第一章 第2講 常用邏輯用語

第一章集合、常用邏輯用語與不等式第2講常用邏輯用語課標(biāo)要求1.理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.4.理解全稱量詞與存在量詞的意義.5.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定，能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測充分條件與必要條件2023新高考卷ⅠT7；2023全國卷甲T7；2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全國卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；本講主要以其他知識(shí)為情境考查充分條件、必要條件的判斷及簡單應(yīng)用，全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷及含有一個(gè)量詞的命題的否定，對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)要求較高.題型以選擇題為主，難度中等偏易.預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大，平時(shí)訓(xùn)練中應(yīng)注重不同知識(shí)之間的綜合.全稱量

詞與存

在量詞2021全國卷乙T3

1.充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的①

條件，q是p的②

?條件p是q的③

?條件p?q且p

qp是q的④

?條件p?q且p?qp是q的⑤

?條件p?qp是q的⑥

?條件p?

q且q?

p充分

必要

充分不必要

必要不充分

充要

既不充分也不必要

常用結(jié)論充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)

A

＝{

x

｜

p

(

x

)}，

B

＝{

x

｜

q

(

x

)}.(1)若

p

是

q

的充分條件，則

A

?

B

；若

p

是

q

的必要條件，則

A

?

B

.

(2)若

p

是

q

的充分不必要條件，則

A

?

B

；若

p

是

q

的必要不充分條件，則

A

?

B

.

(3)若

p

是

q

的充要條件，則

A

＝

B

.

2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見的量詞表示符號(hào)全稱量詞所有的、一切、任意一個(gè)、每一個(gè)、任給等⑦

?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有的、有

些、對(duì)某些等⑧

??

?

(2)全稱量詞命題與存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記⑨

?⑩

?否定?x∈M，?p(x)?

?注意

1.?

p

(

x

)表示

p

(

x

)不成立.2.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是：改寫量詞，否定結(jié)論.對(duì)于省略了量詞的命

題，則需要根據(jù)命題的含義加上量詞，再改寫.3.命題

p

與?

p

(

p

的否定)真假相反.?x∈M，p(x)

?x∈M，p(x)

?x∈M，?p(x)

1.下列說法不正確的是(

D

)A.p是q的充分不必要條件等價(jià)于q是p的必要不充分條件B.“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝BD1232.“

x

是整數(shù)”是“2

x

＋1是整數(shù)”的(

A

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A1233.已知命題

p

：所有的三角函數(shù)都是周期函數(shù)，則?

p

為

?

?.有些三角函數(shù)不是周期函

數(shù)

123

命題點(diǎn)1

充分條件與必要條件角度1

充分條件與必要條件的判斷例1

(1)[2023天津高考]“

a

2＝

b

2”是“

a

2＋

b

2＝2

ab

”的(

B

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件B[解析]因?yàn)椤?/p>

a

2＝

b

2”?“

a

＝－

b

或

a

＝

b

”，

“

a

2＋

b

2＝2

ab

”?“

a

＝

b

”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“

a

＝－

b

或

a

＝

b

”與“

a

＝

b

”的關(guān)系，又“

a

＝－

b

或

a

＝

b

”是“

a

＝

b

”的必要不充分條件，所以“

a

2＝

b

2”是“

a

2＋

b

2＝2

ab

”的必要不充分條件.故選B.例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4(2)[2023全國卷甲]設(shè)甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則(

B

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件[解析]甲等價(jià)于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價(jià)于sinα＝±cosβ，所以由甲不能

推導(dǎo)出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝

－cosβ，兩邊同時(shí)平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以

由乙可以推導(dǎo)出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.B例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

A.a＞80B.a＜80C.a＞100D.a＜100

B例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

解得

m

≥9，所以實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為[9，＋∞).[9，＋∞)例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4方法技巧1.充分條件與必要條件的判斷方法(1)定義法：根據(jù)“若

p

，則

q

”及“若

q

，則

p

”的真假進(jìn)行判斷，適用于定義、定

理等判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)

p

，

q

對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.2.已知充分、必要條件求參數(shù)取值范圍的方法把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)

