4.2 指數(shù)函數(shù)（解析版）

.2指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念【【解題思路】1.判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法(1)底數(shù)的值是否符合要求．(2)ax前的系數(shù)是否為1.(3)指數(shù)是否符合要求．2.求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式。【例1-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，定義域是R.對(duì)A,選項(xiàng)不滿足形式；對(duì)B，符合定義；對(duì)C,系數(shù)為,不滿足定義；對(duì)D，指數(shù)為,不滿足定義.故選：B.【例1-2】（23-24高一上·青海西寧·期中）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】由已知得，即得.故選：C【例1-3】．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因的圖象過(guò)點(diǎn)，則，得，所以，故選：C.【變式】1．（23-24高一上·江西新余·期中）（多選）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，解得或.故選：AB2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是冪函數(shù)的是；是指數(shù)函數(shù)的是.【答案】?jī)绾瘮?shù)②指數(shù)函數(shù)①⑤【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為（且），故①⑤是指數(shù)函數(shù)；由冪函數(shù)定義知，是冪函數(shù)，故②是冪函數(shù)；由指數(shù)函數(shù)的定義知，③④⑥⑦均不是冪函數(shù)，也不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于⑧，當(dāng)時(shí)，，不是冪函數(shù)，也不是指數(shù)函數(shù).故答案為：②；①⑤.3．（23-24高一上·上海·假期作業(yè)）在下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的有.①

