彈性力學優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析

彈性力學優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析1彈性力學優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析1.1引言1.1.1模擬退火算法簡介模擬退火（SimulatedAnnealing，簡稱SA）算法是一種啟發(fā)式全局優(yōu)化方法，靈感來源于固體物理學中的退火過程。在退火過程中，固體材料被加熱到高溫，然后緩慢冷卻，以達到能量最低的狀態(tài)。類似地，SA算法通過在搜索過程中引入隨機性，允許在一定條件下接受更差的解，從而避免局部最優(yōu)，尋找全局最優(yōu)解。SA算法的核心在于其溫度控制策略和接受概率函數(shù)。溫度控制策略決定了搜索過程的“冷卻”速度，而接受概率函數(shù)則根據(jù)當前解與新解的優(yōu)劣以及當前的溫度，決定是否接受新解。隨著溫度的逐漸降低，算法的搜索范圍逐漸縮小，最終收斂到一個解。1.1.2彈性力學優(yōu)化中的應用在彈性力學優(yōu)化中，SA算法可以用于解決結構優(yōu)化問題，如尋找最優(yōu)的結構設計參數(shù)，以最小化結構的重量或成本，同時滿足強度和剛度的要求。由于這類問題往往具有多個局部最優(yōu)解，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法可能陷入局部最優(yōu)，而SA算法的隨機搜索特性使其更有可能找到全局最優(yōu)解。1.2模擬退火算法原理模擬退火算法的基本步驟如下：初始化：選擇一個初始解和初始溫度。迭代搜索：在當前溫度下，通過隨機擾動產(chǎn)生新解，并根據(jù)接受概率函數(shù)決定是否接受新解。溫度更新：根據(jù)溫度控制策略降低溫度。收斂判斷：當溫度降低到一定程度或達到預設的迭代次數(shù)時，算法停止。1.2.1接受概率函數(shù)接受概率函數(shù)通常采用Metropolis準則，其公式為：P其中，ΔE是新解與當前解的能量差（在優(yōu)化問題中，通常為目標函數(shù)值的差），T是當前的溫度。如果新解優(yōu)于當前解（ΔE<0），則新解被無條件接受；如果新解劣于當前解（1.2.2溫度控制策略溫度控制策略決定了算法的冷卻速度，常見的策略有：線性冷卻：Tk+1指數(shù)冷卻：Tk+11.3示例：使用模擬退火算法進行彈性力學結構優(yōu)化假設我們有一個簡單的彈性力學優(yōu)化問題，目標是最小化一個由多個彈簧組成的系統(tǒng)的總能量，同時滿足系統(tǒng)的剛度要求。我們可以通過SA算法來尋找最優(yōu)的彈簧參數(shù)。1.3.1數(shù)據(jù)樣例假設系統(tǒng)由3個彈簧組成，每個彈簧的剛度ki是優(yōu)化參數(shù)，系統(tǒng)的總能量EE其中，xi1.3.2代碼示例importnumpyasnp

importrandom

#定義目標函數(shù)

defenergy(k):

x=np.array([1,2,3])#彈簧位移

E=0.5*np.sum(k*x**2)#總能量

returnE

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_k,initial_temp,cooling_rate,iterations):

current_k=initial_k

current_energy=energy(current_k)

best_k=current_k

best_energy=current_energy

foriinrange(iterations):

#產(chǎn)生新解

new_k=current_k+np.random.normal(0,1,size=3)

new_energy=energy(new_k)

#計算接受概率

delta_energy=new_energy-current_energy

ifdelta_energy<0orrandom.random()<np.exp(-delta_energy/initial_temp):

current_k=new_k

current_energy=new_energy

#更新最佳解

ifcurrent_energy<best_energy:

best_k=current_k

best_energy=current_energy

#更新溫度

initial_temp*=cooling_rate

returnbest_k,best_energy

#參數(shù)設置

initial_k=np.array([10,20,30])#初始彈簧剛度

initial_temp=1000#初始溫度

cooling_rate=0.99#冷卻因子

iterations=1000#迭代次數(shù)

