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩由式(6-20)

圖6.14定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力zF

NAF

nF1F2BAF

AxF

AzF

Ay代入式(6-24)中的第三式中，得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程或

或

(6-27)其中，

為主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，因?yàn)檗D(zhuǎn)軸處的約束力對(duì)轉(zhuǎn)

軸的矩

。則剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘

積等于作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩的代數(shù)和(或主矩)。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

類(lèi)似，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性量度。當(dāng)

時(shí)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩恒量，動(dòng)量矩守恒，例如花樣滑冰

運(yùn)動(dòng)員通過(guò)伸展和收縮手臂以及另一條腿，改變其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而

達(dá)到增大和減少旋轉(zhuǎn)的角速度的效果；當(dāng)

恒量，對(duì)于確定的剛體和轉(zhuǎn)軸而言，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求解動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題?！纠?.9】如圖6.15所示，飛輪以角速度繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，當(dāng)制動(dòng)時(shí)其摩擦阻力矩為

，其中，為比例系數(shù)，試求飛輪經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后角速度減少為初角速度的一半，及在此時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)。

圖6.15

MOα解：(ⅰ) 求飛輪經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后角速度減少為初角速度的一半。飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程為將摩擦阻力矩

，代入上式有采用解微分方程的分離變量法，并積分解得時(shí)間為(ⅱ)求飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)。飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程寫(xiě)成為方程的兩邊約去，并積分為解得飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為則飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)為【例6.10】傳動(dòng)軸系如圖6.16(a)所示，主動(dòng)軸Ⅰ和從動(dòng)軸Ⅱ的

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，傳動(dòng)比為

，和分別為主動(dòng)軸Ⅰ和從動(dòng)軸Ⅱ的半徑。若在軸Ⅰ上作用主動(dòng)力矩，在軸Ⅱ上有阻力矩，各處摩擦不計(jì)，試求主動(dòng)軸Ⅰ的角加速度。

圖6.16

M2ⅡⅠR2FnFt(a)(b)α2F′n'M1M2F′tM1α1R1解：由于主動(dòng)軸Ⅰ和從動(dòng)軸Ⅱ?yàn)閮蓚€(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，應(yīng)用動(dòng)量矩定理時(shí)應(yīng)分別研究。受力傳動(dòng)軸系如圖6.16(b)所示，設(shè)角加速度的方向?yàn)榻?dòng)量矩方程的正方向，其定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 (a) (b)因輪緣上的切向力

，傳動(dòng)比則式(a)+式(b)，并注意

得主動(dòng)軸Ⅰ的角加速度為

6.3.3剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平移和相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的兩部分。在動(dòng)力學(xué)中，一般取質(zhì)心為基點(diǎn)，因此剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)心的平移和相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。這兩部分的運(yùn)動(dòng)分別由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)確定。如圖6.17所示，作用在剛體上的力簡(jiǎn)化為質(zhì)心所在平面內(nèi)一平面力系

(i=1,…,n),在質(zhì)心C處建立平移坐標(biāo)系

，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得

(6-28)圖6.17質(zhì)心坐標(biāo)系yxx'φCO式(6-28)的投影形式 (6-29)即式((6-28))或(6-28)為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，利用此方程求解剛體平面運(yùn)動(dòng)的兩類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

【例6.11】均質(zhì)的鼓輪，半徑為，質(zhì)量為，在半徑為處沿水平方向作用有力和，使鼓輪沿平直的軌道向右作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，如圖6.18所示，試求輪心點(diǎn)O的加速度以及使鼓輪無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)的摩擦力。解：由于鼓輪作平面運(yùn)動(dòng)，鼓輪的受力如圖6.18所示建立鼓輪平面運(yùn)動(dòng)微分方程為 (a) (b) (c)其中，F(xiàn)為摩擦力，為支承面的法向約束力。因鼓輪沿平直的軌

道作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，則

，

，

，

，代入式(c)得 (d)

圖6.18式(a)和式(d)聯(lián)立得輪心點(diǎn)O的加速度為其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

