第四章 第1講 任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

第四章三角函數(shù)第1講任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.2.借助單位圓理解三角函數(shù)

(正弦、余弦、正切)的定義.任意角及其表示該講知識比較基礎(chǔ)，單獨(dú)命題比較少，常見的命題點(diǎn)有三角函數(shù)定義的應(yīng)用，扇形的弧長公式和面積公式的應(yīng)用，有時也應(yīng)用于圓錐的平面展開圖的有關(guān)計算，題型以選擇題和填空題為主，難度不大.預(yù)計2025年高考單獨(dú)命題的概率不大，但作為三角部分的基礎(chǔ)，還是需要掌握.扇形的弧長公式與面積公式2020新高考卷ⅠT15三角函數(shù)定義的應(yīng)用2021北京T14；2020全國卷ⅡT2

角的分類(2)弧度制定義長度等于④

的圓弧所對的圓心角叫做1弧度

的角，弧度單位用符號rad表示，這種用弧度作單位來

度量角的單位制叫做弧度制.圓心角α的弧度數(shù)公式角度與弧度的換算弧長公式l＝⑤

?.扇形面積公式半徑長

｜α｜r

注意

1.用弧度制表示角的大小時，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫，但用角

度制表示角的大小時，度(°)一定不能省略.2.正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.3.利用扇形的弧長和面積公式時，要注意角的單位必須是弧度.常用結(jié)論1.象限角及軸線角2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

S

＝{β｜β＝α＋

k

·360°，

k

∈Z}或{β｜β＝α＋2

k

π，

k

∈Z}.注意

1.第一象限角未必是銳角，但銳角一定是第一象限角.2.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，不相等的角的終邊有可能

相同.

y

x

(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號

(3)特殊角的三角函數(shù)值角α0°15°30°45°60°75°90°角α的弧度數(shù)0?

?

?

?

sinα0?

?

?

1cosα1?

??

?

??tanα?

??

???

?

?

0

0

1

不存在

3.角的終邊的對稱性(1)β，α的終邊關(guān)于

x

軸對稱?β＝－α＋2

k

π，

k

∈Z.

(2)β，α的終邊關(guān)于

y

軸對稱?β＝π－α＋2

k

π，

k

∈Z.

(3)β，α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱?β＝π＋α＋2

k

π，

k

∈Z.

1.下列說法正確的是(

B

)A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B.不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)C.若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同D.若α，β的終邊關(guān)于x軸對稱，則α＋β＝0

B1234562.已知

P

(－4，3)是角α的終邊上一點(diǎn)，則cosα＝(

D

)

D123456

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

D1234564.[全國卷Ⅰ]若tanα＞0，則(

C

)A.sinα＞0B.cosα＞0C.sin2α＞0D.cos2α＞0

C123456

1234566.[易錯題]已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為

?.

12π

123456

命題點(diǎn)1

任意角及其表示例1

(1)時針經(jīng)過四個小時，轉(zhuǎn)過了(

B

)

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.45°＋2kπ，k∈ZC.k·360°＋315°，k∈Z

D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4命題點(diǎn)2

扇形的弧長公式與面積公式

AA.3B.4C.1D.2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧有關(guān)扇形弧長和面積問題的解題策略(1)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.(2)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.(3)扇形面積的最值問題，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4訓(xùn)練2

(1)[2023廣東深圳統(tǒng)考]蕩秋千是中華大地上很多民族共有的游藝競技項(xiàng)目.據(jù)

現(xiàn)有文獻(xiàn)記載，秋千源自先秦.位于廣東清遠(yuǎn)的天子山懸崖秋千建在高198米的懸崖

邊上，該秋千的纜索長8米，蕩起來最大擺角為85°，則該秋千最大擺角所對的弧長

為(

B

)C.13.6米D.198米

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4(2)[2024河北張家口期中]如圖，已知扇形的周長為6，當(dāng)該扇形的面積取最大值時，

弦長

AB

＝(

A

)A.3sin1B.3sin2C.3sin1°D.3sin2°A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4命題點(diǎn)3

三角函數(shù)定義的應(yīng)用角度1

利用三角函數(shù)的定義求值例3

[2023南京江寧區(qū)模擬]在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在

x

軸的非負(fù)半軸上，終邊過點(diǎn)(

x

，4)且tan(－π＋α)＝－2，則cosα

＝(

B

)B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解題方法題型解題方法已知角α的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求

角α的三角函數(shù)值.先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，再利用三角函

數(shù)的定義求解.已知角α的一個三角函數(shù)值和終邊上

一點(diǎn)P的橫(縱)坐標(biāo)，求與角α有關(guān)的

三角函數(shù)值.先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已

知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方

程，求出未知數(shù)，從而求解問題.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4題型解題方法已知角α的終邊所在的直線方程(y

＝kx，k≠0)，求角α的三角函數(shù)

值.先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P(a，ka)，a≠0，求出點(diǎn)P到

原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解.注意

由于終邊所在的象限不確定，因此取點(diǎn)

時應(yīng)分a＞0和a＜0兩種情況討論.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4角度2

判斷三角函數(shù)值的符號例4

(1)[全國卷Ⅱ]若α為第四象限角，則(

D

)A.cos2α＞0B.cos2α＜0C.sin2α＞0D.sin2α＜0

D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.2B.－2C.4D.－4

聯(lián)立①②，并結(jié)合

m

＜0，

n

＜0，可得

m

＝－1，

n

＝－3，所以

m

－

n

＝2.A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧判斷三角函數(shù)值的符號，先確定角所在象限，再根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號確定

正負(fù).若不確定角所在象限，需分類討論求解.注意角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4訓(xùn)練4

[2023福建漳州質(zhì)檢]已知sinθ＜0，tanθ＜0，則角θ的終邊位于(

D

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限[解析]由sinθ＜0，tanθ＜0，根據(jù)三角函數(shù)值的符號與角的終邊所在象限間的關(guān)

系，可得角θ的終邊位于第四象限.故選D.D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A1234

1234

1234[解析]如圖，連接

OA

，由

A

是切點(diǎn)知

OA

⊥

AG

.

由

B

是切點(diǎn)知

BC

⊥

BH

.

過

A

分別作

AQ

垂直直線

DE

于點(diǎn)

Q

，

AM

垂直直線

EF

于點(diǎn)

M

，交

DG

于點(diǎn)

N

，交

BH

于點(diǎn)

R

，則

AQ

＝7，

AM

＝7.又

DE

＝2，所以

AN

＝5，

NG

＝

MF

＝12－7＝5，所以△

ANG

是等腰直角三角形，

1234

1234

1234

1.與－2025°終邊相同的最小正角是(

A

)A.135°B.132°C.58°D.12°[解析]因?yàn)椋?025°＝－360°×6＋135°，所以與－2025°終邊相同的最小正角是

135°.A123456789101112

A.一B.二C.三D.四

A123456789101112

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

B123456789101112

B123456789101112

C123456789101112

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.954米B123456789101112

1234567891011127.[2023江西上饒市第一中學(xué)月考]如圖所示，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的

集合為

?.[解析]由題圖，與陰影部分下側(cè)終邊相同的角為－120°＋

k

·360°，且

k

∈Z，與上

側(cè)終邊相同的角為135