#運行模擬退火算法

best_k,best_energy=simulated_annealing(initial_k,initial_temp,cooling_rate,iterations)

print("最優(yōu)彈簧剛度:",best_k)

print("最優(yōu)系統(tǒng)能量:",best_energy)1.3.3代碼講解在上述代碼中，我們首先定義了目標函數(shù)energy，它計算了給定彈簧剛度參數(shù)下的系統(tǒng)總能量。然后，我們實現(xiàn)了模擬退火算法simulated_annealing，該算法接受初始彈簧剛度、初始溫度、冷卻因子和迭代次數(shù)作為輸入，通過迭代搜索來尋找最優(yōu)的彈簧剛度參數(shù)。在每次迭代中，算法通過隨機擾動產(chǎn)生新解，并根據(jù)Metropolis準則計算接受概率。如果新解被接受，算法更新當前解和當前能量；如果新解優(yōu)于當前的最佳解，算法更新最佳解和最佳能量。最后，算法根據(jù)冷卻因子更新溫度，直到達到預設的迭代次數(shù)。通過運行這段代碼，我們可以觀察到模擬退火算法如何在多次迭代中逐漸找到最優(yōu)的彈簧剛度參數(shù)，從而最小化系統(tǒng)的總能量。2模擬退火算法原理2.1熱力學與統(tǒng)計力學基礎在理解模擬退火算法之前，我們首先需要了解一些熱力學和統(tǒng)計力學的基本概念。熱力學是研究能量轉換和物質狀態(tài)變化的科學，而統(tǒng)計力學則是從微觀粒子的統(tǒng)計行為出發(fā)，解釋宏觀系統(tǒng)的熱力學性質。模擬退火算法的靈感來源于固體物理學中的退火過程，即通過緩慢冷卻材料，使其內部結構達到能量最低的狀態(tài)，從而提高材料的性能。在統(tǒng)計力學中，一個系統(tǒng)的狀態(tài)可以用能量函數(shù)來描述，而系統(tǒng)在給定溫度下的狀態(tài)分布遵循玻爾茲曼分布。玻爾茲曼分布給出系統(tǒng)處于某一能量狀態(tài)的概率與該狀態(tài)的能量和系統(tǒng)溫度的關系。在高溫下，系統(tǒng)可能處于高能量狀態(tài)，而在低溫下，系統(tǒng)更傾向于處于低能量狀態(tài)。模擬退火算法利用這一原理，通過控制“溫度”參數(shù)，使優(yōu)化問題的解逐漸趨向于全局最優(yōu)解。2.1.1示例：玻爾茲曼分布假設我們有一個能量函數(shù)Ex，其中x是系統(tǒng)狀態(tài)的變量。在溫度T下，系統(tǒng)處于狀態(tài)x的概率PxP其中，k是玻爾茲曼常數(shù)，Z是配分函數(shù)，用于歸一化概率分布。2.2Metropolis準則詳解Metropolis準則是一種用于決定系統(tǒng)狀態(tài)更新的策略，它確保了系統(tǒng)狀態(tài)的轉換遵循玻爾茲曼分布。在模擬退火算法中，當前狀態(tài)通過隨機擾動產(chǎn)生一個候選狀態(tài)，然后根據(jù)Metropolis準則決定是否接受這個候選狀態(tài)作為新的當前狀態(tài)。Metropolis準則的接受概率公式如下：P其中，ΔE=Enew?2.2.1示例：Metropolis準則的實現(xiàn)下面是一個簡單的Python代碼示例，展示了如何根據(jù)Metropolis準則決定是否接受一個新的狀態(tài)：importmath

importrandom

defmetropolis_criterion(delta_E,T):

"""

根據(jù)Metropolis準則決定是否接受新的狀態(tài)。

參數(shù):

delta_E:新狀態(tài)與當前狀態(tài)之間的能量差。

T:當前的溫度參數(shù)。

返回:

True如果接受新狀態(tài)，否則返回False。

"""

ifdelta_E<0:

#如果新狀態(tài)的能量更低，總是接受

returnTrue

else:

#如果新狀態(tài)的能量更高，以一定的概率接受

probability=math.exp(-delta_E/T)

returnrandom.random()<probability2.3溫度參數(shù)的選擇與冷卻策略在模擬退火算法中，“溫度”參數(shù)的選擇和冷卻策略對于算法的收斂性和效率至關重要。初始溫度的選擇應該足夠高，以允許算法在解空間中進行廣泛的探索。隨著迭代的進行，溫度逐漸降低，算法的探索范圍縮小，最終收斂到全局最優(yōu)解或其附近。冷卻策略是指溫度參數(shù)隨迭代次數(shù)變化的方式。常見的冷卻策略包括線性冷卻、指數(shù)冷卻和對數(shù)冷卻。不同的冷卻策略會影響算法的收斂速度和解的質量。2.3.1示例：指數(shù)冷卻策略指數(shù)冷卻策略是一種常用的冷卻策略，它通過一個冷卻因子α（0<α<1）來更新溫度參數(shù)。在每次迭代后，溫度參數(shù)T下面是一個使用指數(shù)冷卻策略的Python代碼示例：defexponential_cooling(T,alpha):

