云南省昆明市尋甸縣民族中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理含解析

PAGEPAGE12云南省昆明市尋甸縣民族中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理（含解析）（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）.1.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由函數(shù)在某一點(diǎn)處的定義可知，.考點(diǎn)：函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義.2.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是（）A.5米/秒 B.6米/秒 C.7米/秒 D.8米/秒【答案】A【解析】【分析】由物體的運(yùn)動(dòng)方程為，得，代入，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，物體的運(yùn)動(dòng)方程為，則，所以物體在3秒末的瞬時(shí)速度是米/秒，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及瞬時(shí)速度的計(jì)算，其中解答中熟識(shí)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式和瞬時(shí)速度的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．3.函數(shù)y＝x3＋x的遞增區(qū)間是()A.(0，＋∞) B.(－∞，1)C.(－∞，＋∞) D.(1，＋∞)【答案】C【解析】y′＝3x2＋1>0對(duì)于任何實(shí)數(shù)都恒成立．4.設(shè)函數(shù)f(x)＝，若f′(－1)＝4，則a的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題，求導(dǎo)，將x=-1代入可得答案.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閒′(－1)＝4，即，解得故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.5.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為A.B.C.D.【答案】A【解析】與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A6.如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：若函數(shù)單調(diào)遞減，則，由圖象可知，時(shí)，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的推斷，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.設(shè)，當(dāng)時(shí)，（）A B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由題可知，，故當(dāng)時(shí)，，于是有；考點(diǎn)：函數(shù)數(shù)列表示形式8.假如10N的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置6A.0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.18J【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)已知條件求出彈性系數(shù)，再依據(jù)定積分可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)彈力為，彈簧離開平衡位置的距離為，彈性系數(shù)為，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以，所以在彈性限度內(nèi)將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置6cm.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用定積分求變力所做的功，考查了微積分基本定理，要留意距離的單位是米，屬于基礎(chǔ)題.9.有一段“三段論”推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，假如，那么是函數(shù)的極值點(diǎn)．因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)．以上推理中（）A.小前提錯(cuò)誤 B.大前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確【答案】B【解析】【分析】對(duì)大前提，小前提，推理形式與結(jié)論進(jìn)行推斷．【詳解】大前提：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，假如，那么是函數(shù)極值點(diǎn)，錯(cuò)誤，極值點(diǎn)的定義中除要求，還須要在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反．雖然小前提正確，推理形式正確，但結(jié)論是錯(cuò)誤的，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三段論推理，三段論推理的結(jié)論是正確的前提條件是大前提、小前提、推理形式都正確．10.已知直線是的切線，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：,設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,代入,解得,所以.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與切線方程.11.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)向量和,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則=（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的模長(zhǎng)公式和坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解，得到答案．【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)向量和，所以向量和，所以，則，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的模長(zhǎng)計(jì)算和坐標(biāo)運(yùn)算，著重考查了推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．12.若點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】試題分析：由題可知，因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，故，因?yàn)閮A斜角的范圍是，解得或；考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、填空題（每小題5分，共20分）13.________【答案】【解析】【分析】利用微積分基本定理即可求解.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.14.已知f(x)=·sinx，則=__________【答案】sin1+cos1；【解析】分析】依據(jù)f(x)=·sinx，利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則得到，然后將1代入求解即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=·sinx，所以，所以故答案為：sin1+cos1；【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知為一次函數(shù)，且，則=_______.【答案】【解析】設(shè)，則.即，所以..16.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是________.【答案】或【解析】【分析】對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類探討，利用導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性，即可簡(jiǎn)單求得參數(shù)范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，其在區(qū)間單調(diào)遞減，明顯滿意題意；當(dāng)，，其恒成立.令，故可得，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間單調(diào)遞增，明顯不滿意題意；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.要滿意題意，只需，即，整理得，解得或，又，故可得.綜上所述：或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍，屬綜合中檔題.三、解答題（每小題12分，共70分）17.，，求復(fù)數(shù)【答案】或【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則，即，由得或，.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.18.設(shè)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最值．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)-6,.【解析】試題分析：(1)依據(jù)定積分的運(yùn)算法則可得，求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(2)依據(jù)單調(diào)性求出極值，比較極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小即可得到函數(shù)在上的最值.試題解析：依題意得F(x)=(t2+2t-8)dt==x3+x2-8x,定義域是(0,+∞).(1)F′(x)=x2+2x-8,令F′(x)>0,得x>2或x<-4,令F′(x)<0,得-4<x<2,由于定義域是(0,+∞),所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).(2)令F′(x)=0,得x=2(x=-4舍去),由于F(1)=-,F(2)=-,F(3)=-6,所以F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=-6,最小值是F(2)=-.19.設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），探討F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x－2alnx＋1.【答案】（Ⅰ）在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得微小值．（Ⅱ）當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x－2alnx＋1.【解析】解：依據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：

2

0

微小值

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得微小值．（Ⅱ）證明：由知，的微小值．于是由上表知，對(duì)一切，恒有．從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時(shí)，，即．故當(dāng)時(shí)，恒有．20.某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿；房間單價(jià)增加10元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑，假如游客居住房間，賓館每間每天需花費(fèi)20元的各種維護(hù)費(fèi)用．房間定價(jià)多少時(shí)，賓館利潤(rùn)最大？【答案】每天的定價(jià)為350元時(shí),賓館利潤(rùn)最大；【解析】試題分析：由題可知，設(shè)出每天房?jī)r(jià)的定價(jià)，從而利用租房利潤(rùn)減去維護(hù)費(fèi)，可得利潤(rùn)函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性，由單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為350元時(shí),賓館利潤(rùn)最大；試題解析：設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)為元，那么賓館利潤(rùn)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此,時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).所以,當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為350元時(shí),賓館利潤(rùn)最大考點(diǎn)：運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題21.證明：【答案】證明見解析；【解析】【分析】利用分析法即可證明.【詳解】證明：要證，只需證即證即證即證，即該式明顯成立，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了分析法證明不等式，需駕