第十章 第5講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第5講事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.結(jié)合有限樣本

空間，了解兩個

隨機事件獨立性

的含義.結(jié)合古典

概型，利用獨立

性計算概率.相互獨

立事件2023新高考卷ⅡT12；2022

全國卷乙T10；2022全國卷

甲T19；2021新高考卷

ⅠT8；2020全國卷ⅠT19；

2019全國卷ⅠT15；2019全

國卷ⅡT18本講為高考的命題熱點，

主要考查：(1)相互獨立事

件的概率計算，兩事件相

互獨立的判斷等，有時候

單獨命題，有時候與其他

知識綜合考查；課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測2.結(jié)合古典概型，

了解條件概率，

能計算簡單隨機

事件的條件概率.條件概率2023全國卷甲T6；2022新

高考卷ⅠT20；2022新高考

卷ⅡT19；2022天津T13(2)條件概率，近兩年

考查頻率較高，復(fù)習(xí)

備考中要引起重視；課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測3.結(jié)合古典概型，了解條

件概率與獨立性的關(guān)系，

會用乘法公式計算概率.4.結(jié)合古典概型，會利用

全概率公式計算概率.全概率公式

的應(yīng)用2023新高考

卷ⅠT21(3)全概率公式，這是新

教材增加的點，在2023

年新高考卷Ⅰ中已命題，

命題概率大.在2025年高

考備考中應(yīng)強化對條件

概率和全概率公式的理

解和應(yīng)用.

學(xué)生用書P2361.事件的相互獨立性(1)定義：對任意兩個事件

A

，

B

，如果

P

(

AB

)＝①

，則稱事件

A

與

事件

B

相互獨立，簡稱獨立.

(3)推廣：如果事件

A

1，

A

2，…，

An

相互獨立，那么這

n

個事件同時發(fā)生的概率等

于每個事件發(fā)生的概率的積，即

P

(

A

1

A

2…

An

)＝

P

(

A

1)

P

(

A

2)…

P

(

An

).注意

若事件

A

與事件

B

是互斥事件(或?qū)α⑹录?，則

A

與

B

不相互獨立.P

(

A

)

P

(

B

)

B

2.條件概率(1)定義：一般地，設(shè)

A

，

B

為兩個隨機事件，且

P

(

A

)＞0，我們稱

P

(

B

｜

A

)＝

④

為在⑤

發(fā)生的條件下，⑥

?發(fā)生的條件概率，

簡稱條件概率.

事件

A

事件

B

P

(

B

｜

A

)＋

P

(

C

｜

A

)

1－

P

(

B

｜

A

)

3.全概率公式一般地，設(shè)

A

1，

A

2，…，

An

是一組兩兩互斥的事件，

A

1∪

A

2∪…∪

An

＝Ω，且

P(

Ai

)＞0，

i

＝1，2，…，

n

，則對任意的事件

B

?Ω，有

P

(

B

)⑨

??.

1.下列說法錯誤的是(

A

)A.對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立B.若事件A，B相互獨立，則P(B｜A)＝P(B)C.拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面向上”為事件A，“第二枚為正面向

上”為事件B，則A，B相互獨立D.若事件A1與A2是對立事件，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋

P(A2)P(B｜A2)A123452.下列說法錯誤的是(

A

)A.P(A｜B)＜P(AB)C.0≤P(A｜B)≤1D.P(A｜A)＝1

A123453.[易錯題]設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6，0.4，汽車和火車正點

到達(dá)目的地的概率分別為0.9，0.8，則甲正點到達(dá)目的地的概率為(

C

)A.0.72B.0.96C.0.86D.0.84[解析]設(shè)事件

A

表示甲正點到達(dá)目的地，事件

B

表示甲乘火車前往目的地，事件

C

表示甲乘汽車前往目的地.由題意知

P

(

B

)＝0.4，

P

(

C

)＝0.6，

P

(

A

｜

B

)＝0.8，

P(

A

｜

C

)＝0.9.由全概率公式得

P

(

A

)＝

P

(

B

)

P

(

A

｜

B

)＋

P

(

C

)

P

(

A

｜

C

)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故選C.C123454.將兩顆骰子各擲一次，

記事件

A

為“兩個點數(shù)不同”，

B

為“至少出現(xiàn)一個6

點”，

則條件概率

P

(

A

｜

B

)，

P

(

B

｜

A

)分別等于(

A

)

A123455.[教材改編]設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任意選取2件，則在所選取的產(chǎn)品

中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品時，另一件也是不合格品的概率是

?.[解析]記事件

A

為“選取的2件產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品”，事件

B

為“另一

件是不合格品”，則

AB

為“2件都是不合格品”.