的不等式(組)求解.注意

(1)條件的等價(jià)變形；(2)區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4訓(xùn)練1

(1)[2024湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]設(shè)

m

∈R，

a

＝(

m

，1)，

b

＝(4，

m

)，

c

＝

(1，－2)，則

b

⊥

c

是

a

∥

b

的(

A

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析]若

b

⊥

c

，則4－2

m

＝0，得

m

＝2，即

b

⊥

c

?

m

＝2；若

a

∥

b

，則

m

2＝

4，得

m

＝±2，即

a

∥

b

?

m

＝±2.因?yàn)?/p>

m

＝2是

m

＝±2的充分不必要條件，所以

b

⊥

c

是

a

∥

b

的充分不必要條件，故選A.A例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4(2)[多選/2023沈陽市三檢]已知空間中的兩條直線

m

，

n

和兩個(gè)平面α，β，則α⊥β的

充分條件是(

ACD

)A.m⊥α，m∥βB.m?α，n?β，m⊥nC.m?α，m∥n，n⊥βD.m⊥n，m⊥α，n⊥βACD例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4[解析]對(duì)A，因?yàn)?/p>

m

∥β，所以在平面β內(nèi)存在直線

l

，使得

m

∥

l

，又

m

⊥α，所以

l

⊥α，又

l

?β，所以α⊥β，所以選項(xiàng)A符合題意；對(duì)B，若

m

?α，

n

?β，

m

⊥

n

，則平面α，β不一定垂直，例如在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

?平面

ABCD

，

B

1

C

1?平面

A

1

B

1

C

1

D

1，且

AB

⊥

B

1

C

1，但平面

ABCD

與平面

A

1

B

1

C

1

D

1不垂直，所以選項(xiàng)B不符合題

意；對(duì)C，因?yàn)?/p>

m

∥

n

，

n

⊥β，所以

m

⊥β，又

m

?α，所以α⊥β，所以選項(xiàng)C符

合題意；對(duì)D，因?yàn)?/p>

m

⊥α，

n

⊥β，所以直線

m

，

n

對(duì)應(yīng)的方向向量分別為平面α，β的

法向量，又

m

⊥

n

，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以選項(xiàng)D符合

題意.綜上，選ACD.例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4命題點(diǎn)2

全稱量詞與存在量詞角度1

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假判斷例3

(1)[2023遼寧名校聯(lián)考]已知命題

p

：?

x

＜－1，2

x

－

x

－1＜0，則?

p

為(

B

)A.?x≥－1，2x－x－1≥0B.?x＜－1，2x－x－1≥0C.?x＜－1，2x－x－1≥0D.?x≥－1，2x－x－1≥0[解析]因?yàn)槊}

p

：?

x

＜－1，2

x

－

x

－1＜0，則?

p

：?

x

＜－1，2

x

－

x

－1≥0.故

選B.B例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4(2)[2023湖北模擬]下列命題為真命題的是(

C

)A.?x∈R，x2－｜x｜＋1≤0C.?x∈R，(lnx)2≤0D.?x∈R，sinx＝3

C例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

A.(－∞，e]B.(－∞，1]D例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4(2)[2024江蘇南通學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測]設(shè)命題

p

：?

x

∈R，

ax

2－

x

＋1≤0.寫出一個(gè)實(shí)數(shù)

a

＝

，使得

p

為真命題.

0(答案不唯一)

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4方法技巧1.判定全稱量詞命題是真命題，需證明所有對(duì)象使命題成立；判定存在量詞命題是

真命題，只要找到一個(gè)對(duì)象使命題成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先

判斷其否定的真假.2.由命題真假求參數(shù)的范圍，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于

參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求解.例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4訓(xùn)練2

(1)[2023河北省鹽山中學(xué)三模]已知命題

p

：?

x

≥0，ln(

x

＋1)≥0且tanx

＜1，

則?

p

為(

C

)A.?x＜0，ln(x＋1)＜0且tanx≥1B.?x＜0，ln(x＋1)＜0或tanx≥1C.?x≥0，ln(x＋1)＜0或tanx≥1D.?x≥0，ln(x＋1)＜0且tanx≥1[解析]由含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律易知C正確.C例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4(2)若命題“?