，則有使鼓輪作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)的摩擦力為yxFFNF1F2mgαO

6.4動(dòng)能定理

動(dòng)量和動(dòng)量矩是描述物體作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)與周?chē)矬w進(jìn)行機(jī)械運(yùn)動(dòng)交換的物理量，動(dòng)能是描述物體作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的能量。這一節(jié)我們要學(xué)習(xí)物體動(dòng)能的變化與作用在物體上力的功之間的關(guān)系——?jiǎng)幽芏ɡ怼?/p>

6.4.1力的功

（1）常力作直線運(yùn)動(dòng)的功設(shè)物體在大小和方向都不變的力F作用下，沿直線做運(yùn)動(dòng)，其位移為s，如圖6.19所示，力F對(duì)物體所做的功為 (6-30)圖6.19物體在常力作用下作直線運(yùn)動(dòng)式中為與F位移s間的夾角，功是代數(shù)量，功的單位為焦耳(J)，1J=1N·m。（2）變力作曲線運(yùn)動(dòng)的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下作曲線運(yùn)動(dòng)，如圖6.20所示，質(zhì)點(diǎn)從位置

運(yùn)動(dòng)到位置。為了計(jì)算變力F在曲線上的功，將曲線

分成若干小段，其弧長(zhǎng)為ds，ds可視為直線，此段上力F視為常力，此時(shí)力F做的功稱(chēng)為元功，由式(6-30)有 (6-31)當(dāng)ds足夠小時(shí)位移與路程相等，即

，為微小弧段ds上所對(duì)應(yīng)的位移，式(6-31)寫(xiě)成 (6-32)圖6.20質(zhì)點(diǎn)在變力作用下作曲線運(yùn)動(dòng)力F在位移上的元功的解析式為 (6-33)則力F在曲線上的功為

(6-34)（3）匯交力系合力功設(shè)質(zhì)點(diǎn)M上作有n個(gè)力，，…，，則力系的合力功為

(6-35)即合力在某一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所做功的代數(shù)和。（4）常見(jiàn)力的功（ⅰ）重力功設(shè)物體受重力P的作用，重心沿曲線從位置

運(yùn)動(dòng)到位置，如

圖6.21所示，則重力P在直角坐標(biāo)軸上的投影

，

代入式(6-33)得重力的元功為圖6.21重力作用下曲線圖重力P沿曲線的功為

(6-36)由重力功式(6-36)可見(jiàn)，重力功只與始末位置的高度差有關(guān)，與物體的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。（ⅱ）彈性力功如圖6.22所示，一端固定，另一端連接質(zhì)點(diǎn)M的彈簧，質(zhì)點(diǎn)受彈力F的作用，從位置

運(yùn)動(dòng)到位置。設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為，剛性系數(shù)為(單位：N/m或N/cm)，在彈性范圍內(nèi)，彈力F表示為圖6.22彈性力作用由式(6-32)得彈力的元功其中，

代入上式，則有質(zhì)點(diǎn)沿M1M2運(yùn)動(dòng)時(shí)彈力功即 (6-37)式中

、

分別為質(zhì)點(diǎn)在初位置和末位置時(shí)彈簧的變形量。由此可見(jiàn)，彈力功只與質(zhì)點(diǎn)始末位置有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。（ⅲ）力矩功如圖6.23所示，剛體繞轉(zhuǎn)軸z作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，作用在剛體上的力F的元功則剛體從位置轉(zhuǎn)到位置時(shí)，力所做的功

(6-38)若剛體在力偶作用下，且力偶矩M=恒量，由式(6-38)力偶矩的功為 (6-39)圖6.23作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力

（ⅳ）約束力功物體所受的約束，例如：(1)光滑接觸面約束、軸承約束、滾動(dòng)鉸支座，其約束力與微小位移總是相互垂直，約束力的元功等于零；(2)鉸鏈約束，其單一的約束力的元功不等于零，但相互間的約束力的元功之和等于零；(3)不可伸長(zhǎng)的繩索、二力桿約束，由于繩索、二力桿不可伸長(zhǎng)，其約束力的元功等于零；(4)物體沿固定平面作純滾動(dòng)，其法線約束力和摩擦力均不做功。我們把約束力不做功或約束力做功之和等于零的約束稱(chēng)為理想約束。即 (6-40)其中，S為物體受到的約束的個(gè)數(shù)。（ⅴ）內(nèi)力功在質(zhì)點(diǎn)系中設(shè)A、B兩點(diǎn)間的相互作用力為、，且有