"""

使用指數(shù)冷卻策略更新溫度參數(shù)。

參數(shù):

T:當前的溫度參數(shù)。

alpha:冷卻因子，0<alpha<1。

返回:

更新后的溫度參數(shù)。

"""

returnalpha*T2.3.2示例：模擬退火算法的完整實現(xiàn)下面是一個使用上述Metropolis準則和指數(shù)冷卻策略的模擬退火算法的Python實現(xiàn)示例：importmath

importrandom

defenergy_function(x):

"""

定義優(yōu)化問題的能量函數(shù)。

這里使用一個簡單的二次函數(shù)作為示例。

"""

returnx**2

defrandom_neighbor(x):

"""

生成當前狀態(tài)的隨機鄰近狀態(tài)。

這里通過在當前狀態(tài)上添加一個隨機擾動來實現(xiàn)。

"""

returnx+random.uniform(-1,1)

defsimulated_annealing(initial_state,initial_temperature,cooling_factor,stopping_temperature):

"""

模擬退火算法的實現(xiàn)。

參數(shù):

initial_state:初始狀態(tài)。

initial_temperature:初始溫度。

cooling_factor:冷卻因子，0<alpha<1。

stopping_temperature:停止溫度，當溫度低于此值時，算法停止。

返回:

最終狀態(tài)和對應的能量值。

"""

current_state=initial_state

current_energy=energy_function(current_state)

temperature=initial_temperature

whiletemperature>stopping_temperature:

#生成候選狀態(tài)

candidate_state=random_neighbor(current_state)

candidate_energy=energy_function(candidate_state)

#計算能量差

delta_E=candidate_energy-current_energy

#根據(jù)Metropolis準則決定是否接受候選狀態(tài)

ifmetropolis_criterion(delta_E,temperature):

current_state=candidate_state

current_energy=candidate_energy

#更新溫度

temperature=exponential_cooling(temperature,cooling_factor)

returncurrent_state,current_energy

#定義參數(shù)

initial_state=10

initial_temperature=100

cooling_factor=0.99

stopping_temperature=0.001

#運行模擬退火算法

final_state,final_energy=simulated_annealing(initial_state,initial_temperature,cooling_factor,stopping_temperature)

print(f"最終狀態(tài):{final_state},最終能量:{final_energy}")在這個示例中，我們使用了一個簡單的二次函數(shù)作為能量函數(shù)，通過隨機擾動生成候選狀態(tài)，并使用Metropolis準則和指數(shù)冷卻策略來控制狀態(tài)的更新和溫度的降低。最終，算法將收斂到能量函數(shù)的最小值附近，即全局最優(yōu)解。3彈性力學優(yōu)化算法：模擬退火(SA)實現(xiàn)步驟詳解3.1初始化參數(shù)設置在開始模擬退火算法之前，我們需要初始化一系列參數(shù)，這些參數(shù)對于算法的性能至關重要。以下是一些關鍵參數(shù)的設置：初始溫度T0溫度衰減系數(shù)α：控制溫度下降的速度，α應該小于1但接近1，例如0.99。迭代次數(shù)N：在每個溫度下進行的迭代次數(shù)，確保算法在不同溫度下充分探索解空間。終止溫度Te初始解x0能量函數(shù)Ex3.1.1示例代碼#初始化參數(shù)

T0=10000#初始溫度

alpha=0.99#溫度衰減系數(shù)

N=100#每個溫度下的迭代次數(shù)

T_end=1#終止溫度

x0=[10,20,30]#初始解，例如彈性力學中的材料參數(shù)

