第七章 第1講 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積

第七章立體幾何與空間向量第1講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積

課標要求命題點五年考情命題分析預測1.認識柱、錐、

臺、球及簡單組合

體的結構特征，能

運用這些特征描述

現(xiàn)實生活中簡單物

體的結構.基本立

體圖形2023新高考卷ⅠT12；2023全

國卷甲T15；2023全國卷甲

T16；2021新高考卷ⅠT3；

2020新高考卷ⅠT16；2020全

國卷ⅠT3；2019全國卷ⅡT16該講每年必考，命題

重點為空間幾何體的

結構，難度可大可

小；空間幾何體的表

面積和體積的計算，

難度中等；課標要求命題點五年考情命題分析預測2.知道球、棱柱、

棱錐、棱臺的表面

積和體積的計算公

式，能用公式解決

簡單的實際問題.空間幾

何體的

表面積

(側面積)2023新高考卷ⅡT9；2022新高

考卷ⅡT7；2021新高考卷ⅡT4；

2021全國卷甲T14；2020全國卷

ⅠT10；2020全國卷ⅡT10；2020

天津T5體積的最值問

題，常用函數(shù)思

想和基本不等式

求解，難度中等

偏大；課標要求命題點五年考情命題分析預測3.能用斜二

測畫法畫出

簡單空間圖

形(長方體、

球、圓柱、

圓錐、棱柱

及其簡單組

合)的直觀

圖.空間幾

何體的

體積2023新高考卷ⅠT14；2023新高考卷ⅡT9；

2023新高考卷ⅡT14；2023全國卷乙T8；

2023天津T8；2022新高考卷ⅠT4；2022新

高考卷ⅠT8；2022新高考卷ⅡT11；2022全

國卷乙T9；2022全國卷甲T9；2022天津

T8；2021新高考卷ⅠT12；2021新高考卷

ⅡT5；2021全國卷甲T11；2020新高考卷

ⅡT13；2020全國卷ⅢT15；2019全國卷

ⅠT12；2019全國卷ⅢT16與球有關的切、

接問題，對直觀

想象核心素養(yǎng)要

求較高，難度中

等偏大.題型以選

擇題和填空題為

主.預計2025年高

考命題穩(wěn)定.

1.空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形

底面互相①

?且全等多邊形互相平行且②

?側棱平行且相等相交于③

?，

但不一定相等延長線交于一點，但

不一定相等側面形狀④

?三角形⑤

?平行

相

似

一點

平行四邊形

梯形

規(guī)律總結1.幾種特殊棱柱的結構特征及之間的關系2.正棱錐的結構特征(2)旋轉(zhuǎn)體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形

旋轉(zhuǎn)圖形矩形⑥

?

?⑦

?半圓形母線互相平行且相等，

⑧

?相交于一點延長線交于一點軸截面全等的⑨

?全等的⑩

?

?全等的等腰梯形圓側面展開圖?

??

?扇環(huán)直角三角形

直角梯形

垂直于底面

矩形

等腰

三角形

矩形

扇形

2.立體圖形的直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法.(2)規(guī)則a.原圖形中

x

軸、

y

軸、

z

軸兩兩垂直，直觀圖中，∠x'O'y'＝?

(O'為

x'軸與y'軸的交點)，z'軸與x'軸和y'軸所在平面?

?.b.原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍?

于坐標軸.c.平行于

x

軸和

z

軸的線段在直觀圖中保持原長度?

，平行于

y

軸的線段長

度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?

?.(3)用斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與原圖形面積的關系：

S

直觀圖＝

?

S

原圖形.45°或135°

垂直

平行

不變

一半

3.簡單幾何體的表面積與體積(1)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖

側面積公式S圓柱側＝?

?S圓錐側＝?

?S圓臺側＝?

?

?2πrl

πrl

π(r＋r')l

(2)簡單幾何體的表面積與體積表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝?

?錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝?

?臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下球S＝?

?V＝?

?S底h

4πR2

1.[易錯題]如圖，長方體

ABCD

－A'B'C'D'被平面

EFGH

截去幾何體B'C'HEFG，其中

EH

∥A'D'，則剩下的幾何體是(

C

)A.棱臺B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱C123452.[多選/教材改編]給出下列命題，其中錯誤的是(

ABD

)A.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱B.三棱錐的四個面最多有三個直角三角形C.在四棱柱中，若兩個過相對棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐ABD123453.[易錯題]圓柱的側面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為

?