。如圖6.24所示，內(nèi)力的元功之和為式中為A、B兩點(diǎn)間的相對(duì)位移，一般情況下

，則其元功

；但當(dāng)物體為剛體時(shí)，

，則其元功

。圖6.24質(zhì)點(diǎn)系中兩點(diǎn)間的相互作用力【例6.12】?jī)傻乳L(zhǎng)的桿AC、CB組成可動(dòng)結(jié)構(gòu)，如圖6.25所示。A處為固定鉸支座，B處為滾動(dòng)鉸支座，且在同一水平面上，兩桿

在C處鉸鏈連接，并懸掛質(zhì)量為m的重物D，以剛度系數(shù)為k的彈

簧連于兩桿的中點(diǎn)。彈簧的原長(zhǎng)

，不計(jì)兩桿的重量。

試求當(dāng)

由

變?yōu)闀r(shí)，重物D的重力和彈力所做的總功。圖6.25解：(1) 求重物D的重力所作的功。由圖6.25計(jì)算重物D下降的高度差則重力做的功(2) 求彈力所作的功。由幾何條件知：當(dāng)

時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量當(dāng)

時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量則彈力所做的功系統(tǒng)總功

6.4.2動(dòng)能定理

（1）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能（ⅰ）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定義為

(6-41)動(dòng)能是標(biāo)量，恒為正值；單位為焦耳(J)，1J=1N·m。（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的代數(shù)和，即 (6-42)（ⅲ）剛體的動(dòng)能剛體是由無(wú)數(shù)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由于剛體運(yùn)動(dòng)形式的不同，其上各點(diǎn)的速度分布也不相同，因此剛體動(dòng)能計(jì)算也不同。由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能式(6-42)，計(jì)算下面常見(jiàn)剛體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。平移剛體的動(dòng)能：當(dāng)剛體作平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于每一瞬時(shí)其上各點(diǎn)的速度都相等，因此用質(zhì)心的速度來(lái)代表剛體上各點(diǎn)的速度，則平移剛體的動(dòng)能

(6-43)

式中，

為剛體的質(zhì)量。平移剛體的動(dòng)能等于剛體的質(zhì)量與

質(zhì)心速度平方的乘積的一半，它與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能形式一樣。

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能：設(shè)剛體某瞬時(shí)以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，

如圖6.26所示，剛體內(nèi)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，到轉(zhuǎn)軸z的距離為

，質(zhì)點(diǎn)的速度為

，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能

(6-44)其中，

，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能

為等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方的乘積的一半。剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能：剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面圖形取剛體質(zhì)心所

在的平面，如圖6.27所示，設(shè)某瞬時(shí)平面圖形的角速度為，速度瞬心點(diǎn)為P，平面運(yùn)動(dòng)可以看成相對(duì)于速度瞬心點(diǎn)P的純轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為 (6-45)

圖6.26剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圖6.27剛體平面運(yùn)動(dòng)由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理有代入上式得其中，質(zhì)心點(diǎn)的速度為

，于是有

(6-46)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和?！纠?.13】均質(zhì)的圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m，輪心C以速度沿平直的軌道向右作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，如圖6.28所示，試求圓輪的動(dòng)能。解：由剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的計(jì)算式(12-16)得

圖6.28（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理（?。┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理由牛頓第二定律得加速度

，同時(shí)在上面的方程中兩端點(diǎn)乘，于是有因

，

代入上式得其中，

，則有

(6-47)即為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。若質(zhì)點(diǎn)從位置轉(zhuǎn)到位置時(shí)，速度由變?yōu)?，?duì)式(6-47)積分得 (6-48)則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)在某一段路程上運(yùn)動(dòng)時(shí)，末動(dòng)能與初動(dòng)能的差等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在同一段路程上所做的功。（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，由式(6-47)，對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)建立動(dòng)能定理的微分形式，即n個(gè)質(zhì)點(diǎn)共列n個(gè)上述方程，并將其方程連加，得即 (6-49)則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的全部力所做元功之和。若質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，所對(duì)應(yīng)的動(dòng)能為和，對(duì)式(6-49)積分得 (6-50)其中，