a

∈[－1，3]，

ax

2－(2

a

－1)

x

＋3－

a

＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)

x

的取

值范圍為(

C

)A.[－1，4]C例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4(3)[多選/2024重慶市合川區(qū)模擬]已知命題

p

：?

x

∈R，

x

2＋1＜2

x

；命題

q

：若

mx

2

－

mx

－1≠0恒成立，則－4＜

m

＜0.則(

BC

)A.p的否定是假命題B.q的否定是真命題C.p與q都是假命題D.p與q都是真命題[解析]對(duì)于命題

p

：因?yàn)?/p>

x

2－2

x

＋1＝(

x

－1)2≥0，所以

x

2＋1≥2

x

，即不存在

x

，使

x

2＋1＜2

x

，故命題

p

是假命題，則命題

p

的否定是真命題.對(duì)于命題

q

：若

mx

2－

mx

－1≠0恒成立，則當(dāng)

m

＝0時(shí)，－1≠0，原不等式恒成立；當(dāng)

m

≠0時(shí)，Δ＝

m

2＋4

m

＜0，得－4＜

m

＜0.綜合得－4＜

m

≤0，故命題

q

是假命題，則命題

q

的否定是真命題.綜上所述，選項(xiàng)A錯(cuò)誤、B正確、C正確、D錯(cuò)誤.故選BC.BC例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

突破雙變量“存在性”或“任意性”問題

A.[－5，0]B.[－2，0]C.(－1，0)D.(0，1]A例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

(2，＋∞)

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4方法技巧1.解決雙變量“存在性”或“任意性”的等式問題的關(guān)鍵：一是理解量詞的含義，

“脫去”量詞，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的值域之間的問題；二是會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性，求

函數(shù)的值域.2.常見的轉(zhuǎn)化形式(1)?

x

1∈

M

，?

x

2∈

N

，

f

(

x

1)＝

g

(

x

2)?

f

(

x

)的值域?yàn)?/p>

g

(

x

)的值域的子集；(2)?

x

1∈

M

，

x

2∈

N

，

f

(

x

1)＝

g

(

x

2)?

f

(

x

)的值域與

g

(

x

)的值域的交集不為空集.例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

角度2

雙變量“存在性”或“任意性”的不等式問題例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4方法技巧(1)?

x

1∈

M

，

x

2∈

N

，

f

(

x

1)＞

g

(

x

2)?

f

(

x

)min＞

g

(

x

)max；(2)?

x

1∈

M

，

x

2∈

N

，

f

(

x

1)＞

g

(

x

2)?

f

(

x

)max＞

g

(

x

)min；(3)?

x

1∈

M

，?

x

2∈

N

，

f

(

x

1)＞

g

(

x

2)?

f

(

x

)min＞

g

(

x

)min；(4)?

x

1∈

M

，?

x

2∈

N

，

f

(

x

1)＞

g

(

x

2)?

f

(

x

)max＞

g

(

x

)max.例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4訓(xùn)練4[2024河北省唐縣第一中學(xué)模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－2

x

－1，

g

(

x

)＝log

ax

(

a

＞0且

a

≠1)，若對(duì)任意的

x

1∈[－1，2]，都存在

x

2∈[2，4]，使得

f

(

x

1)＜

g

(

x

2)成

立，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

?.[解析]

f

(

x

)＝(

x

－1)2－2，當(dāng)

x

∈[－1，2]時(shí)，

f

(

x

)max＝

f

(－1)＝2.因?yàn)閷?duì)任意的

x

1∈[－1，2]，都存在

x

2∈[2，4]，使得

f

(

x

1)＜

g

(

x

2)成立，因此函數(shù)

f

(

x

)在[－1，2]上的最大值小于函數(shù)

g

(

x

)在[2，4]上的最大值，而當(dāng)0＜

a

＜1，

x

∈[2，4]時(shí)，log

ax

＜0，不符合題意，于是

a

＞1，函數(shù)

g

(

x

)＝log

ax

在[2，4]上單調(diào)遞增，則log

a

4＞2，即1＜

a

2＜4，解得1＜

a

＜2，所以實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(1，2).(1，2)

