蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.15構(gòu)造三角形全等方法-截長(zhǎng)補(bǔ)短和倍長(zhǎng)中線(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題1.15構(gòu)造三角形全等方法——截長(zhǎng)補(bǔ)短和倍長(zhǎng)中線（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】當(dāng)不能直接證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使它們?cè)趦蓚€(gè)合適的三角形之中，再證這兩個(gè)三角形全等，本專題介紹截長(zhǎng)補(bǔ)短法和倍長(zhǎng)中線法.【知識(shí)點(diǎn)一】截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)法：在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證明剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段至與另一條已知的較短線段的長(zhǎng)度相等，然后證明新線段與最長(zhǎng)的已知線段的關(guān)系?！局R(shí)點(diǎn)二】倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線：是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"SAS”證明）第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

【變式1】（20-21八年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式2】．如圖，已知在中，平分，，則.（用含的代數(shù)式表示）.【題型2】倍長(zhǎng)中線【例2】（23-24八年級(jí)上·河北廊坊·期末）下面是多媒體上的一道習(xí)題：如圖是的中線，，，求的取值范圍．

請(qǐng)將下面的解題過程補(bǔ)充完整解：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．

∵是的中線，∴__________，在和中，∴（__________填判定定理用字母表示）∴_________，在中，根據(jù)“三角形三邊關(guān)系可知：__________________又∵∴__________________【變式1】（2024·山東臨沂·一模）如圖，點(diǎn)是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24八年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，為邊的中線，為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為．.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例】（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：（1）由已知和作圖能證得，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；（2）如圖2，是的中線，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，在中，是的三等分點(diǎn)．求證：．【例2】（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期中）綜合與實(shí)踐問題提出如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接，……，請(qǐng)判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長(zhǎng)法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請(qǐng)補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長(zhǎng)法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．專題1.15構(gòu)造三角形全等方法——截長(zhǎng)補(bǔ)短和倍長(zhǎng)中線（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】當(dāng)不能直接證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使它們?cè)趦蓚€(gè)合適的三角形之中，再證這兩個(gè)三角形全等，本專題介紹截長(zhǎng)補(bǔ)短法和倍長(zhǎng)中線法.【知識(shí)點(diǎn)一】截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)法：在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證明剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段至與另一條已知的較短線段的長(zhǎng)度相等，然后證明新線段與最長(zhǎng)的已知線段的關(guān)系?！局R(shí)點(diǎn)二】倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線：是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"SAS”證明）第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結(jié)論．證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式1】（20-21八年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是的平分線，且．若，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在線段AC上作AF=AB，證明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再證明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四邊形的周長(zhǎng)．解：在線段AC上作AF=AB，∵AE是的平分線，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵,∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四邊形的周長(zhǎng)=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷．能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式2】．如圖，已知在中，平分，，則.（用含的代數(shù)式表示）.【答案】a-b【分析】在CB上截取CA′=CA，連接DA′，根據(jù)SAS證明△ADC≌△A′DC，根據(jù)△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再證明DA′=A′B即可解決問題.解：在CB上截取CA′=CA，連接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，在△ADC和△A′DC中，，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b，故答案為：a-b.【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【題型2】倍長(zhǎng)中線【例2】（23-24八年級(jí)上·河北廊坊·期末）下面是多媒體上的一道習(xí)題：如圖是的中線，，，求的取值范圍．

請(qǐng)將下面的解題過程補(bǔ)充完整解：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．

∵是的中線，∴__________，在和中，∴（__________填判定定理用字母表示）∴_________，在中，根據(jù)“三角形三邊關(guān)系可知：__________________又∵∴__________________【分析】主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．證明，推出，再利用三角形的三邊關(guān)系，可得結(jié)論；解：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，

∵是的中線，∴，在和中，∴，∴，在中，根據(jù)“三角形三邊關(guān)系”可知：，又∵，∴．【變式1】（2024·山東臨沂·一模）如圖，點(diǎn)是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．延長(zhǎng)至，使，連接．由證明，得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．解：延長(zhǎng)至，使，連接．則，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，即，，故選：A．【變式2】（23-24八年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，為邊的中線，為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為．.【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．延長(zhǎng)至，使，連接，根據(jù)證明，則，根據(jù)可得，由此可得，即可得出，然后利用線段的和差即可求出的長(zhǎng)．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．解：如圖，延長(zhǎng)至G，使，連接，在和中，，．，，，，，．，，．故答案為：第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例】（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關(guān)系可求出k的范圍，反向延長(zhǎng)中線至，使得，連接，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題．【詳解】如圖，反向延長(zhǎng)中線至，使得，連接，是的內(nèi)角平分線，可設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，由三角形三邊關(guān)系可知，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：（1）由已知和作圖能證得，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；（2）如圖2，是的中線，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，在中，是的三等分點(diǎn)．求證：．【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)見解析【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長(zhǎng)中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)題意證明，可知，在中，根據(jù)，即可；（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，由（1）的結(jié)論以及已知條件證明，進(jìn)而可得，由，即可求得與的數(shù)量關(guān)系；（3），取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接和，通過“倍長(zhǎng)中線”思想全等證明，進(jìn)而得到然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：．（2），理由：如圖2，延長(zhǎng)到，使得，連接，由（1）知，，∴，∵，∴，∵，即，又∵，∴∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．（3）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接和，∵為中點(diǎn)，為三等分點(diǎn)，∴，∴，在和中，，∴,同理可得:,∴，此時(shí),延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【例2】（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期中）綜合與實(shí)踐問題提出如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接，……，請(qǐng)判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長(zhǎng)法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請(qǐng)補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長(zhǎng)法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，