為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程上運(yùn)動(dòng)時(shí)，末動(dòng)能與初動(dòng)能的差等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的全部力在同一段路程上所做功的和。應(yīng)當(dāng)注意：(1) 當(dāng)我們研究剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，作用在剛體上全部力的功應(yīng)為主動(dòng)力的功，因?yàn)閯傮w受理想約束；同時(shí)若考慮滑動(dòng)摩擦力時(shí)應(yīng)按主動(dòng)力處理。(2) 動(dòng)能和功都是標(biāo)量，動(dòng)能定理所對(duì)應(yīng)的方程是標(biāo)量方程，沒(méi)有投影形式。(3) 利用動(dòng)能定理計(jì)算時(shí)，只需研究始末狀態(tài)即可?！纠?.14】如圖6.29所示，均質(zhì)輪Ⅰ的質(zhì)量為，半徑為，在曲柄的帶動(dòng)下繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并沿輪Ⅱ只滾動(dòng)而不滑動(dòng)。輪Ⅱ固定不動(dòng)，半徑為。曲柄的質(zhì)量為。若已知系統(tǒng)處于水平面內(nèi)，曲柄上作用有一不變的力矩，初始時(shí)系統(tǒng)靜止，各處的摩擦不計(jì)。試求曲柄轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)曲柄的角速度和角加速度。圖6.29解：取桿和輪Ⅰ為質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系的初動(dòng)能曲柄轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能其中，

，則上式為由于系統(tǒng)處于水平面內(nèi)，因此重力不做功。力的功由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理得

(a)則曲柄的角速度 (b)式(a)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得曲柄的角加速度 (c)

6.4.3機(jī)械能守恒定律

（1）勢(shì)力場(chǎng)和勢(shì)能（ⅰ）勢(shì)力場(chǎng)當(dāng)物體在某一空間時(shí)，所受力的大小和方向完全由物體所在的位置決定，這樣的空間稱(chēng)為力場(chǎng)，例如重力場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)等。在力場(chǎng)中，力所作的功與物體的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，只與運(yùn)動(dòng)的始末位置有關(guān)，這樣的力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)，或稱(chēng)保守力場(chǎng)。勢(shì)力場(chǎng)中的力稱(chēng)為勢(shì)力，或稱(chēng)保守力。例如重力和彈性力，還有萬(wàn)有引力都是勢(shì)力或保守力，它們均滿(mǎn)足勢(shì)力的性質(zhì)。（ⅱ）勢(shì)能定義：在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)從位置運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)勢(shì)力所做的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置相對(duì)于位置的勢(shì)能，即

(6-51)其中，定義位置的勢(shì)能等于零，點(diǎn)稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)。在勢(shì)力場(chǎng)中，勢(shì)能的大小是相對(duì)于零勢(shì)能點(diǎn)而言的。因此，勢(shì)力場(chǎng)中的同一點(diǎn)相對(duì)于不同零勢(shì)能點(diǎn)，其勢(shì)能的大小是不相同的；同時(shí)零勢(shì)能點(diǎn)的選擇又可以是任意的。（ⅲ）常見(jiàn)力的勢(shì)能重力勢(shì)能：在重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)受重力P作用，設(shè)z軸鉛垂向上，為零勢(shì)能點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在任意z處的重力勢(shì)能，由式(12-21)得 (6-52a)若取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，則重力勢(shì)能 (6-52b)彈性力勢(shì)能：設(shè)一端固定，另一端連接一物體的彈簧，彈簧的剛性系數(shù)為，以變形量為零勢(shì)能點(diǎn)，變形量處的彈性力勢(shì)能由式(6-37)得 (6-53a)若取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，即