?.24π2＋18π

或24π2＋8π

123454.用一個半徑為10cm的半圓紙片卷成一個最大的無底圓錐，放在水平桌面上，被

一陣風吹倒，如圖所示，則被吹倒后該無底圓錐的最高點到桌面的距離為

?.

cm

12345[解析]畫出示意圖，如圖所示，設圓錐的底面半徑為

r

，母線長為

l

.根據(jù)題意知

l

＝10cm，且2π

r

＝π

l

，故

r

＝5cm.所以圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長為10cm.

123455.如圖，已知正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長為1，則四棱錐

A

1－

BB

1

D

1

D

的體

積為

?.

12345

12345

命題點1

基本立體圖形角度1

結構特征例1

[多選/2023新高考卷Ⅰ]下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體

容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有(

ABD

)A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體ABD例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6角度2

直觀圖例2

如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'＝6cm，

O'C'＝2cm，C'D'＝2cm，則原圖形的形狀是

，其面積為

?.菱形

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6角度3

展開圖例3

長方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝1，

AD

＝

AA

1＝2，

E

為棱

AA

1上的動

點，平面

BED

1交棱

CC

1于點

F

，則四邊形

BED

1

F

的周長的最小值為(

B

)[解析]作出長方體如圖1，將其側面展開，如圖2所示，當點

E

為

BD

1與

AA

1的交

點，點

F

為BD'1與

CC

1的交點時，截面四邊形

BED

1

F

的周長最小，

B例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6方法技巧求解空間幾何體表面上兩點間的最短距離問題或折線段長度和的最小值問題，常利

用幾何體的側面展開圖，轉(zhuǎn)化為求平面兩點間的最短距離問題.例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6訓練1

(1)[2023全國卷甲]在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別為

AB

，

C

1

D

1的中點.以

EF

為直徑的球的球面與該正方體的棱共有

個公共點.

12

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

[解析]取

AB

的垂直平分線

EO

為

y

軸，則等腰梯形

ABCD

和其直觀圖分別如圖1和

圖2所示.過點

E

'作

E

'

F

⊥

A

'

B

'于點

F

.

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

[解析]設圓臺對應圓錐的頂點為

O

，將圓錐沿

AB

所在直線展開如圖所示，設點

A

在展開圖中的點為

A

'，依題意得，螞蟻經(jīng)過的最短路徑為

A

'

B

.

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

A.100πB.128πC.144πD.192πA例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6(2)[2021全國卷甲]已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側面積

為

?.

39π

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6方法技巧求空間幾何體的表面積的常見類型及解題思路求多面體

的表面積即求各個面的面積之和，通常會利用特殊的四邊形及三角形的面積公

式.求旋轉(zhuǎn)體

的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但

要搞清旋轉(zhuǎn)體的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系.注意

組合體的表面積要注意對銜接部分的處理.例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

A.πC.3πB例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

B例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6方法技巧求空間幾何體體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算.割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)

則的幾何體，然后進行體積計算.等體積

法通過轉(zhuǎn)換底面和高來求幾何體的體積，即通過將原來不容易求面積的底

面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出

并容易求解的高進行求解.常用于求三棱錐的體積.

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6訓練3

(1)十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的故宮角樓的頂部

即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個相同的直三棱柱交疊而成的幾何體(圖2).這兩

個直三棱柱有一個公共側面

ABCD

.

在底面

BCE

中，若

BE

＝

CE

＝3，∠

BEC

＝

120°，則該幾何體的體積為(

C

)圖1圖2C.27C例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6角度2

體積的最值問題例6

[2022全國卷乙]已知球

O

的半徑為1，四棱錐的頂點為

O

，底面的四個頂點均在

球

O

的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為(

C

)

C例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6方法技巧求解體積的最值問題的方法(1)幾何法：根據(jù)幾何體的結構特征，先確定體積表達式中的常量與變量，然后利用

幾何知識判斷變量什么情況下取得最值，從而確定體積的最值.(2)代數(shù)法：先設變量，求出幾何體的體積表達式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或利用

不等式求解即可.例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

例1訓練1例2訓練2訓練3訓練4例4例3例5例6

1.[命題點1角度3]在正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

AA

1＝2，

F

是線段

A

1

B

1上

的動點，則

AF

＋

FC

1的最小值為

?.