12345

學(xué)生用書P237命題點1

相互獨立事件角度1

相互獨立事件的判斷例1[2021新高考卷Ⅰ]有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回

地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事

件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，

丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

B

)A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立B例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3方法技巧判斷事件是否相互獨立的方法(1)由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個事件的發(fā)生是否相互影響.(2)利用“事件

A

，

B

相互獨立?

P

(

AB

)＝

P

(

A

)·

P

(

B

)”判斷.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3角度2

相互獨立事件的概率的求解例211分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球

權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲

發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在

某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了

X

個球該局比賽結(jié)束.(1)

P

(

X

＝2)＝

?；(2)事件“

X

＝4且甲獲勝”的概率為

?.[解析]

(1)“

X

＝2”包含的事件為“甲連贏兩球”或“乙連贏兩球”.因此

P

(

X

＝

2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.[解析]

(2)“

X

＝4且甲獲勝”包含的事件為“前兩球甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分”.因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.0.5

0.1

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3方法技巧求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的思路(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積.(2)當(dāng)正面計算較復(fù)雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3(2)求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率.

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3命題點2

條件概率例3(1)[2023全國卷甲]某地的中學(xué)生中有60％的同學(xué)愛好滑冰，50％的同學(xué)愛好滑

雪，70％的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同

學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

A

)A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

A例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3(2)[2023重慶聯(lián)考]從5名男生2名女生中任選3人參加學(xué)校組織的演講比賽，則在男

生甲被選中的條件下，男生乙和女生丙至少一人被選中的概率是(

C

)

C

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3方法技巧求條件概率的常用方法定義

法樣本點法縮樣

法即縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情

況，用古典概型的概率公式求解.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3訓(xùn)練2(1)[2022天津高考]現(xiàn)有52張撲克牌(去掉大小王)，每次取一張，取后不放回，

則兩次都抽到A的概率為

；在第一次抽到A的條件下，第二次也抽到A的概

率是

?.

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3(2)現(xiàn)有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機抽取兩瓶，

若取出的兩瓶中至少有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為

?.

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3命題點3

全概率公式的應(yīng)用例4(1)某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道答案的概率為0.5，知道答案時，

答對的概率為1，而不知道答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為

(

A

)A.0.625B.0.75C.0.5D.0

A例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3(2)在孟德爾豌豆試驗中，子二代的基因型為

DD

，

Dd

，

dd

，其中

D

為顯性基因，

d

為隱性基因，且這三種基因型的比為1∶2∶1.如果在子二代中任意選取2顆豌豆作

為父本雜交，那么子三代中基因型為

dd

的概率為

?.

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3②若選擇的是

dd

，

dd

，則子三代中基因型為

dd

的概率為

P

(

B

｜

A

2)＝1；

在子二代中任取2顆豌豆作為父本雜交，分以下三種情況討論：

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3方法技巧全概率公式的應(yīng)用步驟(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件

Ai

(

i

＝1，2，…，

n

)；(2)求

P

(

Ai

)(

i

＝1，2，…，

n

)和所求事件

B

在各個互斥事件

Ai

發(fā)生條件下的概率

P

(

B

｜

Ai

)(

i

＝1，2，…，

n

)；(3)代入全概率公式求

P

(B).例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3訓(xùn)練3(1)[多選/2023廣東六校聯(lián)考]某高校有甲、乙兩家餐廳，王同學(xué)每天都選擇兩

家餐廳中的一家就餐，第一天去甲、乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他

第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第

二天去甲餐廳的概率為0.5.則王同學(xué)(

AC

)A.第二天去甲餐廳的概率為0.54B.第二天去乙餐廳的概率為0.44AC例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3(2)人們?yōu)榱私庖恢还善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的

基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60％，利率不

變的概率為40％.根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該只股票價格上漲的

概率為80％，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40％，則該只股票將上

漲的概率為

?.64％

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3

1.[命題點1角度1/多選/2023石家莊市二檢]先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件

A

＝“兩次擲出的點數(shù)之和是6”，事件

B

＝“第一次擲出的點數(shù)是奇數(shù)”，事件

C

＝

“兩次擲出的點數(shù)相同”，則(

BD

)A.A與B互斥B.B與C相互獨立BD1234

12342.[命題點1角度2/2022全國卷乙]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比

賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為

p

1，

p

2，

p

3，且

p

3＞

p

2＞

p

1＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為

p

，則(

D

)A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大D1234[解析]設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為