，則有 (6-53b)以上討論的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到勢(shì)力作用時(shí)的勢(shì)能計(jì)算，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系而言，其勢(shì)能應(yīng)等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能的代數(shù)和。（ⅳ）勢(shì)力功與勢(shì)能的關(guān)系在勢(shì)力場(chǎng)中，設(shè)零勢(shì)能點(diǎn)為點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，勢(shì)力做功為；質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，勢(shì)力做功為；質(zhì)點(diǎn)系從位置運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，勢(shì)力做功為，如圖6.30所示，則有由勢(shì)能的定義知：

，代入上式，從而有

(6-54)即勢(shì)力做功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始末位置的勢(shì)能差。圖6.30質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)（ⅴ）勢(shì)力與勢(shì)能的關(guān)系在勢(shì)力場(chǎng)中，由于質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能的大小與所在勢(shì)力場(chǎng)中位置有關(guān)，因此勢(shì)能是勢(shì)力場(chǎng)位置坐標(biāo)的函數(shù)。設(shè)勢(shì)力從一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，這兩點(diǎn)的勢(shì)能分別為

和

，由式(6-54)得勢(shì)力的元功為 (6-55)其中，勢(shì)能的全微分

(a)勢(shì)力元功的解析式為

(b)將式(a)和式(b)代入式(6-55)中，得

(6-56)即勢(shì)力的元功等于勢(shì)能微分的負(fù)值；勢(shì)力在直角坐標(biāo)軸上的投影等于勢(shì)能對(duì)該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。（2）機(jī)械能守恒定律設(shè)質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力作用下，從位置運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，相應(yīng)的勢(shì)能分別為和，動(dòng)能分別為和，勢(shì)力所做的功由式(6-54)得依據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理有于是有即 (6-55)其中，勢(shì)能和動(dòng)能之和稱(chēng)為機(jī)械能，即

。則得機(jī)械能守恒定律：質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力作用下機(jī)械能保持不變。如果將作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力分為勢(shì)力(或保守力)和非勢(shì)力(或非保守力)兩類(lèi)，勢(shì)力的功為，非勢(shì)力的功為，則由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理得考慮式(6-54)，上式變?yōu)?/p>

(6-56)即非勢(shì)力的功等于機(jī)械能的變化。當(dāng)非勢(shì)力作正功時(shí)：，機(jī)械能增加，質(zhì)點(diǎn)系作加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)非勢(shì)力作負(fù)功時(shí)：＜0，機(jī)械能減少，質(zhì)點(diǎn)系作減速運(yùn)動(dòng)?！纠?.15】均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，一繩纏繞在繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱體A上，繩另一端纏繞在圓柱B上，直線繩段為鉛垂，如圖6.31所示，若軸O的摩擦不計(jì)，系統(tǒng)初始靜止，兩輪心初始時(shí)在同一水平線上，試求當(dāng)圓柱體B下落h時(shí)，圓柱體B的輪心速度和加速度，以及圓柱體A的角速度和角加速度。解：選均質(zhì)圓柱體A和B為質(zhì)點(diǎn)系。由于軸O處的約束力不做功，因此系統(tǒng)機(jī)械能守恒。輪心初始位置為零勢(shì)能點(diǎn)，根據(jù)題意，初始位置時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為圓柱體B下落h時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能圖6.31其中，兩圓柱體的角速度