1234圖1

圖2[解析]將正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1(如圖1)中的△

A

1

B

1

C

1沿

A

1

B

1翻折至平面

ABB

1

A

1上，如圖2所示.在圖2中，連接

AC

1，則

AF

＋

FC

1≥

AC

1.因為

AA

1＝

A

1

C

1＝2，且∠

AA

1

C

1＝90°＋60°＝150°，

1234

A.60D1234

設

A

1

C

1∩

B

1

D

1＝

O

1，

AC

∩

BD

＝

O

2，連接

O

1

O

2，如圖所示.因為上、下底面中

心的連線與底面垂直，所以

O

1

O

2＝

h

，且四棱臺的四條側棱長相等.1234

1234

A.30πB.40πD1234

12344.[命題點3角度1]如圖1，在直角梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AD

＝

AB

＝4，

BC

＝

2，將四邊形

BCFE

沿中位線

EF

折起，使得∠

AEB

為直角，連接

AB

，

CD

，如圖

2，則所得的幾何體的體積為

?.圖1

圖26

1234

1234

1234

1234

1.[2024福州市一檢]一個正四棱臺形油槽可以裝煤油190000cm3，其上、下底面邊

長分別為60cm和40cm，則該油槽的深度為(

D

)B.25cmC.50cmD.75cm

D12345678910111213141516172.[2024武漢部分學校調(diào)考]某玻璃制品廠需要生產(chǎn)一種如圖1所示的玻璃杯，該玻璃

杯可以近似看成是由一個圓柱挖去一個圓臺得到的，其近似模型的直觀圖如圖2所

示(圖中數(shù)據(jù)單位為cm)，則該玻璃杯近似模型的體積(單位：cm3)為(

A

)圖1圖2A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰(非等邊)三角形D.三邊互不相等的三角形A1234567891011121314151617

12345678910111213141516174.[2024遼寧撫順德才高級中學模擬]2023年3月12日，在馬來西亞吉隆坡舉行的Yong

JunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績

打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀錄.一個三階魔方由27個單位正方

體組成，如圖，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了45°，則該魔方的表面積增加了(

C

)A.54C1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

C1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.1C.2D.3A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

12345678910111213141516179.[2024江西分宜中學、臨川一中等校聯(lián)考]在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的

底面直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側面面積

S

＝

?

cm2.2600π

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

11.[2023山西運城高三模擬]巴普士(約公元3～4世紀)，古希臘亞歷山大學派著名幾

何學家，生前有大量的著作，但大部分遺失在歷史長河中，僅有《數(shù)學匯編》保存

下來.《數(shù)學匯編》一共8卷，在《數(shù)學匯編》第3卷中記載著這樣一個定理：“如果

在同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條

直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于該閉合圖形的面積與該閉合圖形的重心旋

轉(zhuǎn)所得周長的積”.已知在梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AB

⊥

BC

，

AB

＝

BC

＝2

AD

＝4，如圖所示，利用上述定理可求得梯形

ABCD

的重心

G

到點

B

的距離為(

C

)C1234567891011121314151617

123456789101112131415161712.[2024四川部分學校高三聯(lián)考]已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形

ABCD

，

在該圓柱的底面內(nèi)任取一點

E

，則當四棱錐

E

－

ABCD

的體積最大時，該四棱錐的

側面積為(

B

)B1234567891011121314151617

123456789101112131415161713.[2023昆明市“三診一模”]某機床廠工人將一個實心圓錐的舊零件改造成一個正

四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上，下底面在圓錐的底面內(nèi).已知該

圓錐的底面圓半徑為3cm，高為3cm，則該正四棱柱體積(單位：cm3)的最大值為

(

B

)B.8D.9B1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

123456789101112131415161714.[多選/2022新高考卷Ⅱ]如圖，四邊形

ABCD

為正方形，

ED

⊥平面

ABCD

，

FB

∥

ED

，

AB

＝

ED

＝2

FB

.

記三棱錐

E

－

ACD

，

F

－

ABC

，

F

－

ACE

的體積分別為

V

1，

V

2，

V

3，則(

CD

)A.V3＝2V2B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2D.2V3＝3V1CD1234567891011121314151617

123456789101