E=lambdax:x[0]**2+x[1]**2+x[2]**2#示例能量函數(shù)，實際應用中應替換為具體問題的能量計算

#設置當前溫度和初始解

T=T0

x=x03.2狀態(tài)轉移與能量計算在模擬退火算法中，狀態(tài)轉移是指從當前解轉移到一個新的解。這個過程通常通過在當前解的基礎上進行微小的隨機擾動來實現(xiàn)。然后，我們計算新解和當前解的能量差，以決定是否接受新解。3.2.1示例代碼importrandom

defstate_transfer(x):

#生成一個隨機擾動

delta=[random.uniform(-1,1)for_inrange(len(x))]

#應用擾動生成新解

x_new=[x_i+delta_iforx_i,delta_iinzip(x,delta)]

returnx_new

#計算能量差

defenergy_difference(x,x_new,E):

returnE(x_new)-E(x)

#在當前溫度下進行迭代

for_inrange(N):

x_new=state_transfer(x)

delta_E=energy_difference(x,x_new,E)

#根據(jù)能量差和當前溫度決定是否接受新解

ifdelta_E<0orrandom.uniform(0,1)<math.exp(-delta_E/T):

x=x_new

#降低溫度

T=T*alpha3.3接受概率計算接受概率是模擬退火算法中的一個關鍵概念，它決定了在能量增加的情況下，算法是否仍然接受新解。接受概率由以下公式計算：P其中，ΔE是新解和當前解的能量差，T3.3.1示例代碼importmath

defacceptance_probability(delta_E,T):

#計算接受概率

returnmath.exp(-delta_E/T)

#在每個溫度下進行迭代

whileT>T_end:

for_inrange(N):

x_new=state_transfer(x)

delta_E=energy_difference(x,x_new,E)

ifdelta_E<0orrandom.uniform(0,1)<acceptance_probability(delta_E,T):

x=x_new

#降低溫度

T=T*alpha通過以上步驟，模擬退火算法能夠在解空間中進行有效的搜索，最終找到全局最優(yōu)解或接近全局最優(yōu)的解。在彈性力學優(yōu)化問題中，這些步驟需要根據(jù)具體問題的能量函數(shù)和約束條件進行調整。4彈性力學優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析4.1收斂性理論基礎在優(yōu)化算法中，收斂性是指算法在迭代過程中逐漸接近最優(yōu)解的特性。對于模擬退火（SimulatedAnnealing,SA）算法而言，其收斂性理論基礎主要來源于統(tǒng)計力學中的Metropolis準則和Markov鏈理論。4.1.1Metropolis準則Metropolis準則來源于統(tǒng)計物理學，用于描述粒子在不同能量狀態(tài)之間的轉移概率。在SA算法中，這一準則被用來決定是否接受一個比當前解更差的解。具體而言，如果新解的適應度值優(yōu)于當前解，則新解被接受；如果新解的適應度值較差，則根據(jù)以下概率接受新解：P其中，ΔE是新解與當前解之間的適應度差值，T4.1.2Markov鏈理論SA算法的迭代過程可以被視為一個Markov過程，其中每個狀態(tài)代表一個可能的解，狀態(tài)之間的轉移概率由Metropolis準則決定。根據(jù)Markov鏈理論，如果滿足一定的條件（如詳細平衡條件和遍歷性），則算法的解分布將收斂到一個穩(wěn)定的分布，即平衡分布。在SA算法中，這個平衡分布通常接近于全局最優(yōu)解的分布。4.2SA算法的收斂條件SA算法的收斂性依賴于以下條件：初始溫度足夠高：初始溫度應足夠高，以確保算法在開始時能夠接受大部分的解，包括那些比當前解更差的解。這有助于算法在搜索空間中廣泛探索，避免過早陷入局部最優(yōu)。溫度逐漸降低：溫度應按照一定的冷卻策略逐漸降低，以減少接受較差解的概率。冷卻策略的選擇對算法的收斂速度和效果有重要影響。遍歷性：算法應能夠在搜索空間中遍歷所有可能的解，即從任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過足夠多的迭代，能夠以非零概率到達任何其他狀態(tài)。詳細平衡條件：在每個溫度下，算法應滿足詳細平衡條件，即對于任意兩個狀態(tài)i和j，從i轉移到j的概率與從j轉移到i的概率的比值，應等于兩個狀態(tài)的平衡概率的比值。4.3影響收斂性的因素分析SA算法的收斂性受到多種因素的影響，包括：溫度的初始值和冷卻策略：初始溫度的選擇和冷卻策略的設定直接影響算法的探索能力和收斂速度。初始溫度過高可能導致算法在搜索空間中無目的的游蕩，而過低則可能使算法過早收斂于局部最優(yōu)。冷卻策略應確保溫度逐漸降低，但降低速度不宜過快，以保持算法的探索能力。解的鄰域結構：解的鄰域結構定義了從當前解到下一個解的轉移方式。鄰域結構的選擇應確保算法能夠遍歷整個搜索空間，同時保持計算效率。迭代次數(shù)：在每個溫度下，算法應進行足夠多的迭代，以確保解分布接近平衡分布。迭代次數(shù)過少可能導致算法未能充分探索當前溫度下的解空間，從而影響收斂性。隨機性：SA算法的隨機性是其能夠跳出局部最優(yōu)的關鍵。然而，隨機性過強可能導致算法在搜索空間中無目的的游蕩，而過弱則可能使算法陷入局部最優(yōu)。因此，應適當調整算法的隨機性，以平衡探索和開發(fā)。4.3.1代碼示例：模擬退火算法實現(xiàn)importnumpyasnp