②

③

④⑤

⑥

⑦【答案】①⑥【解析】指數(shù)函數(shù)：且函數(shù)定義域?yàn)?，的系?shù)為1；①是指數(shù)函數(shù)；②的指數(shù)不是，故不是指數(shù)函數(shù)；③指數(shù)式的系數(shù)不為1，故不是指數(shù)函數(shù)；④的定義域不是；⑤不是指數(shù)函數(shù)；⑥是指數(shù)函數(shù)；⑦的底數(shù)不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；故答案為：①⑥4．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為指數(shù)函數(shù)，所以且且，解得.故答案為：知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)【例2-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【解析】當(dāng)，即時(shí)，，所以的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故答案為：【例2-2】（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）直線和函數(shù)的圖象均恒過(guò)同一定點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，由題意可知：點(diǎn)在直線上，可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.【變式】1．（24-25高一上·上海·單元測(cè)試）若函數(shù)（且）經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】的圖象過(guò)點(diǎn)，圖象由的圖象右移3個(gè)單位、上移7個(gè)單位得到，故過(guò)定點(diǎn)．故答案為：．2．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn).故答案為：.3．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．1 C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，再由點(diǎn)在直線上，則，而，取等號(hào)條件是,此時(shí)，故選：C.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，其中，，則的最小值為（）A． B．9 C． D．8【答案】B【解析】對(duì)于函數(shù)，令，得，，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，又定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，所以，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值為.故選：B.知識(shí)點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【【解題思路】處理函數(shù)圖象問(wèn)題的思路(1)抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的x，y的值，即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．【例3-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)（且）的圖象在第二、三、四象限內(nèi)，則（）A． B．且C．且 D．【答案】C【解析】如圖所示，圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上（縱截距小于零），即，且，，且．故選：．【例3-2】．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）若函數(shù)（且）的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)圖像的特征可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)（且）的圖像必經(jīng)過(guò)第二象限，故排除選項(xiàng)B、C．又函數(shù)（且）的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則其圖像與軸的交點(diǎn)不在軸上方，所以當(dāng)時(shí)，，即，故選：D．【變式】1．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）在下圖中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像只可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉橹笖?shù)函數(shù)，所以，且，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線，所以排除BD，由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，所以，所以二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在內(nèi)，所以C錯(cuò)誤，故選：A2．（22-23高一上·廣東·階段練習(xí)）（多選）函數(shù)的圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由的圖象可以觀察出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的圖象是在的圖象的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以.故選：AC3．（23-24高一上·四川·期中）（多選）已知函數(shù)（且的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)題意可得，的圖象是向上平移a個(gè)單位得到的，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，圖象如C選項(xiàng)所示；當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，圖象如B選項(xiàng)所示，選項(xiàng)A，D不符合題意．故選：AD.重難點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的定義域和值域【【解題思路】1.函數(shù)y＝af(x)定義域的求法形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．2.函數(shù)y＝af(x)值域的求法①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通過(guò)建立不等關(guān)系求定義域時(shí)，要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集．(2)當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)，在求定義域、值域時(shí)要注意分類討論．【例4-1】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?2)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?3)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?4)定義域?yàn)?，值域?yàn)?5)定義域?yàn)?，值域?yàn)?6)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椤窘馕觥浚?）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋唬?）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；?）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；?）中分母不等于0，故的定義域?yàn)椋捎?，故，又，故值域?yàn)?；?）中分母不等于0，故，的定義域?yàn)?，由于，故，又，的值域?yàn)椋?）中中分母不等式0，故，的定義域?yàn)?，由于，故，又，故的值域?yàn)?【例4-2】（2024廣西）函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【解析】函數(shù)（且）的值域?yàn)?，又由指?shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，值域是所以有，即，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域是所以有，即，解得.綜上所述，或.故選：C.【例4-3】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)闈M足，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；若時(shí)，依題意有的最小值，即，若時(shí)，不符合題意；綜上：，故選：B.【變式】1．（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定義域，值域?yàn)榍?2)定義域?yàn)?，值域?yàn)?3)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?4)定義域?yàn)镽，值域?yàn)椤窘馕觥浚?）要使函數(shù)式有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)榍?（2）由題意知，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)的值域?yàn)?（3）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以，又，所以函?shù)的值域?yàn)?（4）由題意易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，又，所以，故函?shù)的值域?yàn)?2．（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)（且）在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【解析】①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，無(wú)解，綜上可知.故選：B3．（23-24高一上·全國(guó)·期末）如果函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【解析】令，則．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得（舍去）．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又函?shù)在上單調(diào)遞增，則，解得（舍去）．綜上知或．故選：D.重難點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性【【解題思路】指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的解題思路(1)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過(guò)考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．(2)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．【例5-1】（23-24高二下·湖南衡陽(yáng)·期中）的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】/【解析】復(fù)合函數(shù)可以分為：外部函數(shù)與內(nèi)部函數(shù),因?yàn)橥獠亢瘮?shù)在公共定義域內(nèi)單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的性質(zhì)，所以求的減區(qū)間，等價(jià)于求內(nèi)部函數(shù)的增區(qū)間，易知的增區(qū)間為，故的減區(qū)間為，由于端點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，所以的減區(qū)間也可以為，故答案為：.【例5-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則，得.故答案為：【例5-3】（23-24高二上·浙江·期末）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)由和復(fù)合而成，由于是單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸為，故需要滿足，顯然成立，滿足題意，綜上：.故答案為：.【變式】1．（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋侄魏瘮?shù)，開口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：2．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）計(jì)算：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】，的定義域?yàn)?