，

，

，則上式為系統(tǒng)的勢(shì)能由機(jī)械能守恒定律得

(a)則圓柱體B輪心的速度 (b)式(a)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意

，從而得圓柱體B輪心的加速度 (c) 圓柱體A的角速度

(d)式(d)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得圓柱體A的角加速度 (e)其中，

。

6.4.4動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理構(gòu)成動(dòng)力學(xué)普遍定理，它們從不同側(cè)面反映機(jī)械運(yùn)動(dòng)量與作用在物體上的力、力矩和功之間的關(guān)系。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量式，有投影式；動(dòng)能定理是標(biāo)量式，沒(méi)有投影式。動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一樣是分析質(zhì)點(diǎn)系所受外力與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的關(guān)系；動(dòng)量矩定理是分析質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩的關(guān)系。這3個(gè)定理中動(dòng)量、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和動(dòng)量矩的變化均與內(nèi)力無(wú)關(guān)，內(nèi)力是不能改變質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和動(dòng)量矩的，但內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和動(dòng)量矩；動(dòng)能定理是從能量角度研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化與作用在質(zhì)點(diǎn)系上力的功的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化不僅與外力有關(guān)，而且還與內(nèi)力有關(guān)。但當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系是剛體時(shí)，動(dòng)能的變化只與外力功有關(guān)，此時(shí)若剛體受理想約束，約束力不做功，外力功(包括滑動(dòng)摩擦力的功)為主動(dòng)力的功。在動(dòng)力學(xué)計(jì)算方面，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題適當(dāng)選擇普遍定理中的某一個(gè)定理，有時(shí)是這些定理的聯(lián)合應(yīng)用。一般情形，動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理主要是研究平移運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題；動(dòng)量矩定理主要是研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)量矩定理聯(lián)合應(yīng)用是研究剛體平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；動(dòng)能定理是研究一般機(jī)械運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。當(dāng)要求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)量(例如速度、加速度、角速度和角加速度)時(shí)，一般先采用動(dòng)能定理較好，因?yàn)樗菢?biāo)量方程易于求解；當(dāng)要求作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力時(shí)，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題選擇動(dòng)量定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或動(dòng)量矩定理。動(dòng)力學(xué)求解分為兩類(lèi)，一類(lèi)是已知質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，求作用質(zhì)點(diǎn)系上的力；另一類(lèi)是已知作用質(zhì)點(diǎn)系上的力，求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)?！纠?.16】均質(zhì)圓輪重為P，半徑為r，沿傾角為的斜面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，如圖6.32所示，滾動(dòng)摩阻不計(jì)。試求輪心的加速度，以及斜面的法向約束力和斜面的滑動(dòng)摩擦力。解：根據(jù)題意，圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，受重力P、法向約束力、滑動(dòng)摩擦力F的作用，如圖12.18所示。(1) 求輪心的加速度。圓輪的初動(dòng)能圓輪運(yùn)動(dòng)到任一瞬時(shí)的動(dòng)能圖6.32當(dāng)圓輪輪心運(yùn)動(dòng)的距離為s時(shí)，主動(dòng)力所作的功由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理得 (a)式(a)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意

，得輪心的加速度為

(b)2) 求斜面的法向約束力和斜面的滑動(dòng)摩擦力建立圖示坐標(biāo)系，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得由于

，

，則法向約束力斜面的滑動(dòng)摩擦力【例6.17】如圖6.33所示，彈簧兩端各系重物A和B，放在光滑的水平面上。其中，重物A的質(zhì)量為，重物B的質(zhì)量為，彈簧原長(zhǎng)為，剛性系數(shù)。若將彈簧拉到后，無(wú)初速釋放。試求彈簧回到原長(zhǎng)時(shí)重物A和B的速度。圖6.33解：選兩重物A和B為質(zhì)點(diǎn)系。由于重物A和B放在光滑的水平面上，則質(zhì)點(diǎn)系在水平方向不受力，動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)系在水平方向的動(dòng)量由動(dòng)量守恒得

，即

(a)由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理其中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能作用在質(zhì)點(diǎn)系上力的功

則有 (b)式(a)和式(b)聯(lián)立，求得重物A和B的速度

上面的例子還可以有其他的解法，請(qǐng)讀者自己練習(xí)。在學(xué)習(xí)這部分時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)力學(xué)普遍定理中的某一個(gè)或幾個(gè)的聯(lián)立，才能求解。

6.5本章小結(jié)

1.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)（1）動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律：不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)。第二定律：物體所獲得的加速度的大小與物體所受的力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力同向，即

。第三定律：物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、沿著同一條直線，分別作用在這兩個(gè)物體上。（2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程:直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：自然軸系形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：（3）質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)基本問(wèn)題：第一類(lèi)問(wèn)題——已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。第二類(lèi)問(wèn)題——已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在此兩類(lèi)問(wèn)題基礎(chǔ)上，有時(shí)也存在兩類(lèi)問(wèn)題的聯(lián)合求解。2.動(dòng)量定理（1）動(dòng)量與沖量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：mv，單位為kg·m/s。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：