importrandom

importmath

#定義目標函數(shù)

defobjective_function(x):

returnx**2

#定義鄰域結構

defneighborhood(x):

returnx+random.uniform(-1,1)

#定義接受準則

defacceptance_probability(old_cost,new_cost,temperature):

ifnew_cost<old_cost:

return1.0

else:

returnmath.exp(-(new_cost-old_cost)/temperature)

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_solution,initial_temperature,cooling_rate,max_iterations):

current_solution=initial_solution

best_solution=current_solution

temperature=initial_temperature

foriinrange(max_iterations):

#生成新解

new_solution=neighborhood(current_solution)

#計算新解和當前解的目標函數(shù)值

old_cost=objective_function(current_solution)

new_cost=objective_function(new_solution)

#計算接受概率

ap=acceptance_probability(old_cost,new_cost,temperature)

#根據(jù)接受概率決定是否接受新解

ifrandom.random()<ap:

current_solution=new_solution

#更新最優(yōu)解

ifnew_cost<objective_function(best_solution):

best_solution=new_solution

#溫度更新

temperature*=cooling_rate

returnbest_solution

#參數(shù)設置

initial_solution=10.0

initial_temperature=100.0

cooling_rate=0.99

max_iterations=1000

#運行算法

best_solution=simulated_annealing(initial_solution,initial_temperature,cooling_rate,max_iterations)

print("最優(yōu)解：",best_solution)4.3.2代碼解釋上述代碼實現(xiàn)了一個簡單的模擬退火算法，用于尋找函數(shù)fx通過調整初始溫度、冷卻策略、迭代次數(shù)和鄰域結構，可以優(yōu)化算法的收斂性，使其更有效地找到全局最優(yōu)解。5彈性力學問題建模在彈性力學中，結構優(yōu)化是一個關鍵領域，旨在尋找結構設計的最優(yōu)解，以滿足特定的性能指標，如最小化結構重量、成本或應力，同時確保結構的穩(wěn)定性和安全性。模擬退火（SA）算法作為一種全局優(yōu)化方法，被廣泛應用于解決這類問題，因為它能夠有效地避免局部最優(yōu)解，尋找全局最優(yōu)解。5.1建模步驟定義結構和材料屬性：首先，需要確定結構的幾何形狀、材料屬性（如彈性模量、泊松比）以及邊界條件。確定優(yōu)化目標：明確優(yōu)化的目標，例如最小化結構的重量或成本，同時確保結構的應力不超過材料的許用應力。建立有限元模型：使用有限元分析（FEA）軟件或自定義代碼，將結構離散化為多個小的單元，每個單元的力學行為可以通過彈性力學方程來描述。定義設計變量：設計變量可以是結構的幾何參數(shù)（如厚度、截面尺寸）或材料屬性（如密度、彈性模量）。設置約束條件：根據(jù)工程要求，設置結構的應力、位移、頻率等約束條件。建立目標函數(shù)和約束函數(shù)：將優(yōu)化目標和約束條件轉化為數(shù)學表達式，作為SA算法的輸入。5.2示例：橋梁結構優(yōu)化假設我們正在優(yōu)化一座橋梁的橫梁厚度，以最小化其重量，同時確保在最大載荷下的應力不超過材料的許用應力。#橋梁結構優(yōu)化示例