，根?jù)“同增異減”法則：求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即求的單調(diào)遞減區(qū)間，而要求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，的對(duì)稱軸為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.3．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：4．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】在上是嚴(yán)格增函數(shù)，,解得．故答案為：5．（23-24高一上·江西·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值為．【答案】3【解析】因?yàn)?，作函?shù)函數(shù)的圖象如下，結(jié)合圖象可知，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，則實(shí)數(shù)m的最小值為3，故答案為:3.重難點(diǎn)三比較大小【【解題思路】比較冪值大小的3種類型及處理方法1.底數(shù)相同指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷2.底數(shù)不同指數(shù)相同：利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷3.底數(shù)不同指數(shù)不同：通過(guò)中間量比較【例6】（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）比較下列各組數(shù)的大小:(1)和；(2)和；(3)和；(4)和；(5)和；(6)和.【答案】(1)>(2)(3)>(4)答案見(jiàn)解析(5)>(6)<【解析】（1）由于單調(diào)遞減，所以；（2）由于單調(diào)遞減，所以；（3），，故（4）當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，（5）由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以（6）由于為單調(diào)遞減函數(shù)，所以【變式】1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，結(jié)合對(duì)應(yīng)冪指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，知，所以.故選：A2．（23-24高一上·四川樂(lè)山·期中）在，，，這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)與在上單調(diào)遞減，可知，，只需比較與的大小，由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)為.故選：C.3．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵诘谝幌笙逓樵龊瘮?shù)，，所以，因?yàn)樵诘谝幌笙逓樵龊瘮?shù)，，所以，所以，故選：B.4．（2024高一上·湖南邵陽(yáng)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵诙x域上是增函數(shù)，所以，因?yàn)樵诙x域上是減函數(shù)，所以，所以,即.故選：A.5．（23-24高一下·河北張家口·開學(xué)考試）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，，又，所以的大小關(guān)系是.故選：B重難點(diǎn)四簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式的解法【【解題思路】簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式的解法(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣，若底數(shù)不確定，就需進(jìn)行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．【例7-1】（2024·江蘇宿遷）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故選：A解法二：特值當(dāng)時(shí)，，排除B，D，當(dāng)時(shí)，，排除C，對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以，故A成立.故選A．【例7-2】（23-24貴州六盤水·期中）已知定義在上的奇函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，若恒成立，則t的取值范圍是．【答案】【解析】由得，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，故，又因在上單調(diào)遞增，所以即，設(shè)，則恒成立，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立,故.故答案為：【變式】1．（2023春·遼寧）已知函數(shù)（且），若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，則，因?yàn)椋瑒t，即，所以，所以可以轉(zhuǎn)化為，則，所以，故選：B.2．（2024陜西咸陽(yáng)）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】得，當(dāng)以及時(shí)，均為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，由得，故選：D3．（2024·黑龍江鶴崗）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，所以為奇函數(shù)，不等式，等價(jià)于，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，為減函數(shù)，則，解得：故選：B重難點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用【例8】（23-24高一上·河北石家莊·期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；(2)在（1）的前提下，函數(shù)滿足，若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即恒成立.所以，，解得，或.當(dāng)時(shí)，，無(wú)意義，不滿足定義域?yàn)?，舍?當(dāng)時(shí)，，滿足題意.故.（2），所以.所以，因?yàn)槿我馇遥坏仁胶愠闪?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.令，得到恒成立，即恒成立.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，所以的最大值為.【變式】1．（23-24高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)，．(1)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)若，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若關(guān)于x的不等式：在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】（1）證明：任取，，,,即函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）由（1）的結(jié)論知在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以若，使得，則即，解得.（3）由題意得在上有解，即在上有解，所以，設(shè)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.2．（23-24高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)，．(1)若，求的最大值．(2)若時(shí)，圖象恒在圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】（1），設(shè)，，，故，函數(shù)對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，最大值為；當(dāng)，即時(shí)，最大值為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為.（2）圖象恒在圖象的上方，即恒成立，即，設(shè)，，則.，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故，即.單選題1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函數(shù)，則的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上的值域?yàn)?故選：C2．（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】?jī)?nèi)函數(shù)，其在上單調(diào)遞增，而外函數(shù)在上單調(diào)遞減，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則知的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B.3．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞增；若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞減；綜上所述：“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的充要條件.故選：C．4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙）已知的值域?yàn)椋瑒tx的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D5．（2024北京）函數(shù)（）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A、B均不符合；當(dāng)時(shí)，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合，D不符合．故選：C．6．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，又函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合圖象，如圖所示，可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和．故選：C．7．（23-24江西鷹潭·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：C8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，所以為奇函數(shù)．又，則的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以圖象的對(duì)稱中心為，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，解得，故滿足的的取值范圍為．故選：B多選題9．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋瑒t的值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，解得．故選：BC．10．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函數(shù)是常數(shù)，且在區(qū)間上有最大值3，最小值，則的可能取值是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】令，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有最大值，最小值，可得，解得；當(dāng)時(shí)，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有最大值，最小值，可得，解得，綜上可得，或.故選:AD.11（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．【答案】ABD【解析】令，則．對(duì)于選項(xiàng)A，的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故D正確．故選:ABD．填空題12．（22-23高一下·青海西寧·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍是.【答案】【解析】若，則，不滿足題意；若，則，當(dāng)，即時(shí)，的值域?yàn)?，滿足題意.故答案為：.13．（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）已知，，，則、、三者的大小關(guān)系是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；所以，故答案為?14．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）若函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則的取值范圍是．【答案】【解析】指數(shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)過(guò)點(diǎn)，若圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則，即．故答案為