，或者

沖量：

，它是矢量，單位為N·s。（2）動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律：當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢在某一軸上投影等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系沿該軸的動(dòng)量守恒。（3）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量就是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力就是作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢在某一軸上投影等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心沿該軸作慣性運(yùn)動(dòng)，若初始系統(tǒng)靜止，如質(zhì)心的速度

，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的坐標(biāo)保持不變。3.動(dòng)量矩定理（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：

是矢量，單位為kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩：

是代數(shù)量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)的矩。即（2）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩和對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)同一點(diǎn)矩的矢量和(或稱(chēng)外力的主矩)。即投影形式：

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律：當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上外力對(duì)某一點(diǎn)的矩等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒；當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)某一軸的矩等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。即（3）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程：

或剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，可求解動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題。4.動(dòng)能定理（1）力的功常力功：變力功：重力功：

；彈性力功：

，力矩功：約束力功：

，即約束力不做功或約束力做功之

和等于零的約束稱(chēng)為理想約束。內(nèi)力功：一般情況下，內(nèi)力功不等于零；但當(dāng)物體為剛體時(shí)，內(nèi)力

功等于零。（2）質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能：

，它是標(biāo)量，恒為正值，單位為焦耳(J)，1J=1N·m。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能：

平移剛體的動(dòng)能：

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能：剛體的動(dòng)能：

剛體平面運(yùn)的動(dòng)能：

或者

其中，點(diǎn)P為速度瞬心

（3）動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式：（4）勢(shì)力場(chǎng)和勢(shì)能勢(shì)力場(chǎng)：力所做的功與物體的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，只與運(yùn)動(dòng)的始末位置有關(guān)。勢(shì)力：勢(shì)力場(chǎng)中的力稱(chēng)為勢(shì)力，或稱(chēng)保守力。例如重力和彈性力，萬(wàn)有引力都是勢(shì)力或保守力。

勢(shì)能：在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)從位置運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)勢(shì)力所做的功。即其中，點(diǎn)稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)。重力勢(shì)能：

，若取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，重力勢(shì)能:

。彈性力勢(shì)能：

，若取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，即

，彈性力勢(shì)能: 。（5）機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力作用下機(jī)械能保持不變。

6.6習(xí)題

6-1質(zhì)量m=2kg的重物M掛在長(zhǎng)l=1m的繩子下端，已知重物受到水平?jīng)_擊力而獲得的速度為=5m/s，如圖6.36所示，試求該瞬時(shí)繩子的拉力。6-2小球重為P，用兩個(gè)細(xì)繩吊起，如圖6.37所示，已知細(xì)繩與鉛垂線的夾角為，現(xiàn)突然剪斷其中一根繩子，試求此時(shí)另一根繩子的拉力。

習(xí)題6-1圖習(xí)題6-2圖vMlBCAP6-3如圖所示，A、B兩物體的質(zhì)量分別為、，兩者用一根繩子連接，此繩跨過(guò)一滑輪，滑輪的半徑為，若初始時(shí)，兩物體的高度差為h，且＞，不計(jì)滑輪的質(zhì)量，試求兩個(gè)物體到達(dá)相同的高度時(shí)所需要的時(shí)間。6-4半徑為R的偏心凸輪，繞軸O以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)導(dǎo)板沿鉛直軌道運(yùn)動(dòng)，如圖所示。導(dǎo)板頂部放一質(zhì)量為m的物塊A，設(shè)偏心距為OC=e，初始時(shí)，OC沿水平線，試求物塊對(duì)導(dǎo)板的最大壓力以及使物塊不離開(kāi)導(dǎo)板的角速度的最大值。

習(xí)題6-3圖習(xí)題6-4圖RAhBrORCωA6-5如圖所示，質(zhì)量為m的小球M，用兩根長(zhǎng)為l的桿連接，此機(jī)構(gòu)以等角速度繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，如AB=，桿的兩端均為鉸接，且不計(jì)桿的質(zhì)量，試求AM、BM桿所受的力。6-6套管A的質(zhì)量m，由繞過(guò)定滑輪B的繩索牽引而沿導(dǎo)軌上升，滑輪中心到導(dǎo)軌的距離為l，如圖所示。設(shè)繩索在電機(jī)的帶動(dòng)下以速度向下運(yùn)動(dòng)，忽略滑輪的大小及各處的摩擦，試求繩索的拉力與距離x的關(guān)系。