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義目標函數(shù)：橋梁重量

defweight(thickness):

#假設橋梁長度為100m，材料密度為7850kg/m^3

return100*thickness*7850

#定義約束函數(shù)：橋梁應力

defstress(thickness):

#假設最大載荷為1000kN，橫梁截面為矩形

#應力計算公式簡化為：應力=載荷/(橫梁面積*材料許用應力)

#橫梁面積=厚度*寬度，假設寬度為1m

#材料許用應力為200MPa

return1000/(thickness*1*200e6)

#定義模擬退火算法的接受準則

defacceptance_criterion(energy_old,energy_new,temperature):

ifenergy_new<energy_old:

returnTrue

else:

returnnp.exp((energy_old-energy_new)/temperature)>np.random.rand()

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_thickness,cooling_rate,num_iterations):

current_thickness=initial_thickness

current_energy=weight(current_thickness)

temperature=1.0

foriinrange(num_iterations):

#生成新的厚度

new_thickness=current_thickness+np.random.normal(0,0.1)

new_energy=weight(new_thickness)

#檢查約束條件

ifstress(new_thickness)<=1:

#應用接受準則

ifacceptance_criterion(current_energy,new_energy,temperature):

current_thickness=new_thickness

current_energy=new_energy

#冷卻

temperature*=cooling_rate

returncurrent_thickness

#初始厚度為0.5m，冷卻率為0.99，迭代次數(shù)為1000

initial_thickness=0.5

cooling_rate=0.99

num_iterations=1000

optimal_thickness=simulated_annealing(initial_thickness,cooling_rate,num_iterations)

print(f"Optimalthickness:{optimal_thickness}m")在這個例子中，我們定義了橋梁的重量和應力作為目標函數(shù)和約束函數(shù)。通過模擬退火算法，我們尋找滿足應力約束下的最小重量橫梁厚度。6SA算法在彈性力學優(yōu)化中的應用實例模擬退火算法在彈性力學優(yōu)化中的應用，通常涉及復雜的結構和材料，需要通過迭代過程來尋找最優(yōu)解。下面通過一個具體的例子來說明SA算法如何應用于彈性力學優(yōu)化問題。6.1優(yōu)化問題描述考慮一個由多個彈簧組成的系統(tǒng)，目標是最小化系統(tǒng)的總能量，同時確保每個彈簧的應力不超過其材料的許用應力。6.1.1目標函數(shù)系統(tǒng)的總能量可以通過所有彈簧的能量之和來表示。6.1.2約束函數(shù)每個彈簧的應力不能超過其材料的許用應力。6.1.3設計變量設計變量可以是每個彈簧的截面面積。6.2SA算法實現(xiàn)#彈簧系統(tǒng)優(yōu)化示例

importnumpyasnp

#定義目標函數(shù)：系統(tǒng)總能量

deftotal_energy(areas):

#假設彈簧的長度為1m，彈性系數(shù)為100N/m

#彈簧能量公式簡化為：能量=彈性系數(shù)*長度/截面面積

#系統(tǒng)總能量為所有彈簧能量之和

returnsum(100*1/areaforareainareas)

#定義約束函數(shù)：彈簧應力

defspring_stress(areas):

#假設最大載荷為1000N，材料許用應力為200MPa

#彈簧應力計算公式簡化為：應力=載荷/(截面面積*材料許用應力)

returnall(1000/(area*200e6)<=1forareainareas)

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_areas,cooling_rate,num_iterations):

current_areas=initial_areas

current_energy=total_energy(current_areas)

temperature=1.0

foriinrange(num_iterations):

#生成新的截面面積

new_areas=current_areas+np.random.normal(0,0.1,size=len(current_areas))

new_energy=total_energy(new_areas)

#檢查約束條件

ifspring_stress(new_areas):

#應用接受準則

ifacceptance_criterion(current_energy,new_energy,temperature):

current_areas=new_areas

current_energy=new_energy

#冷卻

temperature*=cooling_rate

returncurrent_areas

#初始截面面積為[0.5,0.6,0.7]m^2，冷卻率為0.99，迭代次數(shù)為1000

initial_areas=np.array([0.5,0.6,0.7])

cooling_rate=0.99

num_iterations=1000

optimal_areas=simulated_annealing(initial_areas,cooling_rate,num_iterations)

print(f"Optimalareas:{optimal_areas}m^2")在這個例子