例1例2訓(xùn)練1例3例4訓(xùn)練2例5例6訓(xùn)練3例7訓(xùn)練4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B12342.[命題點(diǎn)1角度2/2024四川省閬中中學(xué)質(zhì)量檢測]設(shè)α：

x

≤－5或

x

＞2，β：

x

≤－2

m

－7或

x

≥4－3

m

，

m

∈R，若α是β的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍

是

?.

12343.[命題點(diǎn)2角度1/2023貴陽摸底]已知命題

p

：?

x

∈N，e

x

≤sin

x

＋1，則命題

p

的否

定是(

D

)A.?x?N，ex＞sinx＋1B.?x∈N，ex＞sinx＋1C.?x?N，ex≤sinx＋1D.?x∈N，ex＞sinx＋1[解析]由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，得命題

p

的否定為?

x

∈N，e

x

＞

sin

x

＋1，故選D.D12344.[命題點(diǎn)2/多選/2024江蘇省高郵一中模擬]若“?

x

∈

M

，｜

x

｜＞

x

”為真命題，

“?

x

∈

M

，

x

＞3”為假命題，則集合

M

可以是(

AB

)A.(－∞，－5)B.(－3，－1)C.(3，＋∞)D.[0，3][解析]

“?

x

∈

M

，｜

x

｜＞

x

”為真命題，則

x

＜0，“?

x

∈

M

，

x

＞3”為假命

題，則“?

x

∈

M

，

x

≤3”為真命題.因此集合

M

的元素均為負(fù)數(shù)，故選AB.AB1234

1.[2024福建南平模擬]若命題

p

：?

x

＞0，

x

2－3

x

＋2＞0，則命題

p

的否定為

(

C

)A.?x＞0，x2－3x＋2≤0B.?x≤0，x2－3x＋2≤0C.?x＞0，x2－3x＋2≤0D.?x≤0，x2－3x＋2≤0[解析]命題

p

：?

x

＞0，

x

2－3

x

＋2＞0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命

題，所以命題

p

的否定為?

x

＞0，

x

2－3

x

＋2≤0.故選C.C1234567891011121314

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

C12345678910111213143.[2024河南名校聯(lián)考]若直線

l

：

Ax

＋

By

＋

C

＝0的傾斜角為α，則“α不是鈍角”

是“

A

·

B

＜0”的(

B

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B12345678910111213144.[2024長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)]“

a

＞

b

＞1”是“l(fā)og

a

2＜log

b

2”的(

A

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A1234567891011121314

12345678910111213145.[2024江蘇鎮(zhèn)江模擬]命題“?

x

∈[0，3]，

x

2－2

x

－

a

≤0”為真命題的一個(gè)充分不

必要條件是(

A

)A.a≥4B.a≥3C.a≥2D.a≥1[解析]由?

x

∈[0，3]，

x

2－2

x

－

a

≤0，得

a

≥

x

2－2

x

在

x

∈[0，3]恒成立.

y

＝

x

2

－2

x

的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線

x

＝1，則其在[0，3]上的最大值為32－2×3＝

3，則

a

≥3，結(jié)合選項(xiàng)可知，

a

≥3的充分不必要條件為

a

≥4，故選A.A12345678910111213146.[2024山東聊城模擬]若存在

x

∈(0，2]，使不等式

ax

2－2

x

＋3

a

＜0成立，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(

A

)

A1234567891011121314

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

C12345678910111213148.[2024江西分宜中學(xué)、臨川一中等校聯(lián)考]已知{

an

}是等比數(shù)列，則“

a

2＜

a

1＜

0”是“{

an

}為遞減數(shù)列”的(

A

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

A12345678910111213149.[浙江高考]已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線

l

，

m

，

n

.“

l

，

m

，

n

共面”是

“

l

，

m

，

n

兩兩相交”的(

B

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件B1234567891011121314[解析]若