習(xí)題6-5圖習(xí)題6-6圖

MllBωAOBAxlvo6-7 動(dòng)力牽引小船，如圖所示。河岸高h(yuǎn)=2m，小船質(zhì)量m=80kg，設(shè)水平牽引力大小和方向不變，F(xiàn)=1500N，初始時(shí)小船位于點(diǎn)B，

，

，初速度

，不計(jì)水的阻力。試求小船被拉過(guò)點(diǎn)時(shí)的速度。6-8如圖所示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)O帶有電荷e，質(zhì)點(diǎn)在均勻的電場(chǎng)中

運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度

，其中A、K均為常數(shù)。如已知質(zhì)點(diǎn)在

電場(chǎng)中所受到的力為

，其方向與E相同。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的初速度為

，與x軸的夾角為，且坐標(biāo)原點(diǎn)取在初始位置，不計(jì)質(zhì)點(diǎn)的重力，試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

習(xí)題6-7圖習(xí)題6-8圖bB′c0BhAFFOyEvOθx

6-9如圖所示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，受指向O的力

的作用，力與質(zhì)點(diǎn)到點(diǎn)O的距離成正比。初始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)

，

，速度的分量為

，

，試求質(zhì)點(diǎn)的軌跡。6-10物體自高度h處以速度為水平拋出，如圖所示?？諝庾枇σ暈榕c速度的一次方成正比，即

，K為常數(shù)，m為物體的質(zhì)量，試求物體的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程。

習(xí)題6-9圖習(xí)題6-10圖yxOrmx0Fv0mvhOxy6-11有一木塊質(zhì)量為2.3kg，放在光滑的水平面上。一質(zhì)量為0.014kg的子彈沿水平方向射入后，木塊以速度3m/s前進(jìn)，試求子彈射入前的速度。6-12跳傘者質(zhì)量為60kg，從停留在高空中的直升飛機(jī)中跳出，落下100m后，將傘打開(kāi)。設(shè)開(kāi)傘前的空氣阻力忽略不計(jì)，傘重不計(jì)，開(kāi)傘后所受的阻力不變，經(jīng)5s后跳傘者的速度減為4.3m/s，試求阻力的大小。6-13電動(dòng)機(jī)的質(zhì)量為M，放在光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子長(zhǎng)為2，質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子的另一端固結(jié)一質(zhì)量為的小球，已知電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：①電動(dòng)機(jī)定子的水平運(yùn)動(dòng)方程；②若將電動(dòng)機(jī)固定在基礎(chǔ)上，作用在螺栓上的水平和豎直約束力的最大值。6-14如圖所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，設(shè)曲柄OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B沿水平方向滑動(dòng)。已知OA=AB=l，OA及AB為均質(zhì)桿，其質(zhì)量均為，滑塊B的質(zhì)量為。試求：①系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程；②質(zhì)心的軌跡；③系統(tǒng)的動(dòng)量。

習(xí)題6-13圖習(xí)題6-14圖OyxBAφCωvC6-15如圖所示質(zhì)量為的小車(chē)A，懸掛一質(zhì)量為的單擺B，單擺的擺長(zhǎng)為l，按規(guī)律

擺動(dòng)，其中k為常數(shù)。不計(jì)水平面的摩擦和擺桿的質(zhì)量，試求小車(chē)的運(yùn)動(dòng)方程。6-16如圖所示的平臺(tái)車(chē)，車(chē)重為 kN，沿水平軌道運(yùn)動(dòng)。平臺(tái)車(chē)上站一個(gè)人，重 N。車(chē)與人以相同的速度向右方運(yùn)動(dòng)，若人以相對(duì)于平臺(tái)車(chē)的相對(duì)速度 m/s向左跳出，試求平臺(tái)車(chē)的速度增加了多少？

習(xí)題6-15圖習(xí)題6-16圖φBAQPv