P

甲，在第二盤與乙比賽連勝兩

盤的概率為

P

乙，在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為

P

丙，由題意可知，

P

甲＝2

p

1[

p

2(1－

p

3)＋

p

3(1－

p

2)]＝2

p

1

p

2＋2

p

1

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

乙＝2

p

2[

p

1(1－

p

3)＋

p3(1－

p

1)]＝2

p

1

p

2＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

丙＝2

p

3[

p

1(1－

p

2)＋

p

2(1－

p

1)]＝2

p

1

p

3＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3.所以

P

丙－

P

甲＝2

p

2(

p

3－

p

1)＞0，

P

丙－

P

乙＝2

p

1(

p

3－

p

2)＞0，所以

P

丙最大，故選D.1234

1234

1234

學(xué)生用書·作業(yè)幫P387

C.0.33D.0.1

A123456789101112132.甲、乙兩選手進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為

0.4，若采用三局兩勝制，則甲最終獲勝的概率為(

D

)A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648

D123456789101112133.[2024惠州市一調(diào)]甲、乙兩位游客慕名來到惠州旅游，準(zhǔn)備從惠州西湖、羅浮

山、南昆山、鹽洲島和大亞灣紅樹林公園5個景點中各隨機選擇一個景點游玩，記

事件

A

為“甲和乙選擇的景點不同”，事件

B

為“甲和乙恰好一人選擇羅浮山”，

則

P

(

B

｜

A

)＝(

B

)

B123456789101112134.[2024福州市一檢]一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中2個紅球，2個黃

球，每次從中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.則第二次摸到黃球的條件下，第

一次摸到紅球的概率為(

C

)C12345678910111213

[解析]

解法一

記“第

i

次摸到紅球”為事件

Ai

，“第

i

次摸到黃球”為事件

Bi

，

123456789101112135.[多選/2024江西分宜中學(xué)、臨川一中等校聯(lián)考]甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑

球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，用

事件

A

1，

A

2和

A

3分別表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機

取出一球，用事件

B

表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論正確的是(

AD

)C.事件B與事件A1相互獨立D.A1，A2，A3兩兩互斥AD12345678910111213

12345678910111213

是

2

12345678910111213

(1)設(shè)事件

B

＝“在3個年級中隨機抽取的1名學(xué)生是公益活動志愿者”；事件

Ai

＝

“在3個年級中隨機抽取1名學(xué)生，該學(xué)生來自高

i

年級”(

i

＝1，2，3).請完成下表

中不同事件的概率：事件概率P(A1)P(A2)P(A3)P(B｜A1)P(B｜A2)P(B｜A3)P(B)概率值12345678910111213[解析]

(1)補充表格如下.事件概率P(A1)P(A2)P(A3)P(B｜A1)P(B｜A2)P(B｜A3)P(B)概率值

12345678910111213(2)若在3個年級中隨機抽取1名學(xué)生，該學(xué)生是公益活動志愿者，根據(jù)以上表中所得

數(shù)據(jù)，求該學(xué)生來自高一年級的概率.

123456789101112138.[2024山東威海統(tǒng)考]某大學(xué)在一次調(diào)查學(xué)生是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的活動中，獲得

了如下數(shù)據(jù).男生人數(shù)女生人數(shù)有自主創(chuàng)業(yè)打算16m無自主創(chuàng)業(yè)打算64n12345678910111213

(1)若

m

＝24，

n

＝36，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)判斷，能否依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗認(rèn)為該校

學(xué)生有無自主創(chuàng)業(yè)打算與性別有關(guān).12345678910111213(2)若

m

＝15，

n

＝60，從這些學(xué)生中隨機抽取一人.(i)若已知抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算，求該學(xué)生是男生的概率；

(2)(i)記

A

為“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”，

B

為“抽到的人是男生”.12345678910111213(ii)判斷“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”是否相互獨立.

α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

12345678910111213解法二零假設(shè)為

H

'0：該校學(xué)生有無自主創(chuàng)業(yè)打算與性別無關(guān).根據(jù)題意得到如下2×2列聯(lián)表：男生人數(shù)女生人數(shù)合計有自主創(chuàng)業(yè)打算161531無自主創(chuàng)業(yè)打算6460124合計8075155

12345678910111213

9.[多選/2023江蘇海安中學(xué)三模]記

A

，

B

為隨機事件，則下列說法正確的有

(

BC

)BC12345678910111213[解析]

選

項分析過程正誤A?B√12345678910111213[解析]

選

項分析過程正誤C√D?1234567891011121310.[多選/2023廣州市二檢]有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8％，第2臺加工的次品率為3％，第3臺加工的次品率為2％，加工出來的零件混放在

一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10％，40％，50％，從混放

的零件中任取一個零件，則下列結(jié)論正確的是(

BC

)A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98BC12345678910111213

12345678910111213

1234567